solide glissant sur un anneau circulaire
travail, puissance, énergie
Un solide ponctuel M, de masse m; glisse sur un anneau de rayon R. Ce petit solide est fixé à
l'extrémité d'un ressort de longueur à vide l0, de raideur k. L'autre extrémité du ressort est fixée en S. Les frottements sont négligés.
1. Exprimer l'énergie mécanique du solide M pour une position repérée par l'angle θ. Lorsque θ = 90° le ressort n'est ni tendu, ni comprimé.
2. Etablir l'équation différentielle en fonction de θ et de ses dérivées. 3. Etudier le cas des oscillations de faible amplitude de part et d'autre de A.
L'énergie mécanique est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle. Expression de l'énergie cinétique : Ec = ½ m v²
Ec = ½ mR² θ'².
Expression de l'énergie potentielle de pesanteur : Epp = mg h
l'origine de l'énergie potentielle de pesanteur est prise en O : h = -Rcos θ. Epp = -mgRcos θ.
Expression de l'énergie potentielle élastique : Epé = ½ k (SM-l0)²
l'origine de l'énergie potentielle élastique est telle que SMréf = l0 pour θ = π/2
exprimer SM en fonction de R et θ : dans le triangle quelconque OSM : SM² = OM² + OS² - 2 OM OS cos(π-θ)
avec OM=OS=R et cos (π-θ) = - cos θ
SM² = R²+R² +2R² cosθ = 2R² (1+ cosθ) or (1+ cosθ) = 2 cos ²(½θ)
SM² = 4 R² cos ²(½θ) SM = 2R |cos(½θ) |
θ appartient à [-π ; π ] donc θ appartient à [-½π ; ½π ] soit |cos(½θ) |= + cos(½θ)
SM = 2R cos(½θ). Epé = ½ k (2R cos(½θ)-l0)²
expression de l'énergie mécanique : ½ mR² θ'² + ½ k (2R cos(½θ)-l0)² - mgRcos θ= cte
Cette énergie mécanique reste constante en l'absence de frottement.
équation différentielle du mouvement de M :
Pour obtenir l'équation différentielle du mouvement de M, dériver l'expression de l'énergie par rapport au temps.
dérivée de θ'² : 2 θ' θ". dérivée de cos(½θ) : -½ sin(½θ) θ'
dérivée de u² : 2u u'
dérivée de (2R cos(½θ)-l0)² : 2 (2R cos(½θ)-l0) (-2R½ sin(½θ)θ' ) dérivée de cos θ : -sinθθ'
½ mR² 2 θ' θ" + ½ k 2 (2R cos(½θ)-l0) (-2R½ sin(½θ) θ' ) - mgR (-sinθ) θ' =0 R θ' est commun à chaque terme et θ' supposée non nulle :
mR θ" - k(2R cos(½θ)-l0) sin(½θ) + mgsinθ = 0 avec 2 cos(½θ)sin(½θ) = sinθ
mR θ" - kR sinθ +kl0sin(½θ)+ mgsinθ = 0 θ" + ( g/R-k/m)sinθ + kl0 / (mR)sin(½θ) =0.
si θ est petit:
si l'amplitude est faible autour du point A alors sinθ voisin de θ radian et sin(½θ ) voisin de ½θ radian
l'équation différentielle ci dessus s'écrit :
θ" + ( g/R-k/m)θ + kl0 / (2mR) θ =0. θ" + (g/R-k/m + kl0 / (2mR) ) θ =0.
l'existence d'oscillation impose g/R-k/m + kl0 / (2mR) positif. g /R > k/m( l0 / (2R) -1)
Poussée d'Archimède dans différents référentiels
référentiel galiléen
référentiel non galiléen en translation référentiel non galiléen en rotation
1. Définir la poussée d'Archimède Pa subie par un corps C, de volume v, de masse volumique r, complétement immergé dans un liquide de masse volumique re.
