homogène de la température ([22], [23]). Cette augmentation de l’efficacité est attribuée essentiellement à la présence des vortex de Dean alternés résultant de la configuration particulière du dispositif.
Il a été montré aussi, que les écoulements secondaires dans les conduites courbes (vortex de Dean) retardent la transition de l’écoulement du régime laminaire au régime turbulent, [24].
2.1.5 Historique des écoulements dans les conduites courbes
Williams et al. (1902) [25], en procédant à des expériences, ont formulé les premières observations sur les écoulements dans les conduites courbes. Puis, Eustice (1910, 1911) [26, 27] a étudié les écoulements de l’eau dans les conduites courbes et a montré expérimentalement l’existence des écoulements secondaires dans les écoulements en conduites courbes par la technique de la coloration.
Dean (1928) [17] en se basant sur les observations expérimentales d’Eustice, fut le premier à décrire les caractéristiques des écoulements en conduites courbes en utilisant la méthode de la perturbation de l’écoulement de poiseuille d’un fluide newtonien. Il montre que, les équations de mouvement d’un écoulement pleinement développé, écrites sous forme adimensionnelle peuvent être caractérisées par un seul nombre adimensionnel connu depuis, sous le nom du nombre de Dean Dn. Il montre -moyennant certaines hypothèses- dans une analyse mathématique, qu’au delà d’une certaine valeur du nombre de Dean, l’existence d’une paire de cellules tourbillonnaires contrarotatives dans l’écoulement. Cette démarche est connue de nos jours sous le nom de “approximation de Dean ou le problème de Dean”.
Malgré son caractère approximatif, le problème de Dean a permis l’émergence d’une multitude d’études voulant surpasser ce caractère approximatif en faisant abstraction de certaines hypothèses simplificatrices émises dans l’étude originale de Dean (Topakoglu [28]).
Depuis les travaux de Dean, d’importantes études théoriques expérimentales et numériques ont été réalisées, certaines d’entre elles vont être citées dans la suite de ce chapitre.
2.2 Travaux antérieurs sur les écoulements de Dean
Depuis l’analyse originale de Dean, de nombreux travaux, théoriques, numériques et expérimentaux ont été effectués sur les écoulements en conduite courbes, et à part, l’aspect hydrodynamique, d’autres aspects du problème ont été abordés, tels que la convection
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forcée et les transferts thermiques dans les conduites courbes chauffées ou non chauffées, et l’incidence des écoulements de Dean sur l’efficacité des échanges au sein des échangeurs de chaleur et des systèmes de refroidissement. La plupart des études expérimentales dans les conduites courbes sont limitées aux cas des écoulements isothermes ; les écoulements non isothermes sont limités à cause des difficultés liées à la mesure de température dans le fluide, et les études analytiques ont eu un succès limité, à cause du caractère fortement non linéaire des équations gouvernantes.
Les configurations géométriques qui ont été adoptées dans les différentes études sont : les conduites courbées à 90° (coudes), les conduites courbées à 180°, les conduites courbées à 270° et les successions de coudes. Les sections d’écoulement adoptées dans ces différentes études, vont, de la section circulaire à la section rectangulaire passant par les sections semi-circulaires, les sections elliptiques, les sections annulaires et les sections carrées.
La grande majorité des études ont traité les écoulements de Dean en régime établi , d’autres -qui sont relativement peu nombreuses- ont porté sur les écoulements de Dean en régime non établi. La formation des Vortex et des Vortex additionnels, les conditions de passage du régime à deux cellules Vortex au régime à quatre cellules Vortex, l’existence des solutions multiples (coexistence du régime à deux vortex et du régime à quatre vortex pour le même nombre de Dean) sont les thèmes clés et majeurs de ces études.
Certains auteurs ont utilisé l’analyse de Dean mais avec les équations de Navier-Stokes complètes, pour surpasser le caractère approximatif du problème de Dean. D’autres, dans des études analytiques et numériques ont étendu l’étude des écoulements en conduites courbes pour des valeurs de rapports de courbures et de nombres de Reynolds au-delà des marges pour lesquels la méthode des perturbations été initialement applicable. Une synthèse des travaux et résultats obtenus jusqu’au milieu des années 80 a été faite par Berger et al. [18] et Nandakumar et Masliyah [29].
Quand aux fluides non newtoniens, l’étude est plus complexe, vu la multitude des modèles rhéologiques et la complexité des calculs due aux tensions polymériques qui viennent s’ajouter aux tensions visqueuses newtoniennes.
