Mécanique
( 4 pts).
On peut lire dans un documentation relative à une rame de TGV que celle-ci a une masse M=380 t à vide et 425 t en charge, une longueur L=200 m, une vitesse de croisière en palier (mouvement uniforme horizontal) v= 300 km/h ; alimentation 25kV-50Hz ; capacité : 516 places. On considère que le train roule sur un sol horizontal ; g = 9,8 m/s².
1. Sachant que le train met 7 minutes pour passer de l'arrêt à sa vitesse de croisière, quelle est son accélération supposée constante, pendant cette phase ?
2. Ce train de masse 420 t, passe sur un pont de 570 m de long alors qu'il roule à 300 km/h. Or ce pont fait un bruit caractéristique dès qu'une partie du train roule sur lui. Combien de temps dure ce bruit ?
3. Toujours à la même vitesse, ce train aborde une courbe dont le rayon de courbure est de 6 km. Comme les passagers ne sont pas attirés vers les parois latérales des wagons pendant ce tournant, on demande de quel angle la voie est relevée.
4. La puissance électrique consommée étant de 2000 kW en palier, les pertes thermiques et
mécaniques dans la motrices étant estimées à 10 % de la puissance absorbée, en déduire l'intensité des forces de frottements opposées à l'avancement du train lorsqu'il roule à 300 km/h en palier.
corrigé
accélération a = ∆v/∆t avec ∆v en m/s et ∆t en seconde.∆v = 300 / 3,6 = 83,33 m/s ; ∆t = 7*60 = 420 s ; a = 83,33/420=0,198 m/s².
quitte le pont.
La distance parcourue par la motrice est donc : longueur du pont + longueur du train = 570+200=770 m.
vitesse du train : 300 / 3,6 = 83,33 m/s ; durée (s) = distance (m) / vitesse (m/s) = 770/83,33 = 9,2 s.
tan α = 83,332 / (6 103 *9,8) = 0,118 soit α = 6,7°. Puissance( en valeur absolue) des frotttements : 200 kW puissance d'une force = vecteur vitesse scalaire vecteur force
d'où 200 = v f soit f = 200 / 83,33 = 2,4 kN.
Electricité
( 3 pts)Une installation fonctionnant sous 220 v - 50 Hz monophasé comprend :
- Un appareillage de puissance utile 29440 W, de rendement η=0,8 et de facteur de puissance cosϕ=0,75
- Un ensemble de 200 lampes de 100 W chacune.
La ligne qui alimente cette installation est équivalente au dipole série de caractéristiques : Rli=0,05
Ω ; Lli = 0,001 H et Cli = 12500 µF. On demande : 1. L'intensité du courant dans la ligne.
2. Le facteur de puissance de l'installation. 3. Les pertes par effet joule dans la ligne. 4. La puissance apparente au départ de la ligne. 5. La tension au départ de la ligne.
6. Le facteur de puissance au départ de la ligne. corrigé
On note U : valeur efficace de la tension ; I : intensité efficace du courant ; P=UI cos ϕ( watt) puissance active
S= UI, puissance apparente ( V A) et Q = UI sin ϕ( var ) puissance réactive
La puissance consommée par l'appareillage vaut : Putile / rendement =29440 / 0,8 = 36800 W = 36,8 kW
Q est positif si l'appareillage est inductif ; négatif si l'appareillage est capacitif
P (watt) S ( VA) |Q |(var)
appareillage 36800 P/cosϕ=36800/0,75 = 49067 S sinϕ= 32455
lampes 20000 20000 0
total installation 56800 (56800²+32455²)½=65416 32455
intensité du courant dans la ligne : I= S/U =65416/220 =297 A. facteur de puissance de l'installation : cosϕ= P/S = 56800/65416 =0,87.
pertes par effet joule dans la ligne : rI² =0,05*2972 = 4410 W. fréquence : f = 50 Hz ; pulsation ω= 2πf = 314 rad/s
réactance de la ligne X =Lω-1/(Cω) = 0,001*314 - 1/( 0,0125*314)=0,314-0,255 =0,059 Ω. Puissance réactive de la ligne Qli =XI²=0,059*2972 = 5204 var.
