Dans cette partie on présente les résultats des simulations de l’écoulement des deux types de fluides (le fluide newtonien et le fluide viscoélastique de PTT) dans une conduite courbe à section carrée.
4.2.1 Etude du champ dynamique de l’écoulement principal
La connaissance de l’évolution du champ dynamique, en particulier, la vitesse axiale de l’écoulement principal s’avère nécessaire pour la compréhension des écoulements dans les canaux courbes. En effet, la vitesse axiale subit des changements notables le long de la conduite courbe.
Dans cette perspective, on représente les contours de la vitesse axiale et les profils de la vitesse axiale (profils horizontaux et profils verticaux), à des différentes positions angulaires, pour des nombres de Dean Dn allant de 50 à 500.
4.2.1.1 Evolution de la vitesse axiale le long de la conduite courbe
Dans cette partie, on s’intéresse à la vitesse axiale du fluide le long de la conduite courbe, elle est représentée par les contours de la vitesse (courbes isovaleurs) au niveau des sections d’écoulement, à différentes positions angulaires, pour des nombres de Dean Dn
allant de 50 à 500.
De plus, des tracés de profils (verticaux et horizontaux) sont présentés, pour le fluide newtonien et le fluide viscoélastique de Phan-Thien-Tanner (PTT), à des positions angulaires différentes afin de suivre l’évolution de la vitesse axiale le long de la conduite courbe et des nombres de Dean Dn allant de 50 à 500.
a) Cas du fluide newtonien
Les figures, 4.1 à 4.7, présentent les contours de la vitesse axiale sur la section d’écoulement à des différentes positions angulaires, pour les nombre de Dean Dn
respectivement de 50, 100, 150, 200, 300, 400, et 500. Pour un fluide newtonien.
Pour les nombres de Dean relativement faibles (Dn=50 et Dn=100), les figures 4.1 et 4.2, montrent un phénomène caractéristique des écoulements dans les conduites courbes, qui est la migration des particules de forte quantité de mouvement vers la paroi externe de la conduite, sous l’effet des forces centrifuges.
61
Ainsi, les zones d’égale quantité de mouvement, qui étaient à l’entrée de la conduite courbe axées sur le centre de la conduite, se trouvent rapidement projetées, dés l’amorçage de la courbure, vers la paroi externe ; de plus, les zones d’égale quantité de mouvement commencent à s’allonger et s’aplatir de part et d’autre du plan médian, le long de la paroi externe.
Ce phénomène (la migration et l’aplatissement des zones d’égale quantité de mouvement) s’initie rapidement à l’entrée, entre la position angulaire 0° et la position angulaire 40°. Au delà de la position angulaire 40°, les zones d’égale quantité de mouvement se stabilisent jusqu'à la sortie du canal courbe (position angulaire 180°).
A Dn=100, le déplacement ainsi que l’étirement de la zone de concentration des particules de grande quantité de mouvement (zone colorée en rouge) sont plus prononcés que ceux observés pour Dn=50. Ceci est du à l’accroissement de l’influence des forces centrifuges qui deviennent plus importantes quand le nombre de Dean augmente.
Pour les nombres de Dean relativement élevés (Dn=150 à Dn=500), représentés par les figures 4.3, 4.4, 4.5, 4.6 et 4.7, on observe le même comportement au début de la conduite courbe (de la position angulaire 0° jusqu’à la position 40°), c'est-à-dire la migration des particules de grande quantité de mouvement vers la paroi externe et étirement des zones d’égale quantité de mouvement.
De plus, un autre comportement apparaît, c’est la subdivision de la zone de concentration des particules de grande quantité de mouvement en deux parties distinctes situées de part et d’autre du plan médian de la conduite d’écoulement. La subdivision de la zone de forte quantité de mouvement est de plus en plus anticipée, avec l’augmentation du nombre de Dean. Ce phénomène persiste jusqu'à la sortie de la conduite courbe.