Toms [30], fut le premier à étudier les effets de l’élasticité sur les caractéristiques de l’écoulement, dans une conduite rectiligne à section circulaire, en injectant de petites quantités de polymères dans un solvant inélastique. Depuis, plusieurs auteurs ont étendu l’étude aux écoulements dans les conduites courbes. L’influence de la viscoélasticité sur les caractéristiques de l’écoulement laminaire en conduite courbe a été étudiée analytiquement pour des fluides de second ordre [31, 32], des fluides d’Oldroyd-B [33],
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des fluides de Maxwell [34], un intérêt particulier a été donné aux effets de la viscoélasticité sur le champ des vitesses, aux effets couplés de l’inertie et la viscoélasticité et à l’application de l’approximation de Dean aux fluides viscoélastiques.
Joo et Shaqfeh, ont montré que, même en absence d’inertie, c'est-à-dire pour des nombres de Dean infiniment petit, les écoulements secondaires apparaissent dans l’écoulement d’un fluide viscoélastique [35, 37]. Ils ont montré également, dans une analyse énergétique, que les instabilités des écoulements de Dean sont le résultat de deux mécanismes séparés, un mécanisme purement élastique [35] et un mécanisme purement inertiel [36], et que ces deux mécanismes sont couplés pour des nombres de Reynolds inférieurs à 200, et que pour des nombres de Reynolds élevés le mécanisme inertiel devient dominant.
La méthode des perturbations initiée par Dean pour le cas du fluide newtonien, a été utilisée par Bowen et al. [32] pour étudier l’écoulement d’un fluide de Maxwell et l’analyse des effets de la viscoélasticité sur les écoulements tourbillonnaires. Robertson et Muller [33] ont étendu la solution de Bowen et al. [32] à un fluide d’Oldroyd-B en écoulement stationnaire pleinement développé dans des conduites courbes de section circulaire et annulaire, la comparaison des résultats du cas du fluide newtonien et du cas du fluide viscoélastique met en évidence l’influence de la viscoélasticité sur les caractéristiques de l’écoulement principal et sur ceux, de l’écoulement secondaire.
Jitchote et Robertson [38], dans une étude analytique de l’écoulement stationnaire pleinement développé d’un fluide de second ordre dans une conduite courbe à section circulaire montrent que la solution de la perturbation est unique pour les valeurs des paramètres matériels qui correspondent à des fluides polymériques réels, et que l’écoulement secondaire est qualitativement similaire à celui qui apparaît dans le cas du fluide newtonien.
D’autres études ont été réalisées en adoptant des configurations originales telles que l’étude de Sarin [39], qui a étudié l’écoulement laminaire stationnaire pleinement développé d’un fluide viscoélastique dans une conduite courbe à section elliptique variable.
L’écoulement dans des conduites courbes rotatives est aussi le sujet de plusieurs études, on cite dans cette catégorie, l’étude de Chen et al. [40] concernant l’écoulement stationnaire pleinement développé d’un fluide viscoélastique dans une conduite rotative à section circulaire, ils concluent que la rotation, aussi bien que la courbure de la conduite et l’élasticité joue un rôle important dans la structure de l’écoulement secondaire et de son intensité.
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2.3 Travaux sur les écoulements de Dean dans des conduites carrées et rectangulaires 2.3.1 Travaux concernant les fluides newtoniens
Les premières analyses théoriques montrant l’existence des écoulements secondaires au sein des écoulements en conduites courbes à section rectangulaire et carrée, ont été faites par Ito [41] et Cuming [42], ils ont utilisé la méthode des perturbations de Dean, utilisée initialement pour une conduite circulaire.
Cheng et Akiyama [43] ont utilisé une formulation basée sur la méthode des différences finies pour calculer les écoulements secondaires au sein d’un écoulement stationnaire pleinement développé dans des conduites hélicoïdales à section rectangulaire pour des rapports d’aspect allant de 0.2 à 5, ils ont calculé les deux cellules de Dean habituelles et ont seulement mentionné l’existence de quatre cellules de Dean au delà d’un nombre de Dean critique.Ils ont également cité l’existence de solutions multiples (la solution double : coexistence du mode “deux vortex” et du mode “quatre vortex” pour le même nombre de Dean).
Des vortex à quatre cellules de Dean ont été ultérieurement présentés par Cheng et al. [44], en étudiant numériquement un écoulement laminaire pleinement développé dans une conduite courbe rectangulaire.
