6.8.1 Navigation dans la triangulation
La strat´egie de navigation mime exactement la proc´edure d´etaill´ee au chapitre 5 (que nous ne reportons pas ici), la seule diff´erence ´etant l’utili- sation des collections de tableaux dynamiques introduits `a la section 6.4. Il
suffit juste de rappeler que toutes les r´ef´erences et pointeurs utilis´es sont stock´es sur O(lg m) bits, et que tous les tableaux dynamiques d´ecrivant la repr´esentation des cartes G et F permettent l’acc`es en lecture en temps
O(1), pire cas.
6.8.2 Attacher de l’information g´eom´etrique
En analogie avec le cas statique, nous pouvons enrichir la structure de donn´ees afin de permettre d’associer des donn´ees externes (par exemple de type g´eom´etrique) `a T : ici nous voulons attacher des donn´ees de taille
O(lg m) aux cellules ´el´ementaires de T (sommets ou triangles). La solution
propos´ee consiste `a associer cette information directement aux nœuds et arˆetes de la carte Gi. Plus pr´ecis´ement, nous allons ajouter une nouvelle
collection de tableaux extensibles P Di, `a la description de l’organisation
m´emoire concernant la mini triangulation STi, de la mani`ere suivante :
• tous les ´el´ements dans la collection P Di sont de taille fixe O(lg m), chacun contenant l’information g´eom´etrique relative `a un sommet donn´e (ses coordonn´ees). Les donn´ees relatives `a une mˆeme micro triangulation T Tij
sont stock´ees dans des champs cons´ecutifs et tri´ees de mani`ere `a respecter l’ordre choisi sur le sommets de T Tij. Ces champs sont aussi regroup´es,
comme d´ej`a fait pour les tableaux de la collection P Ei, de fa¸con `a que
le k-`eme tableau de la collection contient des groupes de k√lg m champs, correspondants aux micro triangulations ayant entre (k −1)√lg m et k√lg m sommets.
La collection P Di est utilis´ee pour stocker tous les sommets internes (`a
une micro triangulation), ainsi qu’une s´election des sommets du bord, de telle sorte que les sommets partag´es par deux micro triangulations n’appa- raissaient qu’une seule fois. Un point crucial concerne les sommets multiples, partag´es par plusieurs micro triangulations : pour chaque mini triangula- tion STi, nous stockons la liste des sommets multiples, avec leurs donn´ees
g´eom´etriques, dans un tableaux extensible suppl´ementaire. Puisqu’il existe au plus O(lg2m) tels sommets dans ST
i, chacun peut ˆetre r´ef´erenc´e avec
des pointeurs locaux sur O(lg lg m) bits, qui sont directement stock´es dans les demi-arˆetes de la carte Gi. Globalement cette strat´egie ne fait qu’ajouter
une quantit´e n´egligeable d’espace. De mani`ere similaire, il faut stocker des donn´ees associ´ees aux sommets multiples qui sont partag´es par plusieurs mini triangulations (ainsi chaque mini triangulation contient les donn´ees relatives `a une s´election de ses sommets).
Coˆut d’une mise `a jour
La modification locale de la triangulation implique aussi la mise `a jour des tableaux contenant l’information g´eom´etrique. En particulier, dans le cas simple d’insertion de sommet la compl´exit´e d’une mise `a jour augmente,
lorsque on veut maintenir des donn´ees externes.
Lemme 62. Si des donn´ees externes (sur O(lg m) bits) sont associ´ees aux
sommets de T , la repr´esentation permet l’insertion de sommets en temps O(lg m) amorti, la suppression de sommets et le flip d’arˆetes pouvant s’ef- fectuer en temps O(lg2m) amorti.
Le fait de permettre l’acc`es aux donn´ees g´eom´etriques stock´ees dans les tableaux de la collection P Di pr´esuppose un ordre sur l’ensemble des som-
mets. Encore une fois le probl`eme de la mise `a jour concerne essentiellement les sommets multiples : l’ordre sur ces sommets est implicitement fourni par la fa¸con dont ces sommets sont arrang´es dans les tableaux de P Di, et est
soumis `a des changements provenant de l’insertion de nouveaux sommets. Contrairement `a ce qui arrive lors de la modification des tableaux dans P Ai,
la mise `a jour des r´ef´erences relatives aux tableaux de la collection P Di est
Repr´esentations succinctes
optimales de cartes planaires
7.1
Notre contribution
Nous allons illustrer comment le sch´ema du chapitre 4 nous fournit les premi`ere repr´esentations succinctes pour des structures de donn´ees g´eom´etriques telles que les maillages (triangulaires et polygonaux) de la sph`ere. Plus pr´ecis´ement, l’optimalit´e en terme de ressources m´emoire est due `a deux ingr´edients : des nouvelles strat´egies de d´ecomposition du graphe initial en micro r´egions, bas´ees sur des arbres couvrants sp´eciaux ; la construc- tion d’un catalogue exhaustif des micro r´egions qui ne contienne pas exacte- ment juste les objets appartenant `a la mˆeme classe du graphe initial. Cette derni`ere propri´et´e, absente dans les travaux pr´ec´edents, joue un rˆole crucial dans l’application de notre sch´ema, et nous fait supposer que notre strat´egie est assez g´en´erale et pourrait conduire `a de nouvelles repr´esentations suc- cinctes ou compactes pour d’autres classes de cartes planaires.
Les r´esultats principaux de ce chapitre1 sont exprim´es par le th´eor`eme
suivant :
Th´eor`eme 63. Il existe des repr´esentations succinctes de
– triangulations planaires (sans bord) n´ecessitant asymptotiquement 1.62 bits par triangle,
– de cartes planaires 3-connexes n´ecessitant asymptotiquement 2 bits par arˆete.
Ces deux repr´esentations permettent en temps O(1) la navigation locale en utilisant une quantit´e de m´emoire auxiliaire de taille O(n lg lg nlg n ) (n ´etant
le nombre de sommets de la carte).
1Les deux repr´esentations succinctes pr´esent´ees dans ce chapitre ont ´et´e l’objet d’une
publication `a SoCG 2006 [28].