Param`etres du calcul

a un ph´enom`ene d’´eclatement tourbillonnaire qui se d´ecompose en deux phases. La phase de balayage tend `a amener de grosses structures depuis l’ext´erieur de la couche limite vers la paroi. La phase d’´ejection expulse de petites structures turbulentes vers l’ext´erieur. C’est dans cette zone que la plupart des m´ecanismes moteurs de la turbu-lence ont lieu. Il est donc n´ecessaire de la d´ecrire correctement, sous peine de polluer l’ensemble du calcul. En particulier, des structures coh´erentes de petite taille doivent ˆetre correctement repr´esent´ees, ce qui implique une r´esolution quasi-d´eterministe de l’´ecoulement dans cette zone. Parmi ces structures, les plus connues sont les streaks. Ils correspondent `a des zones altern´ees de fluide lent ou rapide, et sont tr`es along´es dans la direction de l’´ecoulement. Bien que leur formation soit unanimement admise comme al´eatoire, elles poss`edent des caract´eristiques statistiques presque constantes. Elles ont une taille d’environ 1000 unit´es de paroi dans la direction de l’´ecoulement, et sont s´epar´ees les unes des autres de 100 unit´es dans la direction transverse `a la paroi.

Les ph´enom`enes d’´eclatement tourbillonnaire sont caract´eris´es par une fr´equence ω_b. La d´efinition de cette fr´equence n’est pas compl´etement uniformis´ee. On utilise celle donn´ee par Cantwell [19], qui fait intervenir les ´echelles macroscopiques de l’´ecoulement, plutˆot que les grandeurs de paroi :

ω_b ≈ ^2πuext

6h ^(6.17)

o`u uext est la vitesse `a l’ext´erieur de la couche limite. Dans le cas consid´er´e ici du canal plan, on choisit u_ext la vitesse au centre du canal.

Cette premi`ere zone est donc d´eterminante pour l’ensemble de l’activit´e turbulente dans le canal.

– La partie centrale est caract´eris´ee par la pr´esence de structures turbulentes de grande taille, en particulier les tourbillons en lambda [129, 130]. Dans cette zone, la dissipation turbulente est sup´erieure `a la production et l’´energie est maintenue par l’apport de la zone interne de la couche limite.

– Entre ces deux zones, se trouve la partie externe de la zone logarithmique (voir l’´equation 6.16). Dans cette zone la dissipation compense la production, et elle se comporte comme une zone de transfert d’´energie.

6.2.2 Param`etres du calcul

Cette partie fait l’objet d’une publication dans Journal of Computational Physics `a laquelle le lecteur peut se rapporter en annexe E.

Une simulation temporelle du canal plan est r´ealis´ee. Le calcul initial adopt´e est effectu´e sur une configuration de canal plan bi-p´eriodique dans la direction de l’´ecoulement et dans la direction transverse. La moyenne statistique du champ est donc homog`ene dans ces deux directions, ce qui en fait un calcul 1D en moyenne. Cette condition de p´eriodicit´e est assur´ee par la pr´esence de trois mailles de recouvrement dans la direction de l’´ecoulement et dans la direction transverse.

Les tests pr´eliminaires sur la m´ethode en incompressible ont ´et´e r´ealis´es en utilisant comme champ porteur la moyenne d’un champ SGE. C’est `a dire que le champ porteur

Lx

Ly

Lz

Fig. 6.2: Canal Plan

sera de la forme < u >. On s’attend dans ce cas `a ce que les fluctuations reconstitu´ees soient `a moyenne nulle, ie :

< w1,2>=< u− < u >>= 0 (6.18) Les parois sont mod´elis´ees par des conditions limites d’adh´erence. Celles-ci se traduisent math´ematiquement par :

u = 0 pour z = −h ou z = h (6.19)

sur les vitesses.

Gresho et Sani [60] pr´econisent d’utiliser une condition de Neumann sur la pression pour que le probl`eme soit bien pos´e math´ematiquement. Cette condition limite est obtenue en projetant l’´equation de quantit´e de mouvement sur la normale ext´erieure `a la paroi.

∂p ∂z     z=−h,h = ρn·  −^∂u_∂t − ∇ · (u ⊗ u) + ν∇²u  (6.20) La p´eriodicit´e de la pression entraˆıne naturellement que le gradient de pression est nul dans le canal. Pour maintenir le niveau ´energ´etique de l’´ecoulement, et compenser les pertes visqueuses par frottement pari´etal, l’ajout d’un terme de for¸cage est donc n´ecessaire. Le for¸cage peut ˆetre choisi soit pour assurer la conservation du gradient de pression moyen, soit pour assurer la conservation de la vitesse d´ebitante. Deschamp [37] montre que le temps d’´etablissement d’un ´ecoulement pleinement turbulent `a partir d’un profil laminaire est plus court avec le second type de for¸cage. C’est donc celui-l`a qui a ´et´e retenu.

