Travaux ant´erieurs sur la m´ethode propos´ee, dans le domaine de

L’acoustique est un domaine o`u le couplage est couramment utilis´e. La principale motivation de cette ´etat de fait est que les exigences en maillages (r´eguliers) et en sch´emas (centr´es d’ordre ´elev´e, diff´erences finies en espace, explicites en temps) de l’acoustique ne sont pas compatibles avec celles de l’a´erodynamique classique (mailles tr`es allong´ees `

a proximit´e des parois, sch´emas spatiaux d’ordre 2 ou 4, voire d´ecentr´es et dissipatifs, sch´emas temporelles implicites, volumes finis ou ´el´ements finis).

De plus, les acousticiens s’int´eressent principalement aux fluctuations. C’est pour cela que la plupart des travaux r´ealis´es jusqu’`a aujourd’hui en acoustique sont fond´es sur une analogie acoustique.

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Ω

Ω

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Fig. 5.6: Illustration de la technique de calcul hybride adopt´ee.

Cependant, le degr´e de complexit´e de ces analogies a ´et´e croissant depuis que Lighthill a d´eriv´e la premi`ere formulation [98, 99].

Ces analogies permettent de retrouver les fluctuations acoustiques `a partir d’un champ moyen.

Les ´equations d’Euler lin´earis´ees sont souvent utilis´ees pour pr´edire la propagation des ondes acoustiques (voir [156, 103, 140] pour des exemples r´ecents). Mais aucune informa-tion n’est fournie sur la g´en´erainforma-tion de ces ondes.

La forme classique de couplage, appel´ee Euler lin´earis´e, consiste `a pr´edire de mani`ere quelconque le champ porteur des ondes acoustiques. Les perturbations acoustiques sont alors transport´ees par ce champ porteur grˆace aux ´equations d’Euler, lin´earis´ees (le terme de convection ∇ · (ρu ⊗ u′) est approch´e par ∇ · (ρu0⊗ u′), en appelant u′ les perturbations et u₀ le champ moyen). On utilise en fait l’approximation u₀ >> u′. Il est important de remarquer que le but de cette m´ethode est de propager les perturbations. La saturation, qui est assur´ee par le terme non lin´eaire de convection est naturellement inhib´ee.

Une alternative utilis´ee par Slimon et ses coauteurs [156], est de s´eparer l’´ecoulement en une partie incompressible et son compl´ement compressible. Ils estiment que cela ´equivaut `

a scinder la partie a´erodynamique de la partie acoustique de l’´ecoulement. Dans l’approxi-mation des faibles nombre de Mach (M2 << 1), les termes de compressibilit´e sont jug´es n´egligeables dans le calcul du champ porteur. Cette fois, les ´equations pour les perturba-tions sont non lin´eaires. Slimon et al. utilisent une formulation comprenant une correction de la densit´e. Cette formulation a ´et´e simplifi´ee par la suite par Shen et Sorensen [154], qui ont supprim´e cette correction de densit´e dans les ´equations.

Les sources acoustiques peuvent ˆetre mod´elis´ees en utilisant des mod`eles statistiques ou peuvent ˆetre ´evalu´ees grˆace aux modes d’instabilit´e du champ moyen [183]. Dans ce dernier cas, l’approche qui en r´esulte peut ˆetre consid´er´ee comme hybride entre l’analyse

Etat de l’art 55

de stabilit´e classique, et les techniques num´eriques pour l’a´erodynamique. Viswanathan et Sankar [183] d´ecomposent un ´ecoulement de jet en un ´ecoulement moyen turbulent et des fluctuations non visqueuses. Les fluctuations sont initialis´ees par une condition limite provenant de la th´eorie des instabilit´es puis propag´ees en utilisant les ´equation d’Euler lin´earis´ees 3.

Une approche ´equivalente consiste `a calculer les modes d’instabilit´e associ´es avec une solution RANS, et `a les identifier avec les perturbations turbulentes responsables de la g´en´eration du bruit. Khorrami et Singer [80] utilisent une telle technique dans le cas d’un ´ecoulement autour d’un volet d’aile d’avion. Une analyse de stabilit´e lin´eaire est men´ee, ce qui donne une mod´elisation grossi`ere de w_1,2.

