Champ gravitationnel de la terre ; champ de pesanteur terrestre concours Capes interne
2008Les vecteurs sont écrits en gras et en bleu.
La tere est assimilée à une sphère homogène de centre O, de masse M et de rayon R. On note r=OM la distance du centre de la terre au point M et ur= OM/r.
On note G, la constante de gravitation et A(M) le champ gravitationnel créé par la terre en M. G=6,67 10-11 Nm2kg-2 ; M= 6 1024 kg ; R= 6380 km.
Soit ρ la masse volumique de la terre. Le fait d'assimiler la terre à une sphère homogène revient à faire quelle hypothèse sur ρρρρ ?
La masse volumique de la terre est constante. On note ρ0 cette constante. Exprimer ρρρρ0 en fonction de M et R. Calculer ρρρρ0.
volume d'une sphère : 4/3 π R3 ;
ρρρρ
0=3M/(4 ππππ R
3)
avec R= 6,38 106 m.ρ0 = 3*6 1024 /(4*3,14*(6,38 106)3) ; ρ0 =5,52 103 kg m-3 proche de 6 103 kg m-3.
Exprimer le champ gravitationnel créé par la terre en un point M extérieur à la terre, situé à la distance r.
Quelle est la topographie des lignes de champ ? Par raison de symétrie, les lignes de champ sont radiales.
Exprimer puis calculer le champ gravitationnel créé par la
terre à sa surface.
valeur de ce champ : A0 = GM/R2.
A0 = 6,67 10-11*6 1024/(6,38 106)2 =9,83 m/s2 proche de 1 101 m/s2.
Exprimer le champ gravitationnel à une altitude h au dessus de la surface de la terre. Que devient cette expression si h<<R ?
On pose ∆A=A(h)-A0. Calculer |∆∆∆∆A/A0| pour h = 10 km.
A(h)-A0 = -A0 (2h/R) ; |∆∆∆∆A/A0| =
2h/
R. |∆∆∆∆A/A0| = 2*10/6380 = 3,1 10-3 = 0,31 %.La variation est très faible. Ce champ peut être considéré comme constant tant que h est inférieur à 10 km.
C'est le cas des tirs balistiques ou des lâchés de ballon en météorologie.
On suppose que le référentiel terrestre est galiléen. Comment définit-on un référentiel ?
Un référentiel est un objet par rapport auquel on étudie le mouvement d'un corps. Comment définit-on un référentiel galiléen ?
Dans un référentiel galiléen, les lois de newton s'appliquent.
Rappeler la loi fondamentale de la statique des fluides dans un référentiel galiléen.
p
A-p
B= ρρρρg(h
A-h
B)
.pression en Pa ; masse volumique ρ en kg m-3 ; g en m/s2 ; h : altitude en m. Quelle est l'allure de la surface libre des océans ?
La terre est considérée comme une sphère homogène. En l'absence de vent, la surface des océans est à la même distance du centre de la terre.
En négligeant la rotation de la terre, la surface de l'eau est plane.
Influence de la rotation de la terre
.La tere est animée d'un mouvement de rotation uniforme autour de l'axe des pôles, à la vitesse angulaire ω=7,29 10-5 rad/s. Soit M un point de la surface situé à la latitude λ.
Faire un schéma indiquant sur un quart de circonférence, le pôle nord P, l'équateur E, le point M, la latitude λλλλ, le vecteur vitesse angulaireωωωω.
Le référentiel géocentrique RG est supposé galiléen. Comment définit-on ce référentiel ? Le référentiel héliocentrique a pour origine le Soleil et des axes pointant vers des étoiles lointaines qui
paraissent fixes.
Le référentiel géocentrique a pour origine le centre de la Terre et des axes parallèles à ceux du référentiel héliocentrique.
