Explication de l’algorithme

Afin d’observer une propagation d’onde de cavitation, nous avons besoin d’un modèle qui augmente la probabilité de nucléation des micro-cavités voisines. Initialement nous imposons l’intensité de nucléation constante sur toutes les micro-cavités :

λ₀ =J₀V e^−Gb,i. (4.49)

avec G_b,i le nombre de Gibbs pris à la pression initiale P_i.

En utilisant le même algorithme que pour les deux autres modèles, chaque apparition de bulle provoque un changement d’intensité de toutes les micro-cavités avoisinantes.

Supposons que l’intensité soit constante sur tout le domaine : c’est un cas qui est similaire à la désintégration des noyaux radioactifs (voir le Chap 3). Toutes les simulations que nous traiterons par la suite sont faites avec un maillage composé de 10000 points. Les valeurs des pressions P_i et P_v sont les mêmes que les Chapitres 2 et 3. Le terme λ₀ a été fixé à 500 bulles/s en accord avec les observations expérimentales [42].

Sur la Fig. 4.10, nous avons tracé le nombre de bulle en fonction du temps, avec les valeurs obtenues grâce à la simulation numérique et la théorie qui prédit que le nombre de bulle dans le temps se comporte comme

N =N₀ 1−e^−λ0t

(4.50) avec N le nombre de bulle, N₀ est le nombre de micro-cavité vide initiale égale à N_xN_y.

Fig. 4.10 – Nous avons tracé le nombre de bulle en fonction du temps. Nous avons pris pour cette simulation 10⁴ micro-cavités.

Les deux courbes tracées sur la Fig. 4.10 montrent qu’il y a un bon accord entre les résultats numériques et la théorie, par conséquent nous pouvons considérer que le programme que nous avons écrit en C fonctionne bien.

Il reste à décrire la physique de changement d’intensité, consécutive à la création d’une bulle. Après son apparition, la bulle émet une onde sonore qui se propage dans toutes les directions. L’effet de cette onde provoque la variation de la pression dans les micro-cavités autour pendant un court laps de temps, changeant ainsi la probabilité de nucléation. Le modèle pour augmenter la probabilité que nous avons utilisé s’inspire de cette observation.

Après chaque apparition de bulles, le programme explore toutes les micro-cavités, et dès qu’il trouve une micro-cavité sans bulle, il regarde les quatre plus proches voisins, si au moins l’un d’eux contient une bulle, alors l’intensité de cette dernière augmente. Comment l’intensité

4.2. MODÈLE DE PROPAGATION EN CHAMP MOYEN augmente-t-elle ?

Nous nous sommes inspirés du modèle théorique microscopique (voir les chap 2 et 3), dans lequel le rapport des intensités

e^−Gb e^−Gb,i

augmente de manière significative même si la valeur de la pression dans la micro-cavité vide est à peine inférieure à P_i. Pour cette raison, nous avons imposé à toutes les micro-cavités sans bulles, une nouvelle intensité :

λ_ij = (β_sN_v + 1)λ₀, (4.51)

avec Nv le nombre de voisins contenant une bulle,βs un paramètre variable qui augmentera l’intensité des micro-cavités et λ_ij l’intensité de la micro-cavité de coordonnées (i, j). Le pa-ramètre βs est un paramètre spatial, il n’y a pas de contrainte de temps. Les conditions aux bords sont périodiques.

Fig. 4.11 – Nous avons tracé le nombre de bulle en fonction du temps, la courbe bleue est le cas homogène (λ=Cte) et la courbe orange le cas non-homogène λ= (β_sN_v+ 1)λ₀ avec β_s = 10. Le nombre de micro-cavités est égale à 10000.

Sur la Fig. 4.11 nous avons tracé le nombre de bulles en fonction du temps dans le cas où l’intensité est constante et aussi dans le cas où l’intensité varie dans le temps. La vitesse avec laquelle les bulles apparaissent est beaucoup plus importante dans le cas non-homogène que dans le cas homogène, ce qui est raisonnable puisque les intensités sont plus grandes que

dans le cas homogène à certains noeuds du maillage.

Dans un deuxième temps, nous avons étudié le temps nécessaire pour que 5% des sites du domaine soit occupés par des bulles. Sur les Fig. 4.12(a) et Fig. 4.12(b) nous avons mis la dernière image de la simulation dans deux cas, la première illustre le cas homogène et la deuxième, le cas non-homogène.

(a) (b)

Fig. 4.12 – Dernière image de deux simulations avec deux différentes valeurs deβ_s. (a) nous sommes dans le cas homogène c’est-à-dire que β_s= 0. (b) c’est le cas non-homogène avec un β_s = 600. Les carrés noirs sont les micro-cavités contenant une bulle.

Dans la Fig. 4.12(a), nous ne voyons que des points isolés d’une manière générale. Le taux de micro-cavités remplies que nous avons choisi semble pertinent parce que il n’y a pas plus de deux ou trois points qui sont côte à côte. En revanche sur la Fig. 4.12(b) nous observons des taches composées de plusieurs carrés noirs. Ces tâches sont des clusters de bulles.

