Un modèle de pression : une onde oscillante

La première approche modèlise la propagation d’une onde de pression émise par les vibrations des bulles en formation [53, 52, 42]. L’implémentation numérique de cette approche a été réalisée dans le langage FreeFem++. Présentons dans un premier temps le langage

4.1. MODÈLE NUMÉRIQUE ET THÉORIQUE FreeFem++.

FreeFem++ : Présentation du langage

FreeFem++ est un logiciel dont l’usage permet de résoudre numériquement des équations différentielles à l’aide de la méthode des éléments finis. C’est un logiciel Open Source gratuit accessible à tout le monde, développé et maintenu par l’Université de Pierre et Marie Curie et le Laboration Jacques-Louis Lions. FreeFem++ permet de réaliser du calcul 3D. La prise en main de ce logiciel est facile puisque son langage de programmation, bien qu’il lui soit propre, s’inspire du C++ et il existe un manuel très bien écrit pour aider à l’utilisation de ce logiciel [24]. L’une des particularités qui rend intéressante l’utilisation de FreeFem++ est qu’il est possible de l’adapter à beaucoup de systèmes physiques. Nous listons ici, certaines des caractéristiques pour lesquelles nous avons choisi d’utiliser FreeFem++ pour cet algorithme :

— Il permet d’exprimer une équation sous sa formulation variationnelle et ce, que les valeurs soient complexes ou réelles.

— Il permet de définir facilement la géométrie du problème à résoudre. Les bords sont décrits analytiquement par morceau. Néanmoins, si deux morceaux se touchent, l’uti-lisateur se doit de le spécifier.

— Le maillage est automatiquement généré se basant sur l’algorithme de Delaunay-Voronoi [49]. En plus, le maillage est adaptatif [19, 50, 11, 20, 6].

— Le langage permettant de faire du calcul intensif avec un schéma temporel implicite facilement contrairement au C ou au C++. Le calcul devient par la même plus stable que dans le schéma explicite.

— Le calcul en parallèle est possible grâce à MPI.

Le site officiel de FreeFem++ est [3].

Algorithme et discrétisation

Nous présenterons notre modèle numérique qui permet la propagation d’une onde de cavitation.

Une fois que la bulle est apparue, elle vibre à cause du confinement, et émet une onde de pression. Le modèle que nous proposons tient compte de la vibration de la bulle et de la propagation de l’onde émise par la bulle. C’est pour cela, que nous proposons le modèle

suivant pour la pression :

∂_t²P +γ∂_tP +ω₀²(P −P_eq) = c²∆P, (4.4) où P est la pression, t le temps, γ la dissipation induit par la viscosité, ω₀ la pulsation à laquelle la pression va osciller dans les micro-cavités et c la célérité de l’onde quand elle se propage. La valeur de P_eq varie avec la loi suivante : si une bulle apparait dans une micro-cavité quelconque,P_eq vaut la pression de vapeur saturante notéeP_v, par contre si il n’y pas de bulle elle vaut la pression initiale P_i.

Il reste bien évidemment à expliciter la thermodynamique pour fermer le modèle. Quand une bulle apparait, la pression dans un premier temps va augmenter puis diminuer, et c’est à cet instant que la bulle devrait avoir le plus de chance d’apparaitre. Nous cherchons le mécanisme qui diminuera suffisamment la pression de tel sorte que la probabilité de nucléa-tion de l’Eq(4.1) augmente. Dans un premier temps, nous allons étudier la dynamique de la pression, quand une bulle apparait. Et nous avons résolu numériquement ce système :

∂_t,tP +γ∂_tP +ω²(P −P_eq(t)) =vδ(t−t^?), (4.5) avec P_eq = (P_v −P_i)H(t−t^?) +P_i la pression à l’équilibre qui change de valeur lorsque la bulle apparait, il est égale àPi avant l’apparition de la bulle (c’est-à-dire àt =t^?) et vaut la pression de vapeur saturanteP_v une fois que la bulle est apparue, vδ(t−t^?)est équivalente à la vitesse initiale appliquée à la pression.

Nous avons représenté sur la Fig. 4.1 l’évolution temporelle de la pression obtenue par résolution numérique.

Ce que nous cherchons à faire avec cette équation est d’optimiser les paramètres afin de diminuer l’amplitude du premier minium de la pression. L’objectif est de trouver le domaine de vitesse pour v pour que la pression minimale devienne inférieure à la pression initiale.

Puisque le système est linéaire, il est possible de donner une expression analytique à ceP_min. L’Eq(4.5) est une équation différentielle du second ordre avec un forçage impulsionnel de la forme δ(t−t^?). Avant toute chose, nous introduisons deux nouvelles variables pour

4.1. MODÈLE NUMÉRIQUE ET THÉORIQUE

Fig. 4.1 – Courbe représentative de l’évolution temporelle de la pression en unité adimension-née. Les lignes en orange et en vert représentent la pression initiale et la presion à l’équilibre respectivement. Le point rouge est le premier minimum de la pression. Le trait noir vertical représente le temps d’apparition de la bulle.

simplifier un peu l’Eq(4.5). Soit τ =t−t^? et X =P −P_i. L’Eq(4.5) devient alors

∂_τ²X+γ∂τX+ω²₀X(τ) =vδ(τ) +ω²₀(Pv−Pi)H(τ). (4.6) Pour tout temps antérieur à t^?, X = 0, et pour des temps supérieur à t^?, nous posons que X est de la forme X(τ) = u(τ)H(τ) oùu(τ)est une fonction à déterminer et

H(τ) =







1 siτ > 0, 0 sinon.