La vitesse d´ebitante est donn´ee par la relation :

U_b = ¹ LxLyh Z Lx 0 Z Ly 0 Z h 0 udz (6.21)

Le canal plan incompressible 67

En moyennant l’´equation de quantit´e de mouvement suivant les trois direction de l’espace, on obtient une ´equation d’´evolution pour U_b :

dU_b dt ⁺ 1 L_xL_yh Z _Lx 0 Z _Ly 0 Z _h 0 (u₁u₃+ τ₁₃) dxdydz | {z } =0 = ¹ L_xL_yh Z _Lx 0 Z _Ly 0 Z _h 0 ν^∂ 2u ∂z2dz (6.22) Pour compenser le second membre de l’´equation pr´ec´edente, on ajoute un terme de for¸cage qui ne d´epend que du temps :

dU_b dt = −F1(t) + ¹ L_xL_yh Z Lx 0 Z Ly 0 Z h 0 ν^∂ 2u ∂z2dz (6.23)

On obtient la forme discr`ete suivante pour le terme de for¸cage : F₁ⁿ⁺¹ = F₁ⁿ+ α U_bⁿ⁺¹− Uc

+ β (U_bⁿ− Uc) (6.24) o`u U<sub>c</sub>est la vitesse d´ebitante cible et α et β sont des coefficients constants. La simula-tion est extrˆemement sensible `a ce terme de for¸cage et en particulier aux coefficient α et β. En effet, avant d’obtenir un ´etat converg´e, ce terme peut osciller de fa¸con importante, ce qui est dangereux compte tenu du caract`ere non dissipatif du code SGE. Il s’agit, par contre, essentiellement d’un terme moyen, et il n’intervient pas dans le calcul des d´etails w<sub>1,2</sub>, ce qui est un avantage non n´egligeable. En effet, le code RANS charg´e dans ce cas de calculer l’´ecoulement moyen est g´en´eralement beaucoup plus robuste. Conform´ement `a Deschamp [37] on a pris α = ¹_π et β =⁻¹_2π.

Le maillage de d´epart utilise un pas constant en espace dans les directions homog`enes de l’´ecoulement, et une distribution en tangente hyperbolique est utilis´ee dans la direction normal `a la paroi. Le maillage complet `a une taille de 64x64x67 points dans les directions x, y et z. D’apr`es les crit`eres de Zang [194] ou de Zahrai [193], on peut consid´erer qu’une SGE est correctement r´esolue pour des tailles de maille en unit´e de paroi de l’ordre de ∆x+ ≈ 70−80 et ∆y<sup>+</sup>≈ 15−20. Le cas test propos´e ici utilise des tailles de maille de : ∆x<sup>+</sup>= 78 et ∆y<sup>+</sup>= 18. Cela entraˆıne pour le maillage complet des longueur adimensionn´ees en unit´e de paroi suivantes : L<sup>+</sup><sub>x</sub> = 4964, L<sup>+</sup><sub>y</sub> = 1240, L<sup>+</sup><sub>z</sub> = 790. Cela permet `a plusieurs streaks d’ˆetre repr´esent´es, et donc pr´evient toute corr´elation non physique due `a l’approche temporelle de la simulation [84]. On appelle Dom1 cette configuration dans la suite de ce m´emoire. La SGE correspondant `a ce cas de calcul est correctement r´esolue et est appel´e cas A1 dans la suite de ce m´emoire. On peut penser qu’il en est de mˆeme pour la m´ethode coupl´ee propos´ee.

Le champ moyen est initialis´e grace `a un profil de Poiseuille. Les d´etails initiaux sont obtenus `a partir d’une perturbation al´eatoire. Celle-ci doit cependant v´erifier certaines propri´et´es :

– ˆetre `a divergence nulle pour ne pas violer la conditions d’incompressibilit´e, – ˆetre `a moyenne nulle pour ne pas modifier le d´ebit impos´e,

– v´erifier les conditions aux limites.

Comme pr´econis´e dans [37], on utilise la condition initiale suivante : w_1,2= Re

0.1V (z)eⁱLx^x + 0.01W (z)eⁱ⁽Lx^x +_Ly^y )

(6.25) o`u V (z) et W (z) sont choisis de fa¸con `a ce que le champ soit `a divergence nulle.