Dans le cas homogène, le temps d’apparition de bulles dans 5% des micro-cavités est facilement calculable à partir de l’Eq(4.50). Nous appelleronst_5%, ce temps-là, son expression est la suivante

t_5% =− 1

λ₀ log (1−0.05). (4.52)

La Fig. 4.11 nous montre que t_5%, dans le cas homogène, est plus petit que celui dans le cas non-homogène. Nous en déduisons que plus β_s est grand plus petit est le temps qu’il faut pour remplir 5% des micro-cavités. Sur la Fig. 4.13, nous avons tracé cet_5% en fonction du paramètre β_s.

Chaque point qui compose ces deux courbes est la moyenne de trente simulations. Par

4.2. MODÈLE DE PROPAGATION EN CHAMP MOYEN

Fig. 4.13 – Nous avons tracé le temps t_5% en fonction du paramètre β_s. La courbe bleue représente le temps t_5% dans le cas homogène (l’intensité constante) et la courbe orange, c’est le cas non-homogène.

contre dans le cas non-homogène, l’intensité dépend de β_s (voir l’Eq(4.51)). Comme nous l’avons vu la Fig. 4.11, où nous avions représenté le nombre de bulles en fonction de leur temps d’apparition avec un β_s = 10, le temps d’apparitions des bulles diminue quand β_s augmente. Comme nous nous y attendions, la courbe orange est décroissante, cependant elle tend vers une asymptote horizontale à partir d’un β_s > 10⁴. Pour vérifier que l’existence d’un β_s,lim n’est pas une coincidence, nous traçons sur la Fig. 4.14 le temps pour que 10%

des micro-cavités soient remplies en fonction toujours de β_s.

Fig. 4.14 – Courbe représentant le temps moyen d’apparition dans 5% et 10% des micro-cavités en rouge et en noire respectivement.

Ce que nous remarquons grâce à la Fig. 4.14, est que les deux courbes tendent vers une limite, à partir de la même valeur deβ_s. Il existe bien une valeur limite à partir de laquelle le

temps d’apparition est sensiblement le même. L’interprétation physique d’un tel résultat est le suivant : à partir d’une certaine valeur deβ_s, la probabilité tend vers1, par conséquent les bulles apparaissent obligatoirement, et le temps d’apparition de toutes les bulles ne change pas de beaucoup.

Sur la Fig. 4.13, nous avons remarqué une différence notable entre t_5% le cas homogène et le cas non-homogène. Nous recherchons ici le mécanisme qui permettrait une transition plus douce entre les deux cas. Nous rappelons que les observations expérimentales montrent que les bulles apparaissent pendant un temps fini. L’idée de notre modèle est de permettre pendant un certain temps l’augmentation de l’intensité et après de la remettre à sa valeur initialeλ₀. Ce temps, que nous notons τ, est choisi multiple de la période d’oscillation de la bulle :

τ < t−t_ij (4.53)

t le temps auquel la dernière bulle est apparue et tij le temps auquel est apparue la bulle présente dans les micro-cavités voisines à celles qui n’en contiennent pas.

Fig. 4.15 – Courbes du tempst_5% en fonction deβ_s, pour différentes valeurs de τ. Ses valeurs varient entre 10⁻³ jusqu’à l’infini en valeur adimensionnée en passant par 10⁻²,0.5,1,2,5.

Sur la Fig. 4.15, nous avons représenté pour différentes valeurs deτ, la dépendance det_5%

avecβ_s. Nous remarquons qu’à partir d’une certaine valeur deτ, toutes les courbes admettent la même limite que celle du cas non-homogène pour lequel τ → ∞. Le comportement des autres courbes se séparent en deux groupes : le premier groupe (τ ={0.5; 1; 2,5}) a tendance à tendre vers la même limite que la courbe deτ infini, par contre le deuxième groupe semble

4.2. MODÈLE DE PROPAGATION EN CHAMP MOYEN tendre vers le cas homogène. A partir de cette observation, nous pouvons faire l’hypothèse qu’il existe une valeur limite de τ à partir de laquelle il y a une transition entre les deux comportements extrêmes (le cas homogène etτ infini). Pour confirmer ces observations, nous avons tracé sur la Fig. 4.16 le temps t_5% en fonction deτ en fixant β_s à 3000.

Fig. 4.16 – Courbe du tempst_5% en fonction deτ et avecβ_s = 3000en unité sans dimension.

Sur cette figure, nous voyons trois comportements :

— lorsqueτ est petit devant 1, le temps t_5% est proche de celui du cas homogène,

— par contre, pour desτ grand, t_5% tend vers le cas infini,

— entre les deux, le temps décroit fortement.

Pour nous donner un ordre d’idée, nous pouvons regarder ce à quoi ressemble le système dans les trois cas. Sur la Fig. 4.17, nous remarquons que plus τ augmente, plus la taille des clusters semblent augmenter.

Plus τ augmente, plus la taille des clusters semblent croître. Ce comportement rappelle celui des spins dans un modèle d’Ising 2D. Dans ce cas, il existe une température critique à partir de laquelle, des clusters de spins se forment [18]. Ici, le temps t_5% sert de paramètre d’ordre puisqu’il vaut presque 2000pour τ petit, sans que des clusters viennent à se former, pour tendre enfin vers 100 lorsque τ augmente avec la formation de clusters qui paraissent avoir la même taille (voir la Fig. 4.17).

Il existe donc une relation entre la taille des clusters et les paramètresτ etβ_s. Pour corroborer cette observation il faut connaitre la distribution des tailles pour différentes valeurs de β_s et de τ.

Fig. 4.17 – Dernière image de trois simulations pour β_s= 3000 et τ = 0.01,1.5et 5.