Le tableau suivant, montre la position angulaire à laquelle apparait la subdivision de la zone de concentration des particules de grande quantité de mouvement, en fonction du nombre de Dean.
Dn 150 200 300 400 500
θ
130° 100° 90° 90° 80°Tableau 4.2 : Position angulaire de l’apparition de la subdivision de la zone à forte quantité de mouvement en fonction du nombre de Dean, pour le fluide newtonien.
62 b) Cas du fluide viscoplastique (PTT)
Les figures 4.8 à 4.14, présentent les contours de la vitesse axiale au niveau des sections d’écoulement à des différentes positions angulaires, pour les nombres de Dean Dn
respectivement de 50, 100, 150, 200, 300, 400, et 500. Pour un fluide viscoélastique (PTT). Pour les nombres de Dean relativement faibles (Dn=50 et Dn=100), les figures 4.8 et 4.9 montrent le même comportement rencontré dans le cas d’un fluide newtonien, à savoir : la migration des particules de grande quantité de mouvement vers la paroi externe et l’étirement des zones d’égale quantité de mouvement de part et d’autre du plan médian de la conduite.
En outre, et comme il a été observé pour le fluide newtonien, le déplacement ainsi que l’étirement et l’aplatissement de la zone de concentration des particules de grande quantité de mouvement (zone colorée en rouge) sont plus prononcés à Dn=100 qu’à Dn=50. Ceci est dû, à l’accroissement de l’influence des forces centrifuges qui deviennent plus importantes quand le nombre de Dean augmente.
Pour les nombres de Dean relativement élevés (Dn=150 à Dn=500), représentés par les figures 4.10 à 4.14, on observe le même comportement que celui observé pour le fluide newtonien, sauf que, la subdivision de la zone de concentration des particules de grande quantité de mouvement, est plus anticipée dans le cas du fluide viscoélastique que dans le cas du fluide newtonien, elle apparaît donc à des positions angulaires plus avancées que celles enregistrées pour le fluide newtonien.
Le tableau 4.2, ci-dessous, récapitule la position angulaire de la subdivision de la zone de concentration des particules de grande quantité de mouvement en fonction du nombre de Dean. Après son apparition, la subdivision persiste jusqu'à la sortie de la conduite courbe.
Dn 150 200 300 400 500
θ
120° 90° 80° 70° 70°Tableau 4.3 : Position angulaire de l’apparition de la subdivision de la zone à forte quantité de mouvement en fonction du nombre de Dean, pour le fluide viscoélastique PTT.
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Figure 4.1 : Contours de la vitesse axiale aux positions angulaires θ respectivement de 0°, 20°, 40°, 50°, 90° et 180°, à Dn=50. Pour un fluide newtonien.
Figure 4.2 : Contours de la vitesse axiale aux positions angulaires θ respectivement de 0°, 20°, 40°, 50°, 90° et 180°, à Dn=100. Pour un fluide newtonien.
64
Figure 4.3 : Contours de la vitesse axiale aux positions angulaires θ respectivement de 0°, 20°, 40°, 80°, 130° et 180°, à Dn=150. Pour un fluide newtonien.
Figure 4.4 : Contours de la vitesse axiale aux positions angulaires θ respectivement de 0°, 20°, 40°, 80°, 100° et 180°, à Dn=200. Pour un fluide newtonien.
65
Figure 4.5 : Contours de la vitesse axiale aux positions angulaires θ respectivement de 0°, 20°, 40°, 80°, 90° et 180°, à Dn=300. Pour un fluide newtonien.
Figure 4.6 : Contours de la vitesse axiale aux positions angulaires θ respectivement de 0°, 20°, 40°, 80°, 90° et 180°, à Dn=400. Pour un fluide newtonien.
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Figure 4.7 : Contours de la vitesse axiale aux positions angulaires θ respectivement de 0°, 20°, 40°, 70°, 80° et 180°, à Dn=500. Pour un fluide newtonien.
