Triangulations planaires

Triangulations planaires et arbres

Nous allons tirer profit d’une bijection entre triangulations planaires et arbres bourgeonnants (introduite r´ecemment par Poulalhon et Schaeffer [99] et illustr´ee `a la section 3.3). Plus pr´ecis´ement, cette correspondance est d´ecrite par un algorithme de ouverture/clˆoture qui `a un arbre recouvrant `a

n nœuds (ayant exactement deux bourgeons par nœud) associe une trian-

gulation planaire enracin´ee T `a n + 2 sommets (induite avec son r´ealiseur minimal).

7.3.1 Application de notre sch´ema

Soit T une triangulation planaire enracin´ee ayant n + 2 sommets et notons B l’arbre recouvrant `a n nœuds dont la clˆoture compl`ete donne la triangulation T (suivant la bijection introduite dans [99]). Puisque il n’y a pas de restriction sur l’arbre B (qui est juste un arbre ordonn´e, ayant deux bourgeons par nœud), il n’est pas possible en g´en´eral d’obtenir une partition de B en micro arbres (ce qui avait ´et´e possible pour les arbres binaires). Notre solution consiste `a appliquer une version modifi´ee et adapt´ee de la strat´egie de d´ecomposition pour arbres ordonn´es d´ecrite `a la section 2.6.

L’application r´eit´er´ee du lemme 16 `a l’arbre B, fournit une famille de sous arbres de taille Θ(lg2n), qui sont `a leur tour d´ecompos´es en micro arbres

ayant Θ(lg n) nœuds. Cette famille de sous-arbres forme une couverture de l’ensemble des nœuds de B, telle que deux sous-arbres peuvent se couper au plus en leur racine.

T Bj0 v0 v0 0 p(v0) = p(v1) v0 1 v1 T Bj1

Fig. 7.6 – Ces images montrent le r´esultat de la strat´egie de d´ecomposition (version modifi´ee de l’algorithme du lemme 16) sur un arbre ordonn´e, avec param`etre M = 3.

Construction des micro arbres

Il est `a noter que l’application directe de la strat´egie de d´ecomposition mentionn´ee ci-dessus, conduit `a une famille de sous-arbres formant une cou- verture de l’ensemble des nœuds de B, ne couvrant pas toutes les arˆetes : un certain nombre d’arˆetes de B (et donc de T ) n’appartiennent `a aucun sous-arbre. Afin de distribuer les arˆetes entre les sous-arbres, de mani`ere `a conserver l’information concernant la position relative des bourgeons autour des nœuds internes, nous allons introduire une version adapt´ee de l’algo- rithme de d´ecomposition d’arbres ordonn´es (lemme 16), proc´edant de la mani`ere suivante. Consid´erons un sous arbre T Bj0, faisant partie de la cou-

verture, qui est retourn´e `a une certaine ´etape par l’algorithme du lemme 16 : il s’agit d’un arbre ”complet”, dans le sens qu’il satisfait les contraintes de taille (sa taille minimale est donn´ee par un param`etre entier M > 2). Soit

v0 la racine de T Bj0 et notons p(v0) son nœud ancˆetre dans B. Apr`es avoir

retourn´e T B_j0, nous assignons l’arˆete (v₀, p(v₀)) au sous arbre restant qui contient p(v0), en attachant ensuite un nœud feuille v00, copie de v0. Ce

proc´ed´e nous garantit que (voir figure 7.6) :

– chaque sous-arbre satisfait les contraintes de taille (ayant entre ₃₀1 lg n and ₁₀1 lg n nœuds) ;

– chaque arˆete de B appartient exactement `a un seul sous-arbre ; – le nombre de nœuds dupliqu´es (racines des sous-arbres), ainsi que le

nombre de sous arbres dans la couverture, est globalement O(_{lg n}n ).

7.3.2 Micro arbres et micro triangulations

Suivant l’approche utilis´e pour les quadrangulations, il est possible de d´efinir un algorithme de clˆoture (inspir´e de l’op´eration d´ecrite dans [99]) conduisant `a une correspondance entre micro arbres et micro triangulations. D’abord quelques notations : si un micro arbre T Bj poss`ede un nœud

v de degr´e 3 qui appartient, en qualit´e de nœud racine, aussi `a un (ou

plusieurs) arbre diff´erent T Bj0 (voisin de T B_j), nous disons que v est un

Fig. 7.7 – Ces images montrent une micro triangulation obtenue via notre clˆoture locale `a partir d’un micro arbre T B. Dans un cet exemple, nous partons d’un arbre ayant 5 et 10 feuilles : il poss`ede 3 faux bourgeons (petits cercles rouges) et 3 faux nœuds internes (incluant la racine). La distribution des bourgeons est d´ecrites par le mot binaire de longueur 10 et poids 3 : 0010100001.