Exprimer, dans le référentiel géocentrique, la vitesse du point M, notéev(M)RG, en fonction de R,
ω ω ω
Déterminer puis calculer la valeur de cette vitesse en P et en E. Au point P, cette vitesse est nulle ; au point E, cos λ =1 et v(E)= ω R.
v(E) = 7,29 10-5 *6,38 106 = 465 m/s.
Exprimer, dans le référentiel géocentrique, l'acélération du point M, notéea(M)RG, en fonction de R, ωωωω, λ λ λ λ et d'un vecteuru2 que l'on représentera sur le schéma.
Déterminer puis calculer la valeur de cette accélération en P et en E. Au point P, cette accélération est nulle ; au point E, cos λ =1 et a(E)= ω2 R.
a(E) = (7,29 10-5 )2*6,38 106 = 3,39 10-2 m/s2.
M assimilé à un point matériel de masse m, est fixé à un fil à plomb immobile à la surface de la terre. Appliquer la relation fondamentale de la dynamique à M(m) dans le référentiel géocentrique. On suppose que M(m) n'est soumis qu'à la force gravitationnelle exercée par la terre au point M et à la
tension ΤΤΤΤ du fil.
Dans le référentiel terrestre, le poids de M(m) est défini comme l'opposé de la tension définie précédemment.
Déterminer l'expression du champ de pesanteurg(M) dans le référentiel terrestre.
Soit g(P) et g(E) la valeur du champ de pesanteur en P et en E. Déterminer puis calculer g(P) et g(E).
valeur de g(P) = A0 = 9,83 m/s2. valeur de g(E) = A0-ω2
R = 9,83-3,39 10-2 =9,796 = 9,80 m/s2.
La valeur de g(M) est différente au pôle et à l'équateur : la surface libre des océans ne sera pas plane.
Influence de l'aplatissement de la terre aux niveaux des pôles
.La terre est aplatie aux niveaux des pôles, ce qui modifie l'intensité de la pesanteur. RP =6357 km ; RE=6378 km.
Les écarts sont dus pour 2/3 à la rotation et pour 1/3 à son applatissement.
En 1672, J.Richer constate qu'une horloge parfaitement réglée à Paris, retarde de 2 min par jour à Cayenne.
On modélise le balancier d'une horloge par un pendule simple de longueur L. Rapeller l'expression de la période T d'un pendule simple.
T= 2ππππ [L/g]
½.On suppose que le champ de pesanteur à Paris est gP=9,810 m/s2 et que le champ de pesanteur à Cayenne est gC= 9,780 m/s2. La longueur du pendule est L=1,000 m.
L'horloge est parfaitement réglée à Paris.
Quel est le retard de cette horloge, par jour, si elle est transportée à Cayenne ? période à Paris : 2 π [9,810]-½ = 2,0060667 s.
période à Cayenne : 2 π [9,780]-½ = 2,009141 s. Retard : 3,0744 10-3 s.
retard par jour : 24*1800*3,0744 10-3 =132,8 s = 2 min 13 s.
Les électrons interagissent avec la matière et entrainent la production de rayonnements mesurables par des détecteurs.
On donne le schéma de principe d'un microscope électronique à balayage.
h= 6,62 10-34 J s ; c = 3,0 108 m/s ; e = 1,6 10-19 C ; m = 9,1 10-31 kg.
On écrit les vecteurs en gras et en bleu.
Dualité onde corpuscule.
Quelle était la nationalité du physicien De Broglie ? Français.
Qu'est-ce que la dualité onde corpuscule ?
Dans l'infiniment petit, tout objet présente un double aspect corpusculaire et ondulatoire :
les aspects corpusculaire et ondulatoire sont inséparables. Une particule élémentaire se comporte à la fois comme une onde et un corpuscule. En réalisant une expéreince on observe l'un ou l'autre de
ce double aspect.
Comment appelle t-on usuellement le corpuscule de lumière ? Le photon.