Figure 4.8 : Contours de la vitesse axiale aux positions angulaires θ respectivement de 0°, 20°, 40°, 50°, 90° et 180°, à Dn=50. Pour un fluide viscoélastique PTT.
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Figure 4.9 : Contours de la vitesse axiale aux positions angulaires θ respectivement de 0°, 20°, 40°, 50°, 90° et 180°, à Dn=100. Pour un fluide viscoélastique PTT.
Figure 4.10 : Contours de la vitesse axiale aux positions angulaires θ respectivement de 0°, 20°, 40°, 70°, 120° et 180°, à Dn=150. Pour un fluide viscoélastique PTT.
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Figure 4.11 : Contours de la vitesse axiale aux positions angulaires θ respectivement de 0°, 20°, 40°, 70°, 90° et 180°, à Dn=200. Pour un fluide viscoélastique PTT.
Figure 4.12 : Contours de la vitesse axiale aux positions angulaires θ respectivement de 0°, 20°, 40°, 70°, 80° et 180°, à Dn=300. Pour un fluide viscoélastique PTT.
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Figure 4.13 : Contours de la vitesse axiale aux positions angulaires θ respectivement de 0°, 20°, 40°, 70°, 80° et 180°, à Dn=400. Pour un fluide viscoélastique PTT.
Figure 4.14 : Contours de la vitesse axiale aux positions angulaires θ respectivement de 0°, 20°, 40°, 60°, 70° et 180°, à Dn=500. Pour un fluide viscoélastique PTT.
70
4.2.1.2 Evolution des profils de la vitesse axiale le long de la conduite courbe
Lors du passage du fluide dans la partie courbe de la conduite, les profils de la vitesse axiale s’écartent de ceux observés pour les écoulements en conduites rectilignes. La vitesse axiale subit des changements considérables dus au d’une part, au déséquilibre entre les forces de pression dues à la variation transversale du gradient de pression et d’autre part, aux forces centrifuges créées par la courbure de la conduite.
Ces changements se traduisent par deux principaux comportements typiques des écoulements en conduites courbes, qui sont :
• L’aplatissement et le creusement des profils horizontaux de la vitesse axiale.
• Le décalage du maximum de la vitesse axiale vers la paroi externe de la conduite.
La figure 4.15 ci contre, schématise les directions selon lesquelles sont tracés les profils horizontaux et les profils verticaux de la vitesse axiale.
Notons que les deux types de profils passent par le point où la vitesse axiale est maximale.
Figure 4.15 : Schéma d’une section d’écoulement et les directions des tracés des profils horizontaux et verticaux de la vitesse axiale.
a) Cas du fluide newtonien
Les figures 4.16 à 4.18, et les figures 4.19 à 4.21, montrent respectivement les profils horizontaux et les profils verticaux, de la vitesse axiale, tracés à des différentes positions angulaires afin de représenter son évolution le long de la conduite courbe, pour des nombre de Dean Dn allant de 50 à 500.
Paroi latérale Paroi latérale
Paroi interne Paroi externe Direction des profils verticaux
(X2 fixe, R variable)
Direction des profils horizontaux (X2 variable, R fixe)
71
Pour les nombres de Dean relativement faibles (Dn=50 et Dn=100), Les profils horizontaux de la vitesse axiale, représentés par les figures 4.16 et 4.17, montrent que les profils de vitesse, initialement parfaitement paraboliques à la position angulaire 0°, subissent un aplatissement dés l’amorçage de la partie courbe de la conduite. À la position angulaire 40°, cet aplatissement est clairement visible, il persiste jusqu’à la sortie de la conduite courbe (position angulaire 180°).
Ce phénomène caractéristique des écoulements en conduite courbe est plus prononcé à
Dn=100 qu’à Dn=50. On remarque même un léger creusement du profil à Dn=100 à la position angulaire 40° (voir figure 4.17).