Cheng et al. [45] ont présenté une visualisation de l’écoulement laminaire stationnaire pleinement développé dans une conduite courbe à section rectangulaire pour des rapports d’aspect variant de 1 à 12 avec un taux de courbure de 0.2, et un rapport d’aspect de 12 avec un taux de courbure de 0.025. Ils montrent que des vortex additionnels s’ajoutent aux vortex habituels et que le nombre de Dean critique de l’apparition des vortex additionnels et le nombre des vortex additionnels dépend à la fois du rapport d’aspect et du taux de courbure.
Sigiyama et al. [46], ont présenté des photographies des vortex de Dean additionnels lors de l’étude des caractéristiques de l’écoulement laminaire pleinement développé dans les conduites courbes à section rectangulaire, pour des rapports d’aspect allant de 0.5 à 2.5 et des taux de courbures allant de 5 à 8 et une hauteur de la section d’écoulement de 20mm. Ces vortex apparaissent à certains nombres de Dean, mais pas comme étant une solution unique (coexistence du mode “deux vortex” et du mode “quatre vortex” pour le même nombre de Dean). Ils ont montré aussi que le nombre de Dean critique prend une valeur minimale et une valeur maximale respectivement pour les rapports d’aspect 1 et 2.
Chandratilleke et Nursubyakto [47] ont présenté une simulation numérique utilisant la méthode des volumes finis pour décrire les caractéristiques de l’écoulement secondaire au
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sein de l’écoulement dans une conduite courbe à section rectangulaire dont la paroi externe (concave), tantôt chauffée et tantôt non chauffée, pour des rapports d’aspect allant de 1 à 8 et des nombres de Dean allant de 20 à 500. Ils concluent que le nombre des vortex est fortement influencé par le rapport d’aspect de la conduite et le nombre de Dean, et que le transfert convectif de chaleur augmente significativement par les vortex de Dean particulièrement quand ceux-ci émergent vers la paroi concave de la conduite.
Pour les rapports d’aspect relativement grand, Ligrani et Niver [48] ont présenté une visualisation des vortex de Dean pour des nombres de Dean allant de 109 à 602 dans une conduite courbe à section rectangulaire fortement allongée, de rapport d’aspect 40 et un rapport des rayons de courbure de 0.979, leurs observations et leurs photographies montrent plusieurs paires de vortex de Dean pour les nombre de Dean au delà de 175 et pour les positions angulaires au delà de 125°. Targett et al. [49] ont utilisé une méthode d’éléments finis pour étudier un écoulement pleinement développé dans une conduite courbe à section rectangulaire pour des rapports d’aspect relativement importants. Ligrani et al. [50] ont repris la même géométrie adoptée dans [48] et ont montré que les instabilités commencent à la position angulaire 90°, pour les nombres de Dean au delà de 334 ; et que la formation des vortex de Dean additionnels est plus affectée par le chauffage externe de la paroi concave que par le chauffage externe de la paroi convexe.
L’étude de Winters [51] de l’écoulement stationnaire en régime laminaire dans une conduite courbe à section rectangulaire, est la plus détaillée, elle présente un diagramme de la structure de la solution, montrant les régions d’existence des solutions uniques et les régions des solutions multiples ainsi que la nature de la solution, c'est-à-dire : symétrique ou asymétrique.
Notons que les travaux mentionnés ci-dessus, incluent les conduites à section carrée comme étant un cas particulier des conduites à section rectangulaire dont le rapport d’aspect est de 1. Des études concernant exclusivement les conduites à sections carrées ont été faites. On cite dans cette catégorie, l’étude numérique de l’écoulement laminaire dans des conduites hélicoïdales à section carrée faite par Joseph et al. [52], montrant le passage du mode “deux vortex de Dean” au mode “quatre vortex de Dean” au delà d’un nombre de Dean critique. Ils ont confirmé la présence des vortex de Dean à quatre cellules par visualisation de l’écoulement.
Les solutions doubles pour un écoulement pleinement développé dans une conduite courbe à section carrée ont été présentées dans l’étude numérique de Winters et Brindley [53].
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Une étude expérimentale détaillée de l’écoulement non établi, dans une conduite courbe à section carrée a été faite par Hille et al. [54], à l’aide d’une vélocimétrie laser Doppler (LDV). Leurs mesures révèlent le développement d’une structure asymétrique de quatre vortex entre les nombres de Dean compris entre 150 et 300, mais tout en remarquant que l’écoulement n’a pas atteint son stade pleinement développé jusqu’à la longueur axiale correspondant à la position angulaire 180°.