Puissance réactive totale : Q=Qli + Qinst= 5204+32455 = 37660 var Puissance active totale : P=Pli + Pinst= 4410+56800=61210 W
Puissance apparente au départ de la ligne : S= (P² + Q²)½ =(376602 + 612102)½=71867 VA. tension au départ de la ligne : U= S/I =71867/297 = 242 V.
facteur de puissance au départ de la ligne : P/S =61210/71867= 0,85.
Energétique (3 pts)
On considère un mur de béton de 10 cm d'épaisseur qui sépare un milieu à 18°C d'un milieu à -20°C. La conductivité thermique du béton est λ= 1,1 W m-1K-1. On adoptera h=8,12 W m-2K-1 pour tous les coefficients globaux de convection et rayonnement entre l'air et le béton.
1. Calculer le flux thermique ϕ par m2 de paroi.
2. Le mur étant constitué de deux parois de béton de 5 cm d'épaisseur séparées par une couche d'air de 5 cm, calculer le nouveau flux ϕ' et les températures dans le mur. On admettra que la
transmission de chaleur dans la couche d'air se fait uniquement par convection et rayonnement.
corrigé
résistance thermique du mur : R= e/λ + 1/h ; e : épaisseur du béton
résistance thermique de l'ensemble : résistance thermique du béton + résistance due à la convection et rayonnement de chaque côté de la paroi en béton.
R= 0,1/1,1 + 2/8,12 = 0,337 W-1 m2 K.
coefficient de transmission : K= 1/R = 1/0,337 = 2,96 Wm-2K-1. flux thermique surfacique : Φ= K(θc-θf) = 2,96(18+20)= 113 W m-2.
résistance thermique de l'ensemble : résistance thermique du béton + résistance due à la convection et rayonnement de chaque côté de la paroi en béton + résistance thermique due à la convection et
rayonnement dans l'air interne.
résistance thermique du mur : R'= e/λ + 3/h ; e : épaisseur du béton R'= 0,1/1,1 + 3/8,12 = 0,46 W-1 m2 K.
coefficient de transmission : K'= 1/R'= 1/0,46 = 2,17 Wm-2K-1. flux thermique surfacique : Φ'= K'(θc-θf) = 2,17 (18+20) = 82,5 W m-2.
températures internes du mur :
R1 = 1/h +e1/λ =1/8,12 +0,05/1,1 =0,169 ; K1 = 1/0,169 =5,93 ; (θc-θ1) = Φ'/K1 =82,5/5,93 = 13,9 d'où θ1 = 18-13,9 = 4,1°C.
même calcul à partir de l'extérieur :
R1 = 1/h +e1/λ =1/8,12 +0,05/1,1 =0,169 ; K1 = 1/0,169 =5,93 ; (θ2-θf) = Φ'/K1 = 82,5/5,93 = 13,9 d'où θ2 = 13,9-20 = -6,1°C
un anneau glisse sur une hélice.
Un anneau de masse m, de dimensions négligeables glisse de déplace sur une piste hélicoïdale circulaire d'axe Oz et dont les équations paramètriques sont : x = r cosθ ; y = r sinθ ; z= hθ . Les forces appliquées sont le poids, une force de frottement d'intensité constante f, colinéaire à la
vitesse mais de sens contraire et une réaction de la piste normale au déplacement à chaque instant.
Dans un référentiel terrestre galiléen :
1. Exprimer les composantes cartésiennes de la force de frottement en fonction de f, r, θ et α angle entre la vitesse et le plan horizontal. Pour la suite on admettra que cet angle est constant et on exprimera tan α en fonction de h et r.
2. Calculer le travail de la force de frottement lors du déplacement entre les points B (θ =4π) et A (θ=0).
3. Exprimer en fonction des données le travail du poids et de la réaction de la piste entre B et A. 4. En déduire la vitesse de l'anneau au point A sachant que sa vitesse initiale était nulle en B.