2. Le corps est un cylindre de section S, de hauteur h, de masse volumique r < re partiellement immergé. Il est en équilibre. La pression atmosphérique est notée P0 dans le plan z=0.
L'ensemble air-cylindre-liquide est en équilibre thermique à la température T. On suppose que l'air est un gaz parfait.
- Quelle est la pression dans l'eau dans le plan z= -he ?
- Quelle est l'expression rigoureuse de la pression p(z) dans un plan z >0 en fonction de z, T, de la masse d'une molécule d'air et de la constante de Boltzmann kB ?
- Quelle est l'expression approchée pour une altitude z faible ?
- En déduire la pression sur la face supérieure du cylindre en z = h-he en fonction de l'altitude et de g. - En introduisant la masse volumique de l'air dans les conditions de température et de pression régnant
à la surface libre exprimer la poussée d'Archimède subie par le cylindre. Que devient la pousée d'Archimède si on suppose constante la pression de l'air au voisinage du cylindre ? - On place l'ensemble précédent sous une cloche à vide. On fait le vide. le cylindre s'enfonce t-il
pendant cette opération ?
corrigé
La poussée d'Archimède exercée sur un corps de volume v entierement immergé est : - la résultante des force de pression
- l'opposée du poids du volume de liquide déplacé.
Le principe fondamental de l'hydrostatique donne la pression dans le plan z = - he : p(z= - he ) = p0 +re g he .
La pression dans une atmosphère isotherme varie avec l'altitude selon la loi : (m : masse d'une molécule d'air)
sur la face supérieure du cylindre z = h-he.
développement limité au premier ordre lorsque z est petit de l'exponentielle : e x voisin de 1+ x.
La poussée d'Archimède, résultante des forces de pression est alors :
la résultante des forces de pression sur la face latérale du cylindre est nulle, il reste les forces de pression exercée par l'eau sur le fond de section S, par l'air sur le haut.
Pa = S[p0 +re g he ]+ S[p0 +p0 mg(h-he) / (kBT)] Pa = S[re g he + p0 mg(h-he) / (kBT)].
la loi des gaz parfaits s'écrit : PV= n RT M : masse molaire de l'air; ra : masse volumique de l'air
avec n = m / M et m / V = ra ; d'où : P = ra RT / M = rakBT / m
par suite la poussée s'écrit : Pa = S[re g he + ra g(h-he) ].
c'est à dire la somme des poids d'air et d'eau déplacés par le cylindre.
Si on suppose la pression de l'air uniforme au voisinage du cylindre, cela revient à négliger la poussée d'Archimède due à l'air.
La poussée d'Archimède n'existe qu'en présence d'un gradient de pression. A l'équilibre le poids du cylindre est opposée à la poussée.
Si on fait le vide sous la cloche, la masse volumique de l'air décroît ; en conséquence la poussée d'Archimède due à l'air décroît. Pour maintenir l'équilibre la poussée due à l'eau doit augmenter et le cylindre va s'enfoncer.
référentiel non galiléen en translation :
Le dispositif précédent est placé dans un ascenceur vertical uniformément accéléré vers le bas avec une accélération g
1. Quelle est la résultante des forces de pression agissant sur un corps de volume v entierement immergé ? En déduire l'expression de la poussée d'Archimède.
2. Le cristallisoir et le cylindre précédent sont placé dans l'ascenceur à l'arrêt. La pression
atmosphérique est supposée uniforme. L'ascenceur démarre vers le bas avec l'accélération g. Le cylindre s'enfonce t-il ?
corrigé
Dans le référentiel de l'ascenceur, en translation rectiligne par rapport à un référentiel terrestre, un petit volume v de liquide est en équilibre sous l'action :
- de son poids ;- des forces de pression ;- de la force d'entrainement.
La poussée d'archimède est la résultante des forces de pression ; son module est égal au poids apparent du volume d'eau déplacé.
Pa = rev (g - g ).