Pour les nombres de Dean relativement élevés (Dn≥150), le même comportement est observé au début de la conduite courbe (de la position angulaire 0° à la position angulaire 40°), à savoir le passage d’un profil de vitesse parabolique à un profil de vitesse aplati, par la suite, c’est à dire à l’aval de la conduite courbe, les profils de vitesse se creusent et présentent deux pics symétriques. Ce phénomène est interprété comme un signe révélateur d’apparition de vortex additionnels. En effet, le creusement central des profils horizontaux de la vitesse axiale et l’apparition des vortex additionnels, sont décelés conjointement au delà du nombre de Dn=150.
Le “creusement ” des profils horizontaux de la vitesse au centre est également interprété par Cheng et al. [44] et Bara et al. [56] comme un signe de présence d’un écoulement secondaire de forte intensité.
Les profils verticaux de la vitesse axiale, tracés pour les nombres de Dean Dn allant de 50 à 500 représentés par les figures 4.19 à 4.21, montrent que, dés l’amorçage de la courbure, le maximum de la vitesse qui été initialement au centre de la conduite est rapidement décalé vers l’extrados de la conduite. Ainsi qu’un aplatissement des profils vers le bas du coté de l’intrados de la conduite. Le même comportement a été observé par Hill et al. [54].
Ce comportement s’explique par le transfert de la quantité de mouvement vers les parois externes de la conduite (extrados). Ce transfert, dû aux forces centrifuges, est caractéristique des écoulements en conduites courbes.
On remarque une légère fluctuation de ce transfert, qui se traduit par la fluctuation de la position du maximum de la vitesse axiale le long de la conduite, ce comportement est lié d’une part, à l’apparition des vortex additionnels, et d’autre part, à la stabilisation de l’écoulement secondaire vers la fin de la conduite.
72 b) Cas du fluide viscoélastique (PTT)
Les figures 4.22 à 4.24, et les figures 4.25 à 4.27, montrent respectivement les profils horizontaux et les profils verticaux de la vitesse axiale, tracés à des différentes positions angulaires le long de la conduite courbe, pour des nombres de Dean allant de 50 à 500. Pour le fluide viscoélastique PTT, on observe les mêmes comportements que ceux observés pour le fluide newtonien. Aussi bien pour les profils horizontaux de la vitesse axiale que pour les profils verticaux de la vitesse axiale.
La seule différence réside dans le fait que, le creusement des profils horizontaux de la vitesse axiale est anticipé pour le fluide viscoélastique, il apparaît donc à des positions angulaires plus à l’avance que celles enregistrées pour le fluide newtonien. Ce phénomène est prévisible, car l’élasticité favorise l’apparition prématurée des vortex additionnels de Dean.
En ce qui concerne les profils verticaux de la vitesse axiale, aucune différence de comportement n’est observée, entre le fluide viscoélastique et le fluide newtonien.
Figure 4.16 : Profils horizontaux de la vitesse axiale aux positions angulaires θ respectivement de 0°, 40°, 90° et 180°, à Dn=50. Pour un fluide newtonien.
Figure 4.17 : Profils horizontaux de la vitesse axiale aux positions angulaires θ respectivement de 40°, 90° et 180°, à Dn=100. Pour un fluide newtonien.
73
Figure 4.18 : Profils horizontaux de la vitesse axiale aux positions angulaires et aux nombres de Dean Dn simultanés de : 130°-150, 100°-200, 90°-300, 90°-400, 80°-500. Pour un fluide
newtonien.
Figure 4.19 : Profils verticaux de la vitesse axiale aux positions angulaires θ respectivement de 0°, 40°, 90° et 180°, pour le nombre de Dean Dn=50, pour un fluide newtonien.
74
Figure 4.20 : Profils verticaux de la vitesse axiale aux positions angulaires θ respectivement de 40°, 90° et 180°, à Dn=100. Pour un fluide newtonien.
Figure 4.21 : Profils verticaux de la vitesse axiale aux positions angulaires et aux nombres de Dean Dn simultanés de 130°-150, 100°-200, 90°-300, 90°-400, 80°-500. Pour un fluide newtonien.
