Chapitre
II
Généralités et travaux sur les écoulements de Dean
Introduction
Ce chapitre est composé de deux parties. La première partie, est consacrée à la description phénoménologique des écoulements de Dean, aux conditions et aux mécanismes de leur apparition et un bref historique des premières études des écoulements de Dean. La deuxième partie, est consacrée à la présentation des principaux travaux antérieurs sur les écoulements de Dean.
2.1 Généralités sur les écoulements de Dean 2.1.1 Mise en évidence des écoulements de Dean
L’écoulement d’un fluide à travers une conduite courbe est fondamentalement différent d’un écoulement à travers une conduite rectiligne, en effet, lorsqu’un écoulement laminaire d’un fluide visqueux s’opère dans une conduite courbe, les vecteurs vitesses dans la section droite d’écoulement ne sont pas perpendiculaires à cette section. La projection de ces vecteurs sur le plan normal à l’écoulement principal permet de faire apparaître des lignes de courant représentant un écoulement secondaire généré le long de l’écoulement principal, cet écoulement est dû au déséquilibre naturel qui apparaît entre les forces centrifuges provoquées par la courbure de la conduite et par conséquent les lignes de courant, et les forces qui résultent du gradient de pression transversal. Ces deux forces agissent à angle droit par rapport à la direction de l’écoulement principal, dans deux directions opposées. Cet écoulement secondaire se traduit par l’apparition de deux cellules tourbillonnaires contrarotatives, situées prés des parois latérales et disposées symétriquement par rapport au plan d’action de la force centrifuge.
Au delà de certaines conditions critiques de l’écoulement, d’autres cellules contrarotatives apparaissent dans l’écoulement principal prés de la paroi externe (concave) et viennent intensifier l’écoulement secondaire.
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Figure 2.1 : Représentation schématique de l’écoulement principal et de l’écoulement secondaire au sein d’une conduite courbe à section rectangulaire.
2.1.2 Mécanisme de formation des vortex de Dean
Le phénomène de Dean est initié dans l’écoulement à une certaine distance de l’entrée de la partie courbe de la conduite d’écoulement, où le fluide est soumis à une force centrifuge. En effet, la courbure des lignes de courant induit une force centrifuge qui projette les particules entrant avec un moment élevé vers la paroi externe périphérique de la conduite (Figure 2.2, a).
Par conséquent, En allant vers l’intérieur de la courbure (intrados) les pressions vont être inférieures à la pression moyenne tandis qu’en allant vers l’extérieur (extrados) les pressions vont être supérieures à la pression moyenne, il en résulte donc une surpression (Figure 2.2, b).
Dans la partie centrale de l’écoulement, un équilibre entre le gradient de pression et la force centrifuge s’installe, ce qui n’est pas le cas le long des parois latérales où les vitesses sont faibles. On assiste alors le long des ces parois à un écoulement centripète qui est
compensé par un écoulement dans l’autre sens proche du plan médian de la conduite. La
double action des forces centrifuges, perturbatrices de l’écoulement et dominantes loin des limites physiques de la conduite, et des forces visqueuses stabilisatrices et prépondérantes proches des parois latérales, conduit à l’apparition d’une paire de structures contrarotatives dans un plan perpendiculaire à l’écoulement principal (Figure 2.3). Ces structures ou tourbillons projettent les particules fluides de grande quantité de mouvement se trouvant proche de la paroi périphérique extérieure vers les parois latérales et ramènent les particules de faible quantité de mouvement, se trouvant vers la paroi périphérique, vers le centre de la conduite.
Quand le nombre de Reynolds augmente tout en gardant fixe le rayon de courbure ; les profils de la vitesse axiale, initialement paraboliques et centrés au centre de la conduite
Vortex de Dean Paroi latérale
Paroi convexe interne Paroi externe concave
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(profil de Poiseuille), se voient décalés du centre de la conduite vers la paroi externe (concave) de la conduite, et l’écoulement secondaire caractérisé par une paire de cellule vortex contrarotatives s’intensifie et donne naissance à des cellules vortex additionnelles.
Figure 2.2 : Représentation qualitative des contours : (a) de la vitesse axiale, (b) de la pression, dans une section droite de l’écoulement dans une conduite courbe.
Figure 2.3 : Représentation schématique du mouvement tourbillonnaire dans une section droite de l’écoulement dans une conduite courbe.
Remarque : Les écoulements de Dean alternés
On parle souvent dans la littérature, d’écoulements de Dean alternés, ces écoulements prennent naissance à l’intérieur d’une succession de tubes coudés d’orientations différentes dans l’espace. La réorientation des tourbillons de part et d’autre du plan de courbure de chaque coude peut dans certains cas, induire l’apparition de trajectoires chaotiques responsables du mélange. Ce processus est connu sous le nom de “mélange chaotique”. 2.1.3 Définition du nombre de Dean
Le nombre de Reynolds ne peut, à lui seul, suffire pour caractériser les écoulements dans les conduites courbes, il s’avère donc nécessaire de définir un autre paramètre adimensionnel qui tient compte des effets de la courbure des lignes de courant ou plutôt
(b) (a) Parois latérales Parois externes Parois internes Paroi interne Paroi externe
Paroi latérale Paroi latérale
Projection des vecteurs vitesses sur la section droite
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des effets de la force centrifuge résultant de la courbure de la conduite. Pour tenir compte de ces effets, Dean [17] a introduit un nombre adimensionnel appelé nombre de Dean. Qui est défini par:
1/2
/ ( / )
n e c
D =R R a (2.1)
Où Rc désigne le rayon de courbure moyenne, a une dimension caractéristique de la section d’écoulement et Re le nombre de Reynolds qui est défini par :
e
Va
R
ρ
µ
= (2.2)
où ρ est la masse volumique du fluide et µsa viscosité dynamique
Vu la diversité des écoulements dans les conduites courbes, de nombreusesdéfinitions ont été adoptées pour le nombre de Dean, rendant souvent difficile la comparaison des résultats. Une revue de ces différentes définitions a été faite par Berger et al. [18].
2.1.4 Impact des écoulements de Dean
Les écoulements dans les canaux courbes -sièges des vortex de Dean- sont rencontrés très couramment dans l'industrie. Ils sont présents dans une grande variété d’applications pratiques, à proximité des parties concaves des aubes des turbomachines, à l’intérieur des passages de refroidissement, à l’intérieur des aubes de turbine, aussi à l’intérieur des parties courbes des tuyaux et des conduites utilisées dans les échangeurs de chaleurs, dans les chambres de combustion des turboréacteurs aéronautiques et dans les installations thermo-hydrauliques des réacteurs nucléaires.
Les vortex de Dean augmentent d’une façon très significative les taux de transfert de masse, de quantité de mouvement et de chaleur au sein des écoulements dans les conduites courbes, et augmentent aussi les taux de mélange au sein du fluide. Chandratilleke et al. [19] et Ho et al. [20], ont exploité les effets des Vortex de Dean dans la récupération des déperditions de chaleur, dans la conception et le dimensionnement d’échangeurs de chaleur compact.
Le mélange par advection chaotique introduit par Aref [21], est aussi un phénomène lié aux Vortex de Dean provoqués par l’alternance des coudes, il est utilisé dans le domaine des réacteurs (ou microréacteurs) chimiques, dans la micro fluidique mono ou multiphasique et dans la mise en forme et l’assemblage de polymères. L’alternance des rotations de 90° des éléments courbés, permet d’obtenir -à faibles nombres de Reynolds- un meilleur transfert thermique (augmentation de l’ordre de 20%) et une répartition plus