La poussée due à l'air est négligée. L'équilibre du cylindre de volume total V, dans le repère de l'ascenceur s'écrit :
ve est le volume du cylindre immergé.
Le cylindre reste en équilibre lorsque l'ascenceur se déplace.
référentiel non galiléen en rotation :
Le cristallisoir est fixé sur un plateau horizontal tournant autour d'un axe vertical avec une vitesse angulaire de rotation w constante. On désigne par r la distance du petit volume d'eau à l'axe de
rotation.
1. Quelle est la nouvelle résultante des forces de pression agissant sur le petit volume d'eau ? En déduire la poussée d'Archimède subie par un solide de volume v entierement immergé.
2. Un cylindre fermé, plein d'eau tourne autour de son axe à la vitesse w constante. Deux petites sphères de masses volumique r1 et r2 ( r1< re <r2 ) sont respectivement attachées au plancher et au plafond par un fil sans masse. Déterminer qualitativement la position des deux pendules dans le repère tournant.
corrigé
Dans le référentiel de l'ascenceur, en rotation par rapport à un référentiel terrestre, un petit volume v de liquide est en équilibre sous l'action :
- de son poids ;- des forces de pression ;- de la force d'entrainement. La force de Coriolis n'intervient pas à l'équilibre.
Une boule de masse volumique r est soumise à deux forces radiales : - la poussée d'Archimède centripète de module rev w2 r
- la force d'entrainement centrifuge de module rv w2 r La résultante radiale est :
La sphère supérieure ( r2 >re) s'écarte de l'axe de rotation, alors que la sphère inférieure se rapproche de l'axe.
L'effet est d'autant plus grand que les sphères sont plus éloignées de l'axe et que la vitesse de rotation est grande.
l'avion et le missile
Un avion vole horizontalement à l'altitude h à la vitesse costante notée v. Un missile placé initialement au sol. A l'instant t = 0, l'avion passe à la verticale du missile; le missile décolle en direction de l'avion. la vitesse du misile est le double de celle de l'avion; on suppose que le missile est, à tout instant, dirigé
vers l'avion. 1. Etablir l'équation de la trajectoire du missile. 2. Déterminer l'instant de l'impact.
corrigé
équations horaires du mouvement de l'avion : x(t) = v t
z(t) = h = cte
trajectoire de l'avion : droite d'équation z = h équations horaires du mouvement du misile :
le vecteur 2v et le vecteur MA sont toujours colinéaires. On note x' = dx / dy
vt-x = x' (h-y)
dériver cette relation par rapport au temps
v = (h-y) x" dy / dt (1)
Au cours du temps très petit noté dt, le missile parcourt la distance très petite notée dL à la vitesse 2v. Exprimons de deux manières différentes cette distance dL :
dL= 2v dt dL² =dx² + dy²
mettre dy² en facteur commun et remplacer dx/ dy par x': dL² =dy²(1+x'²)
On retrouve l'équation différentielle dont on connaît les solutions :
Comment déterminer la constante ?
à l'instant t=0, le missile est au sol (y=0) et il est vertical ( x'=z =0) Cte = -0,5( h0,5 -h-0,5 ) ; cette constante sera notée C1. On choisi h comme unité de longueur; alors C1 est nulle.
Comment passer de z = x' à x ? On pose Y=h-y
La primitive de (Y)½ est : 2/3 (Y)1,5+ cte La primitive de (Y)-0,5 est : 2 (Y)0,5+Cte.
d'où la trajectoire du missile : x = 1/3 (Y)1,5 + (Y)0,5 + C2. Comment déterminer C2?
à t=0, le missile est en O (0 ; 0) et Y=h C2= -1/3 h1,5 + h 0,5.
h étant l'unité de longueur, C2= 2/3. instant de l'impact:
Le missile rencontre l'avion lorsque Y = 0. d'une part : ximpact = C2=2/3 d'autre part : ximpact = v timpact timpact = 2 /(3 v ) , h étant l'unité de longueur
timpact = 2h /(3v)