75
Figure 4.22 : Profils horizontaux de la vitesse axiale aux positions angulaires θ respectivement de 0°, 40°, 90° et 180°, à Dn=50. Pour un fluide viscoélastique de PTT.
Figure 4.23 : Profils horizontaux de la vitesse axiale aux positions angulaires θ respectivement de 40°, 90° et 180°, à Dn=100. Pour un fluide viscoélastique de PTT.
76
Figure 4.24 : Profils horizontaux de la vitesse axiale aux positions angulaires et aux nombres de Dean Dn simultanés de 120°-150, 90°-200, 80°-300, 70°-400, 70°-500. Pour un fluide
viscoélastique de PTT.
Figure 4.25 : Profils verticaux de la vitesse axiale aux positions angulaires θ respectivement de 0°, 40°, 90° et 180°, à Dn=50. Pour un fluide viscoélastique de PTT.
77
Figure 4.26 : Profils verticaux de la vitesse axiale aux positions angulaires θ respectivement de 40°, 90° et 180°, à Dn=100. Pour un fluide viscoélastique de PTT.
Figure 4.27 : Profils verticaux de la vitesse axiale aux positions angulaires et aux nombres de Dean Dn simultanés de 120°-150, 90°-200, 80°-300, 70°-400, 70°-500. Pour un fluide viscoélastique de
78 4.2.3 Etude des vortex de Dean
Tel qu’il a été mentionné au chapitre 2, la courbure de la conduite d’écoulement induit des forces centrifuges au sein de l’écoulement et déséquilibre le gradient transversal de la pression, et - par conséquence - fait naitre des vortex dits vortex de Dean au sein de l’écoulement. Le nombre et l’apparition des vortex additionnels sont gouvernés par le nombre de Dean.
Deux moyens sont utilisés pour détecter les vortex de Dean. La première méthode, en projetant le vecteur vitesse sur le plan normal à l’écoulement principal ; la deuxième méthode en utilisant les contours de la fonction de courant sur la section normale à l’écoulement principal. Cette dernière, est la plus utilisée dans les travaux relatifs à l’exploration des vortex de Dean. Et c’est aussi la méthode qu’on a adopté dans la présente étude.
La fonction de courant est définie comme suit :
3
/
v= ∂ψ ∂x et w= −∂ψ /∂x2 (4.1)
a) Cas du fluide newtonien
Les figures 4.28 à 4.34, présentent -à travers le tracé des contours de la fonction de courant- l’évolution des vortex de Dean le long de la conduite courbe pour des nombres de Dean allant de 50 à 500, pour un fluide newtonien.
Pour les nombres de Dean relativement faibles (Dn=50 et Dn=100), représentés par les figures 4.28 et 4.29, nous n’observons que les deux vortex habituels de Dean, qui sont stables et qui persistent jusqu’à la sortie de la conduite courbe.
Pour les nombres de Dean relativement élevés (Dn=150 à Dn=500), représentés par les figures 4.30 à 4.24, on observe l’apparition d’une paire de vortex additionnels qui vient s’ajouter à la paire de vortex de Dean habituelle, ces vortex additionnels apparaissent à des positions angulaires différentes, elles apparaissent à la position angulaire 80° pour Dn=150 et à la position angulaire 60° pour les autres valeurs de Dean.
Notons que ces vortex augmentent de taille et d’intensité progressivement depuis leur apparition jusqu'à la sortie de la conduite courbe.
La formation des vortex additionnels à des nombres de Dean relativement élevés est interprétée par le fait que les forces visqueuses dont l’action est stabilisatrice, ne peuvent plus -devant l’augmentation des effets des forces centrifuges dont l’action est
79
déstabilisatrice- retenir les particules dans leurs trajectoires, ce qui permet la formation de cellules tourbillonnaires au centre de la conduite à proximité de la paroi externe.
b) Cas du fluide viscoélastique
Les figures 4.35 à 4.41, présentent les contours de la fonction de courant et par conséquent l’évolution des vortex de Dean le long de la conduite courbe pour différentes positions angulaires et pour des nombres de Dean allant de 50 à 500, pour un fluide viscoélastique de Phan-Thien-Tanner.