En remplaçant X par son expression, la dérivé seconde et première de X par rapport à τ donne des termes en H(τ), en δ(τ) dont l’une des propriétés est δ(τ)f(τ) = δ(τ)f(0), et enfin la dérivé de δ(τ). En factorisant parH(τ), δ(τ) etδ(τ˙ ) il vient :

¨

u+γu˙ +ω₀²u

H(τ) + ( ˙u(0) +γu(0))δ(τ) +u(0) ˙δ(τ) = vδ(τ) +ω₀²(Pv−Pi)H(τ). (4.7) avec u¨et u˙ les dérivées secondes et premières par rapport à τ. Pour résoudre cette équation pour tout τ, il faut identifier chaque membre avec l’autre. Grâce à cette technique nous

obtenons trois équations au lieu d’une où u est solution :

L’Eq(4.8) est celle d’un oscillateur amorti soumise aux conditions initiales (4.9) et (4.10).

Ainsi nous obtenons :

avec R la constante d’intégration réelle dont l’expression est :

R_I =−1

et ω_A la fréquence de l’oscillateur amorti :

ω_A = r

ω₀²−γ² 4.

Nous pouvons chercher l’expression du premier minimum de la pression P. Les extremums se trouvent :

4.1. MODÈLE NUMÉRIQUE ET THÉORIQUE Et la pression pour ce temps-là vaut :

P_min =P_v+ 4R_Iω_A

Pour qu’il y ait une forte probabilité qu’une bulle apparaisse, il faut que P_min soit infé-rieure à Pi. Sur la Fig. 4.2, nous avons tracé le premier minimum de la pression en fonction du paramètre v. Comme prévu, la pression minimale diminue lorsquev augmente et devient inférieure à Pi au delà d’une valeur critique de v. Pour trouver l’expression analytique de la valeur seuil de v, notée v_s il faudrait résoudre l’inéquation :

Pmin < Pi,

qui est non-linéaire, et difficilement soluble. Néanmoins la résolution graphique nous confirme son existence.

Fig. 4.2 – Courbe représentative du comportement du premier minimum de la pression en fonction du paramètre qui donne l’impulsion en t^?. La ligne noire représente la pression limite, deçà de laquelle la probabilité de nucléation augmente.

Pour résoudre numériquement l’Eq(4.4), nous avons utilisé un algorithme symplectique.

Cet algorithme conserve l’énergie du système, quand la dissipation visqueuse est inexistante.

En discrétisant la partie temporelle, nous obtenons l’expression suivante : Pⁿ⁺¹ 1 +γdt+ω₀²dt² Le schéma est implicite, nous avons choisi de l’exprimer ainsi pour assurer la stabilité [14, 26].

Pour résoudre ce système avec FreeFem++, il faut exprimer l’Eq(4.15) dans sa formulation

faible, et minimiser la fonctionnelle suivante : Z

Th

Pⁿ⁺¹P₀ 1 +γdt+ω₀²dt²

dx dy− Z

T h

PⁿP₀ 1 + γ

2dt

dx dy+ Z

Th

Pⁿ⁻¹P₀dx dy+

− Z

T h

P_eqP₀dt²dx dy− Z

T h

(cdt)²∇Pⁿ⁺¹· ∇P₀dx dy, (4.16)

∀P₀ ∈V_h oùV_h etT_h sont l’espace d’éléments finis et le domaine de calcul dans lesquel nous voulons résoudre l’Eq(4.15), respectivement.P0 est aussi appelé le champ test. Sur les bords du maillage, la pression est fixée à la pression initialeP_i. Le domaine T_h est de longueur L_x et de largeurLy. En changeant les longueursLx etLy, il est possible de passer d’un système 2D à 1D. Les dimensions d_x et d_y sont les longueurs et largeurs des micro-cavités. Sur la Fig. 4.3 nous avons représenté l’évolution temporelle du champ de pression du modèle.

Fig. 4.3 – Evolution spatio-temporelle de l’apparition des bulles entre le domaine texturé.

En noir est le quadrillage que nous avons rajouté sur l’image pour mettre en évidence les micro-cavités vides. En rouge ce sont les micro-cavités contenant une bulle. En bleu ce sont les autres micro-cavités remplies d’eau.

Les carrés rouges représentent les bulles de cavitation qui sont apparues. Nous n’avons pas mis le temps d’apparition des bulles, parce que certaines apparaissent de manière ho-mogène, et les autres apparaissent comme résultat de la propagation d’onde de cavitation.

Dans ce dernier cas, l’intervalle de temps entre chaque apparition de bulle est constant, ce qui constitue un élément permettant de dire qu’il y a propagation d’onde de cavitation [42].

4.1. MODÈLE NUMÉRIQUE ET THÉORIQUE Dans la Fig. 4.3, nous avons représenté les différents moments où une bulle apparait. Ini-tialement nous avons imposé la nucléation d’une bulle. Ensuite, cette première bulle génère d’autres bulles. Sur cette simulation, deux clusters de bulles ont été crées, avec un même nombre de bulle (quatre bulles chacun).