Distribution des bourgeons et des faces. Il est `a noter que les micro arbres peuvent pr´esenter moins de 2 bourgeons par nœud : afin que ces micro arbres aient la mˆeme entropie de la classe `a laquelle appartient B, nous allons effectuer certaines modifications.

Les bourgeons originaux dans B sont dupliqu´es et distribu´es entre les mi- cro arbres T B_j de telle sorte que chaque nœud ait deux feuilles. Le proc´ed´e est similaire `a celui introduit l`a section 7.2 pour le cas des quadrangula- tions : nous omettons les l´eg`eres modifications qui sont n´ecessaires pour tenir compte du fait que ici les arbres ne sont pas binaires, et chaque nœud a 2 bourgeons (dans le cas des arbres binaire les nœuds ayant au plus un bourgeon, `a l’exception de nœud internes de degr´e 3). Soulignons seulement que les bourgeons dupliqu´es, appel´es faux bourgeons, peuvent ˆetre assign´es aux micro arbres partageant un mˆeme nœud v de mani`ere `a respecter l’ordre cyclique des arˆetes incidentes `a v.

Les faux nœuds internes de degr´e 3 sont toujours incidents `a au moins un faux bourgeon, `a l’exception du nœud racine du micro arbre (voir la figure 7.5). De plus, il est facile de v´erifier que le nombre de faux nœuds in- ternes, ainsi que le nombre de bourgeons dupliqu´es, est globalement O(_{lg n}n ). Clˆoture d’un micro arbre

Notre clˆoture d’un micro arbre T Bj consiste `a effectuer un parcours en

profondeur le long des arˆetes incidentes `a la face externe (en sens trigo- nom´etrique et en partant de la racine) et `a ajouter une face triangulaire (vraie ou fictive) : cela est r´ealis´e par la fusion des bourgeons, suivant la distribution des faux bourgeons et faux nœuds internes de degr´e 3. Plus pr´ecis´ement nous effectuons la fusion des vrais bourgeons, selon les cas sui- vants :

- si un bourgeon s est pr´ec´ed´e par 2 (vrais) nœuds internes, nous relions son nœud incident au deuxi`eme dernier nœud qui le pr´ec`ede sur le bord de

la face externe ;

- autrement, si s est pr´ec´ed´e par un nœud v qui n’est pas interne, nous ajoutons une face triangulaire fictive, incidente `a s et v (une face color´ee dans la figure 7.7).

Les cartes planaires T Tj obtenues avec ce proc´ed´e (ayant des faces in-

ternes toutes de degr´e 3, et une seule face externe, simple et de taille arbi- traire) sont appel´ees micro triangulations.

7.3.3 V´erification des hypoth`eses

Lemme 65. ´Etant donn´ee une triangulation planaire T `a n + 2 sommets, notre strat´egie produit une d´ecomposition {T T1, . . . , T Tp} en micro trian-

gulations satisfaisant les hypoth`eses 1, 2, 3, 4 and 5, conduisant ainsi `a une repr´esentation succincte de T n´ecessitant asymptotiquement 3.24n + o(n) bits.

D´emonstration. La preuve est bas´ee sur les mˆemes arguments utilis´es dans

le lemme 64. L’hypoth`ese d’additivit´e est satisfaite, puisque les micro trian- gulations ne partagent que les nœuds racines (des micro arbres), qui sont globalement en nombre de O(_{lg n}n ).

Ici un objet Mj = T Tj est une micro triangulation, obtenue via notre

clˆoture locale `a partir d’un micro arbre T Bj ayant nj nœuds, 2nj bourgeons

et wj et faux bourgeons ; T Tj est induite avec un partitionnement de ses

arˆetes du bord en k_j cˆot´es.

Ainsi une micro triangulation peut ˆetre repr´esent´ee implicitement par une r´ef´erence dans le catalogue exhaustif, celle-ci ´etant constitu´ee de : un mot binaire de longueur 4nj− 2 et poids nj− 1 (il existe au plus 23.24nj de

tels mots, voir section 3.3), un mot binaire de longueur 2nj et poids wj (pour

d´ecrire la distribution des faux bourgeons) et un mot binaire de longueur 6nj− 2 et poids kj (il est facile `a v´erifier que toute micro triangulation a

un bord contenant au plus 6nj− 2 arˆetes). Encore une fois, la constante c

peut ˆetre choisie de mani`ere `a ce que le catalogue D n´ecessite une m´emoire auxiliaire de taille n´egligeable.