L’étude numérique de Soh [55] concernant l’écoulement laminaire en développement dans une conduite courbe à section carrée, montre que, selon les conditions d’entrée, pour un débit d’entrée fixé, l’écoulement peut se développer en régime à “deux cellules vortex” ou en régime à “quatre cellules vortex”.
Bara et al. [56] ont réalisé une étude expérimentale et numérique concernant un écoulement non établi et un écoulement pleinement développé d’un fluide newtonien incompressible, dans une conduite courbée à section carrée avec un rapport d’aspect de 15,1. Les mesures au moyen d’une vélocimétrie (LDV) pour des nombres de Dean de 125, 137 et 150 révèlent l’existence stationnaire et symétrique de deux cellules vortex à Dn=125 et l’existence stationnaire et symétrique de quatre cellulesvortex à Dn=137 et Dn=150. 2.3.2 Travaux concernant les fluides non newtoniens
Les travaux sur les fluides non newtoniens en écoulement dans des conduites courbes à section carrée ou rectangulaire sont relativement peu nombreux, parmi ces travaux on peut citer :
Xue et al. [57], qui ont utilisé une méthode implicite de volume fini pour explorer numériquement la structure des cellules tourbillonnaires et leur intensité, dans une conduite à section rectangulaire, pour une catégorie générale de modèles de fluides viscoélastiques. Fellouah et al. [58], dans une étude numérique récente de l’écoulement d’un fluide de Bingham et d’un fluide en loi de puissance (fluides non newtoniens inélastiques) dans une conduite courbe à section rectangulaire, montrent que la structure des vortex additionnels et le nombre de Dean critique sont fortement influencés par les paramètres rhéologiques des fluides étudiés. Une autre étude expérimentale et numérique a été faite par Fellouah et al. [59] où, ils présentent une méthode de détection des vortex additionnels en se basant sur le gradient radial de la vitesse axiale de l’écoulement principal.
Et dans la même perspective, Fellouah et al. [60] ont étudié expérimentalement et numériquement, l’écoulement laminaire d’un fluide en loi de puissance et un fluide à seuil, dans une conduite courbe à section rectangulaire, dans le but de cerner l’effet du
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comportement rhéologique du fluide sur les instabilités de Dean qui apparaissent au delà du nombre de Dean critique, la visualisation de l’écoulement montre l’influence des paramètres rhéologiques sur le comportement des vortex de Dean.
L’effet de l’élasticité sur les vortex de Dean a été mis en évidence dans une étude numérique de l’écoulement non établi d’un fluide newtonien et un fluide viscoélastique s’écoulant dans une conduite courbe à section carrée par Boutabaa et al. [61]. L’étude numérique récente de Helin et al. [62] (2009), de l’écoulement d’un fluide viscoélastique obéissant au modèle de PTT modifié (MPTT) à travers une conduite courbe à section carrée, pour des nombres de Reynolds allant de 485 à 580 et qui correspond à des nombres de Dean allant de 125 à 150, montre la présence des deux cellules contrarotatives habituelles et l’apparition d’une paire de vortex additionnels et met en évidence l’influence de l’élasticité, du paramètre d’extensibilité et du taux de cisaillement sur l’intensité et la taille des vortex additionnels.
En conclusion, l’étude bibliographique montre que le domaine des écoulements en conduites courbes et en particulier, l’étude des écoulements secondaires et les vortex de Dean, est un domaine fertile, prometteur et d’un intérêt grandissant. Les percées technologiques dans le domaine des échangeurs, des systèmes de refroidissement et des processus de mélange, le développement des calculateurs et les méthodes de calcul numérique incitent de plus en plus les chercheurs à explorer les différents aspects des écoulements secondaires et des vortex de Dean.
Le domaine des études relatives aux fluides viscoélastiques et en particulier, les écoulements en conduites courbes à sections carrées et rectangulaires se distingue par une carence très marquée. Notre étude se place dans ce contexte, elle est consacrée à l’étude d’un écoulement d’un fluide newtonien et un fluide viscoélastique obéissant au modèle PTT de Phan-Thien-Tanner, dans une conduite courbe à 180°. On fera varier le rapport d’aspect pour englober en plus de la section carrée, les sections rectangulaires à moyen et fort allongement. Les effets de l’élasticité et de l’inertie seront étudiés en variant, le temps de relaxation du fluide par la variation du nombre de Deborah, et la vitesse débitante par la variation du débit d’entrée de la conduite.