Pour les nombres de Dean relativement faibles (Dn=50 et Dn=100), présentés par les figures 4.35 et 4.36, on observe le même comportement que celui observé pour le cas newtonien, à savoir, l’existence et la persistance des deux vortex habituels, depuis l’entrée jusqu'à la sortie de la conduite courbe.
Pour les nombres de Dean relativement élevés (de Dn=150 à Dn=500), représentés par les figures 4.37 à 4.41, on observe aussi le même comportement que celui observé dans le cas du fluide newtonien, à la seule différence, est que l’apparition des vortex additionnels à
Dn=150 est plus prématurée que celle dans le cas newtonien, cette apparition se fait à
θ=70° pour le fluide PTT, par contre elle s’opère à θ=80° pour le fluide newtonien. Ce phénomène a fait l’objet d’une étude détaillée voir [61].
L’anticipation de l’apparition des vortex de Dean est due aux effets de l’élasticité qui se manifeste beaucoup plus aux faibles nombres de Dean qu’aux nombres de Dean élevés.
Figure 4.28 : Structure des vortex de Dean aux positions angulaires θ respectivement de 40°, 90° et 180°, à Dn=50. Pour un fluide newtonien.
80
Figure 4.29 : Structure des vortex de Dean aux positions angulaires θ respectivement de 40°, 90°, et 180°, à Dn=100. Pour un fluide newtonien.
Figure 4.30 : Structure des vortex de Dean aux positions angulaires θ respectivement de 70°, 80°, 90°, 110°, 120° et 180°, à Dn=150. Pour un fluide newtonien.
Figure 4.31 : Structure des vortex de Dean aux positions angulaires θ respectivement de 60°, 90° et 180°, à Dn=200. Pour un fluide newtonien.
81
Figure 4.32 : Structure des vortex de Dean aux positions angulaires θ respectivement de 60°, 90° et 180°, à Dn=300. Pour un fluide newtonien.
Figure 4.33 : Structure des vortex de Dean aux positions angulaires θ respectivement de 60°, 90° et 180°, à Dn=400. Pour un fluide newtonien.
Figure 4.34 : Structure des vortex de Dean aux positions angulaires θ respectivement de 60°, 80° et 180°, à Dn=500. Pour un fluide newtonien.
Figure 4.35 : Structure des vortex de Dean aux positions angulaires θ respectivement de 40°, 90° et 180°, à Dn=50. Pour un fluide viscoélastique PTT.
82
Figure 4.36 : Structure des vortex de Dean aux positions angulaires θ respectivement de 40°, 90° et 180°, à Dn=100. Pour un fluide viscoélastique PTT.
Figure 4.37 : Structure des vortex de Dean aux positions angulaires θ respectivement de 60°, 70°, 80°, 100°, 120° et 180°, à Dn=150. Pour un fluide viscoélastique PTT.
Figure 4.38 : Structure des vortex de Dean aux positions angulaires θ respectivement de 60°, 90° et 180°, à Dn=200. Pour un fluide viscoélastique PTT.
83
Figure 4.39 : Structure des vortex de Dean pour les positions angulaires θ respectivement de 60°, 90° et 180°, à Dn=300. Pour un fluide viscoélastique PTT.
Figure 4.40 : Structure des vortex de Dean pour les positions angulaires θ respectivement de 60°, 90° et 180°, à Dn=400. Pour un fluide viscoélastique PTT.
Figure 4.41 : Structure des vortex de Dean pour les positions angulaires θ respectivement de 60°, 90° et 180°, à Dn=500. Pour un fluide viscoélastique PTT.