Interprétations géométriques et discussions

Le développement précédent est valable également pour les harmoniques sphériques sur la sphère mais nous parlerons ici essentiellement de la calotte sphérique (Pour la sphère, on réalisera la transformation θ ≡ π/2 − θ donc sin θ ≡ cos θ pour écrire les expressions en fonction de la latitude).

Qu’apporte donc la définition de (3.33) par rapport à (3.15) ou à son équivalent dans la calotte (3.16) ?

D’un point de vue du résultat numérique, strictement rien, puisque dans l’hypothèse nk

grand on a : 

nk(nk+ 1)∼ nk+ 1/2

on trouve, si l’on écrit (3.16) en fonction du rayon a, que les deux écritures aboutissent à la même valeur.

En revanche, nous pouvons utiliser cette définition et montrer, par une interpétation géomé-trique, que la longueur d’onde n’est en fait qu’une abstraction et qu’il n’est le plus souvent pas possible de la visualiser directement sur la calotte ou la sphère.

La figure (3.5) montre l’interprétation géométrique de la longueur d’onde. Contrairement à l’idée que nous aurions pu nous faire de la longueur d’onde à partir de l’expression (3.16) uniquement, la longueur λk invariante définie par Backus ne correspond pas à la diagonale BC du triangle (ABC) mais plutôt à la hauteur AH.

En posant AB = λθ , AC = λϕ et BC = d (θ), et en considérant la propriété élémentaire des triangles rectangles :

AH× BC = AB × AC on trouve que la surface S(θ) de (ABC) s’écrit :

S(θ) = AH× d (θ) mais d’après (3.34) ceci revient à :

λk= AH

Finalement, la longueur λk ne coïncide avec la demi-diagonale du rectangle que dans le cas particulier où le triangle rectangle (ABC) est isocèle mais ceci n’arrive que lorsque θ est proche de l’angle critique θc(la limite en θ de l’approximation asymptotique) Si l’angle θ est proche du bord θ0 de la calotte, alors le rapport (3.31) entraîne que λθ≪ λϕ. Par conséquent la longueur d’onde devient λk∼ λθ. En dehors de ces deux cas limites, λkn’a pas de relation simple ni avec λθ ni avec λϕ qui permette une interprétation directe sur la calotte.

D’après (3.31), la surface d’onde est anisotrope (sauf dans le cas ou le triangle rectangle est isocèle) et son anisotropie est de plus fonction de θ. Cette anisotropie peut se quantifier par une étude systématique du rapport (3.31) que nous n’entreprendrons pas. Nous pouvons néanmoins nous appuyer sur la figure (2.2) pour constater qu’effectivement, de l’extérieur vers l’intérieur de la calotte, la forme des éléments de surface passe du rectangle avec λθ ≪ λϕ, au carré avec λϕ ∼ λθ, puis de nouveau à un rectangle mais de dimensions λϕ ≪ λθ. Même si ce dernier cas n’est pas donné par l’approximation asymptotique, car les fonctions ne sont pas oscillantes pour θ < θc, il est observé si l’hypothèse nk≫ m est mal vérifiée, soit pour des développements Kmax et Mmax faibles (sur la figure 2.2 on voit bien ces trois cas de figure). La définition d’une surface d’onde typique sur laquelle nous pourrions nous appuyer pour en déduire la finesse d’une modélisation semble donc bel et bien compromise.

F. 3.5 — Un élément de surface correspondant à la racine nk la plus grande sur la calotte est délimité par un rectangle de côtés λθ et λϕ de tailles variables selon l’emplacement en θ sur la calotte. La seule longueur invariante est AH qui est définie comme étant la longueur d’onde minimale.

3.2. Le concept de longueur d’onde 33

Quoique nous fassions, un développement en séries tronqué à des indices Kmax et Mmax, révèlera de moins en moins de détails à mesure que nous nous approchons des bords de la calotte.

La surface minimale peut être obtenue en recherchant le minimum de la fonction S(θ). A partir de (3.34) on trouve que la surface minimale s’écrit :

Smin(θ) = ^8π

2a² nk(nk+ 1)

et que de plus c’est un carré. Remarquons que même cette surface minimum est fonction de l’altitude de la calotte.

On pourra donc écrire dans ce cas que la longueur d’onde minimum λk à la surface terrestre s’écrit :

λk ∼ ² √

2πa nk

Une information utile que nous pouvons en déduire est le développement Kmax le plus com-patible avec l’échantillonnage de point. Pour mener à bien l’inversion et pour limiter l’aliasing, le théorème de Nyquist stipule que l’échantillonnage ld, entre deux points consécutifs, doit être tel que ld≤ λk/2.