Street [163] propose une ´evaluation plus r´ealiste du champ perturb´e proche autour d’un ´ecoulement moyen grˆace `a une SND bidimensionnelle et incompressible. L’auteur estime que l’ordre de grandeur des fluctuations, dans un ´ecoulement avec une direction pr´ef´erentielle tr`es marqu´ee permet de n´egliger les fluctuations dans cette direction.

Enfin, une autre technique, appel´ee NLDE (pour Non-Linear Disturbance Equations) a ´et´e d´evelopp´ee par Morris et al. [116] pour ´evaluer les sources acoustiques `a partir d’une simulation de jet stationnaire.

Dans cette premi`ere ´etude, les fluctuations sont consid´er´ees comme non visqueuses. De plus, les termes sources provenant du champ moyen sont n´eglig´es. En effet, Morris et ces coauteurs trouvent que ces termes d´estabilisent la simulation. Formellement, ils bloquent le processus de saturation en fr´equence observ´e g´en´eralement en a´ero-acoustique. Cette derni`ere approximation se traduit par τ²= 0 dans l’´equation 5.12.

Les mˆemes auteurs ont r´eintroduit par la suite une partie des termes sources provenant du champ moyen [117, 118, 119]. Cette introduction est r´ealis´ee progressivement de mani`ere `

a d´estabiliser aussi peu que possible la simulation.

Long [102] r´ecrit les ´equations de la NLDE sous forme non conservative. Il utilise cette m´ethode exclusivement pour ´etudier la propagation d’ondes acoustiques `a partir de perturbations d’enveloppe gaussienne. L’´ecoulement est consid´er´e comme laminaire, c’est `

a dire que τ² et τ¹ sont consid´er´es comme nuls.

Cette utilisation de la NLDE montre que l’utilisation de cette m´ethode peut ˆetre ´etendue `a d’autres formes de couplage en jouant sur la d´efinition de l’´ecoulement moyen et du champ perturb´e.

Deux autres ´etudes ont ´et´e men´ees en utilisant cette technique. Elles s’int´eressent cette fois plus sp´ecialement `a l’aspect a´erodynamique de la m´ethode. Hansen et al. [63] utilisent la NLDE pour calculer le champ laminaire instationnaire 2D autour d’un cylindre `

a base circulaire. Il s’agit de la premi`ere tentative d’utilisation de la m´ethode avec les termes de viscosit´e introduits dans les ´equations pour les d´etails. L’´etat laminaire du fluide implique comme pr´ec´edemment que τ2 = 0 et τ1 = 0. L’objet de leur ´etude est de tester diff´erents ´ecoulements moyens, dont un n’est absolument pas physique. Ils obtiennent de bons r´esultats, et un important gain de temps, mise `a part dans le cas o`u le champ porteur est instationnaire.

Chyczewski et al. [22] utilisent la NLDE dans le cas d’un canal plan turbulent. Les perturbations sont consid´er´ees comme incompressibles dans ce travail. Malheureusement, l’utilisation d’une loi de paroi d´eficiente rend les r´esultats de cette ´etude sujets `a caution. Chyczewski et ses coauteurs proposent d’imposer la moyenne des fluctuations `a z´ero `a travers l’interface de la loi de paroi, en amortissant les termes non-lin´eaire. Cette interface se trouve dans une r´egion de forte production turbulente (z<sup>+</sup> = 25), o`u des structures

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Les auteurs de ces travaux parlent de tests r´ealis´es avec les ´equations d’Euler non lin´earis´ees, mais aucun r´esultat ne s’y rapporte explicitement.

fortement anisotropes gouvernent la dynamique de l’´ecoulement (voir chapitre 6). Il est ´evident qu’amortir les termes non-lin´eaires, `a l’origine de la production turbulente, ne peut conduire `a une description satisfaisante de la dynamique turbulente pari´etale.

Pour ce qui est des ´equations r´esolues, la m´ethode d´evelopp´ee dans cette th`ese est proche de celle utilis´ee par Chyczewski.

Une ´etude compl`ete de cette m´ethode, ´etendue au cas compressible, a ´et´e men´ee.