7.4

Remarques finales

Nous avons pr´esent´e dans ce chapitre deux applications de notre sch´ema ”micro/mini” conduisant `a deux repr´esentations succinctes de cartes pla- naires : en particulier ces applications ont tir´e pleinement profit de la nou- velle d´efinition du catalogue exhaustif des micro morceaux, ce dernier ne n´ecessitant plus de poss´eder la mˆeme entropie que la classe d’objets `a re- pr´esenter. La relaxation de cette derni`ere condition, ainsi que des nouvelles strat´egies de d´ecomposition d’une carte en mini/micro sous-cartes, nous ont permis d’am´eliorer les r´esultats existants connus et d’obtenir ainsi les

Repr´esentation triangulation graphe 3-connexe

Jacobson (FOCS 89) 64n 64n

Munro et Raman (FOCS 97) 2e + 8n ou 7m 2e + 8n Chuang et al. (ICALP 98) 2e + n ou 3.5m 2e + 2n Chiang et al. (SODA 01) 2e + 2n ou 4m 2e + 2n Castelli Aleardi et al. (WADS 05) 2.175m - Castelli Aleardi et al. (SOCG 06) 1.62m 2e

Tab. 7.1 – Ce tableau compare les performances de certaines repr´esentations compactes de graphes : `a l’exception du premier travail de Jacobson [74], toutes ces repr´esentations permettent de r´epondre `a certaines requˆetes lo- cales d’adjacence en temps O(1). Les r´esultats concernent des graphes pla- naires simples (3-connexes et triangul´es) et sont exprim´es en termes du nombre e d’arˆetes, m de faces et n de sommets. Les termes d’erreur d’ordre inf´erieur ne sont pas pr´esent´es, ´etant presque toujours Ω(n lg lg n_{lg n} ).

premi`eres repr´esentations succinctes optimales pour les classes des maillages triangulaires et polygonaux de la sph`ere (le tableau 7.1 compare notre strat´egie avec les repr´esentations compactes, supportant des requˆetes locales en temps constant, de graphes planaires existantes).

Possibles g´en´eralisations Les arguments utilis´es sont assez g´en´eraux et sugg`erent que notre sch´ema pourrait s’appliquer aussi `a d’autres strat´egies de codage, conduisant `a des repr´esentations succinctes ou compactes pour d’autres classes de graphes localement planaires (maillages surfaciques). Plus pr´ecis´ement, notre strat´egie de d´ecomposition du graphe (`a l’aide d’arbres recouvrants) pourrait tirer profit de certaines similarit´es existantes entre ”spanning tree based codings” [77, 125] et ”region-growing approaches” [109, 120], comme d´ej`a mis en ´evidence dans [70] : notamment notre strat´egie de d´ecomposition devrait s’´etendre facilement au cas de codages de surfaces de genre sup´erieur.

Int´erˆet pratique et th´eorique Les r´esultats pr´esent´es dans ce chapitre sont d’int´erˆet plutˆot th´eorique. D’une part les arguments mentionn´es `a la section 2.2.2 s’appliquent de mani`ere g´en´erale au sch´ema mini/micro et donc `a nos repr´esentations des chapitres 5- 7 (ainsi qu’aux autres repr´esentations compactes d’arbres, graphes planaires, Rank/Select, ...). D’autre part, les repr´esentations succincte de ce chapitre ne sont valables et optimales que pour des cartes planaires. De plus, notre structure de donn´ees n’est que statique, n’admettant pas une version dynamique `a cause des difficult´es insurmontables pour l’implantation efficace de mises `a jour locales : plus pr´ecis´ement, les correspondances bijectives entre cartes et arbres couvrants sont tr`es sensibles aux modifications locales, comme les propri´et´es combina-

toires sous-jacentes (ordres canoniques, r´ealiseurs).

Toutefois ces r´esultats r´ev`elent d’un certain int´erˆet, au moins th´eorique, plus que ceux des chapitres pr´ec´edents : en effet nous avons montr´e que mˆemes des codages optimaux, se basant sur des fortes contraintes combina- toire, peuvent ˆetre source d’inspiration pour des repr´esentations succinctes con¸cues pour permettre des op´erations de navigation en temps constant, tout en gardant l’optimalit´e en terme de ressources m´emoire.