En utilisant (3.12) comme approximation sur les racines nk, nous pouvons déterminer un indice Kmax ≫ m en fonction de ld:

Kmax = πa l_d √ 2 + ¹₂ 2θ0 π −¹₂ (3.35)

Nous garderons à l’esprit que cette relation est indicative pour deux raisons. La première découle directement de sa formulation : c’est un nombre relié à la plus petite dimension du découpage, pas à la dimension moyenne, il n’est donc pas exclu que nous puissions prendre des développements un peu plus poussés. La seconde réside dans le choix des conditions aux limites de Haines : la non-orthogonalité des fonctions viendra en pratique contrebalancé le principe de Nyquist et nous interdira numériquement de prendre de trop grandes valeurs de Kmax, même sur un très bon échantillonnage de points ; ce qui est en évidente contradiction avec le premier point.

Supposons des points distants d’environs ld= 65km dans une calotte d’ouverture maximale θ0 = 5^◦, on trouvera pour le développement maximum :

Kmax ∼ 12

Finalement, nous pouvons principalement conclure que le concept de longueur d’onde en harmoniques sur calotte n’est qu’une tentative pour essayer de relier l’indice Kmax d’un dé-veloppement à une dimension en kilomètres de la calotte sphérique. Lorsque nous connaissons les distances géométriques moyennes entre deux données, nous pouvons en déduire un déve-loppement maximum permis Kmax. Or, par sa définition même par (3.35), Kmax est relié à la plus petite surface créée par les harmoniques. Par conséquent, rechercher Kmax revient donc à s’assurer d’un sur-échantillonnage sur la plus petite surface. Si l’échantillonnage est uniforme, le théorème de Nyquist est automatiquement vérifié pour les autres surfaces qui ont des dimensions supérieures.

Le concept de longueur d’onde est très trompeur car c’est avant tout la surface qui nous intéresse et si nous pouvons définir une longueur fixe, il n’en est rien pour la surface. Cette

caractéristique nous met en garde en particulier contre les interprétations erronées que nous pourrions donner, dans le cas d’une modélisation d’anomalie magnétique, à partir de leur répa-tition. Il faudra garder à l’esprit l’anisotropie inhérente à la modélisation et nous reverrons de fait régulièrement cette anisotropie dans les résidus obtenus après inversion. Nous observerons clairement l’étalement des surfaces de résidus à mesure que l’on se rapproche des bords.

Chapitre 4

Inversion de données avec SCHA

Pour étudier la méthodologie des harmoniques sphériques sur calotte, il convient de tester la théorie d’un point de vue numérique et de l’appliquer sur des données synthétiques parfaite-ment contrôlées. Dans un premier temps, il ne fallait surtout pas juxtaposer les problèmes liés à l’inversion et les problèmes numériques de calcul liés aux fonctions de Legendre. Ce premier problème ayant été résolu, nous avons voulu nous concentrer, dans ce chapitre, plus particuliè-rement sur la résolution et le comportement du problème inverse. Nous proposons différentes techniques d’inversion. Bien que la plupart d’entre-elles soient très classiques, elles permettent d’illustrer sous des angles différents, mais complémentaires, certaines embûches liées à la théorie des harmoniques sphériques sur calotte. Ces techniques sont d’autre part abondamment utilisées dans la partie 3, il fallait donc les définir une fois pour toute.

Dans un premier temps, nous exposons brièvement les étapes préparatoires au problème in-verse dont le choix de la grille synthétique et sa construction constitueront les seules originalités ; les autres étapes font partie intégrante d’un modus operandi dont nous userons chaque fois qu’il s’agira d’inverser des données sur une calotte. Dans un second temps, nous traiterons le cas d’un problème synthétique par différentes méthodes d’inversions sur des données uniformément réparties .

4.1 Préparation de l’inversion

Compte tenu de l’intervention de deux bases orthogonales mais non orthogonales entre-elles, la matrice d’inversion est naturellement mal conditionnée. Dans un premier temps, pour atténuer les effets néfastes de cette propriété qui découle du choix des conditions aux limites, nous proposons deux points de considération. Le premier concerne la réalisation d’une grille régulière qui permettra de se rapprocher de la configuration idéale d’une répartition parfaitement uniforme sur une calotte. La même grille sera conservée pour toutes les applications ultérieures et se révèlera particulièrement efficace pour le maillage de la sphère globale pour des rotations des coefficients de Gauss globaux (Voir section 5.1). Le second point concerne la manière d’organiser les matrices pour l’optimisation des calculs numériques.