Donner un exemple d'expérience s'interprétant à partir de l'aspect ondulatoire de la lumière et un autre exemple d'expérience s'interprétant avec son aspect corpusculaire. Les expériences de diffraction et d'interférences sont expliquées par
la nature ondulatoire de la lumière.
L’effet photoélectrique s'interprète on considérant l'aspect corpusculaire de la lumière.
Donner l'expression usuelle de la quantité de mouvement d'un électron dans le cadre de la physique non relativiste.
p= m v.
Vérifier par analyse dimensionnelle que la quantité h/p est homogène à une longueur d'onde.
h : énergie multipliée par un temps ; une énergie est une force fois
une distance ; une force est une masse fois une accélération ( distance divisée par un temps au carré).
d'où : [h] = M L2T-1.
[h/p] = L.
Dans le canon à électrons, les électrons supposés initialement au repos sont accélérés sous une tension U = 100 kV.
Préciser sur un schéma du canon ( où les électrons sont accélérés de haut en bas) l'orientation de la différence de potentiel U ainsi
que la direction et le sens du champ électrique E.
Exprimer en fonction de m, U et e la vitesse acquise en sortie du canon par les électrons en utilisant la
physique classique. Faire l'application numérique et commenter.
Le poids de l'électron est négligeable devant la force électrique. Travail moteur de la force électrique : W = e U
Ecrire le théorème de l'énergie cinétique : Ec fin - Ec départ = eU ½mv2-0 = eU ;
v = [2eU/m]
½.v = [2*1,6 10-19* 105 / 9,1 10-31 ]½ = 1,87 108 m/s.
Cette valeur est proche de la vitesse de la lumière : la mécanique classique ne s'applique plus ; il faut faire intervenir la mécanique relativiste.
Calculer la longueur d'onde associée au faisceau d'électrons.
λλλλ = h/p = h/(mv)
= 6,62 10-34 / (9,1 10-31 *1,87 108) =3,9 10-12 m.En mécanique relativiste, l'énergie cinétique et la quantité de mouvement de l'électron s'écrivent respectivement :
Exprimer à nouveau la vitesse acquise par l'électron en fonction de e, U, m et c. Faire l'application numérique.
eU/(mc2)= 1,6 10-19* 105 / (9,1 10-31 * 9 1016) =0,195 ; (1+0,195)-2 = 0,700 ; (1-0,700)½ =0,5474 v = 3 108*0,5474 = 1,64 108 m/s.
Calculer la longueur d'onde associée au faisceau d'électrons.
λ
λ
λ
λ = h/ (mv) [1-v
2/c
2]
½ ; 1-(v/c)2=1-(1,64/3 )2=0,700 ; [1-v2/c2]½ = 0,8368. puis : 6,62 10-34 / (9,1 10-31 *1,64 108) *0,8368 =3,7 10-12 m.Un vide poussé est réalisé dans l'enceinte où se propage le faisceau électronique. A quoi cela sert-il ?
Il faut éviter les chocs entre les électrons et les molécules d'air. Ces collisions disperseraient le faisceau.
Calculer, en précisant la valeur de la longueur d'onde utilisée, la valeur de la limite de résolution d'un microscope électronique donnée par :
d
min= 0,61 λλλλ/ωωωω
0. Prende ω0 = 0,01. dmin = 0,61 *3,7 10-12 / 0,01 =2,3 10-10m.Valeur très inférieure à la limite de résolution du microscope optique ( voisine du micromètre) : la résolution du microscope électronique est donc meilleure que celle du microscope optique. Doit-on augmenter ou diminuer la tension accélératrice U pour espérer améliorer la résolution
des images obtenues ?
A ω0 constant, augmenter la limite de résolution, c'est diminuer λ.
Or
λ = h/ (mv) [1-v2/c2]½ , il faut donc augmenter la vitesse v : c'est à dire augmenter U. Mais dans ce cas on risque de voir se produire un phénomène de claquage électrique entre les parties métalliques
soumises à une forte tension.