Discuter.
corrigé
Dans le repère local (u, t, k) les composantes de la force de frottement sont : (0 ; f cos α ; f sin α )
composante de la vitesse, dérivée du vecteur position par rapport au temps : (-r sinθθ ' ; r cosθθ ' ; hθ ' )
ou dans le repère local (u, t, k) : (0, rθ ' ; hθ ' )
travail de la force de frottement : déplacement élémentaire :
dx = -r sinθ dθ ; dy = r cosθ dθ ; dz = hdθ ; frottement (-f cosα sinθ ; f cosα cosθ ; f sinα)
produit scalaire entre les vecteurs frottement et déplacement -f r cosα sin²θ dθ + f r cosα cos²θ + f h sinα dθ .
Pour obtenir le travail sur le déplacement B vers A, integrer entre 4π et 0, α et r sont constants en remarquant que sin²θ = ½(1-cos(2θ)) et que cos²θ = ½(1+cos(2θ))
W = -4π f [r cosα + h sinα].
travail du poids de B en A :
travail élémentaire au cours du déplacement élémentaire hdθ :
dW = mghdθ
Pour obtenir le travail sur le déplacement B vers A, integrer entre 4π et 0:
W = 4π mgh .
le travail de la réaction normale est nul ( force perpendiculaire au déplacement)
vitesse en A :
écrire le théorème de l'énergie cinétique entre B et A : (en B la vitesse est nulle) ½mv²A = 4π mgh -4π f [r cosα + h sinα].
v²A =8π [gh -f /m[r cosα + h sinα]].
cela est possible à condition que les frottements ne soient pas trop importants : mgh>4π f [r cosα + h sinα].
Mouvement d'un solide ponctuel en microgravité (
mécanique)
Données : pesanteur à la surface de la Terre : g0=9,8 m/s² ; rayon de la Terre R= 6370 km . Le centre de la Terre est noté C ; M : masse de la Terre et G la constante de la gravitation. référentiel géocentrique : solide formé par le centre de la terre et par les centres de 3 étoiles lointaines ; l'origine du repère est le centre de la Terre ; les trois axes pointent vers des étoiles
lointaines qui paraissent fixes.
Le référentiel géocentrique est pratiquement galiléen au voisinage de la Terre si on ne tient pas compte des attractions des autres astres.
Placer un véhicule spatial ( masse m) ur une orbite circulaire autour de la Terre à l'altitude h = 300 km :
L'étude est faîte dans le référentiel géocentrique
1ère méthode : ce véhicule est lancé verticalement depuis la surface de la Terre avec une vitesse v0 afin qu'il atteigne l'altitude h ; sa vitesse devient nulle ; on lui communique alors
une vitesse horizontale v1.
Calculs des vitesses en écrivant la conservation de l'énergie mécanique lors de la montée :
énergie potentielle à la distance r du centre de la Terre : -mMG/r ( l'origine de cette énergie potentielle est prise à l'infini)
à la surface de la Terre, l'énergie mécanique vaut : ½mv02 - mMG/R à l'altitude h où la vitesse est nulle, l'énergie mécanique vaut : - mMG/(R+h) L'énergie mécanique se conserve : ½mv02 - mMG/R = - mMG/(R+h) ; v02 =2MG[ 1/R -
1/(R+h]= 2MGh / (R(R+h))
De plus en assimilant le poids à l'attraction terrestre ( à la surface de la Terre) : mg = GMm/R² soit GM= g0R²
d'où : v02 =2g0Rh / (R+h) = 2*9,8*6,37 106*3 105 / 6,67 106 =5,61 106 ; v0 =2370 m/s. Ecrire la 2è loi de Newton sur l'orbite circulaire : le satellite n'est soumis qu'à la force de
gravitation de la Terre ;
l'accélération est centripète de valeur aN= v12 / (R+h) ; d'où GMm/(R+h)2 = mv12 / (R+h) v12 =GM/(R+h) = g0R²/(R+h) ; v1 =R[g0/(R+h)]½= 6,37 106[9,8/6,67 106]½= 7721 m/s.