Un cylindre d'axe vertical, de rayon R, est fixé sur un plan horizontal. On attache à sa base, au point A . L'autre extrémité est fixée à un solide de petite dimensions de masse M, isser sans frottement sur le plan horizontal. ( voir figure : schéma en vue de dessus) A l'instant initial le solide est en M0 et on lui communique la vitesse v0. Le fil s'enroule sur le cylindre et reste tendu au cours du mouvement.
e : quelle est la relation entre la longueur du fil non enroulé l(t) et l Montrer que la norme de la vitesse reste constante au cours du mouvement.
(t) en fonction de v0, l0, R et du temps.
Déterminer l'instant final où le fil est entierement enroulé autour du cylindre.
corrigé
les vecteurs sont écrits en gras et en bleu.
(t) = θ(t),angles dont les côtés sont perpendiculaires. longueur de l'arc de cercle AB : Rθ(t)=Rα(t)
longueur du fil non enroulé : l(t) = l0-Rα(t). référentiel terrestre galiléen ; système : le point M est soumis à son poids
(perpendiculaire au support et opposée au poids en absence de frottement), la tension La seconde loi de newton s'écrit : P + R+T=ma=
-utilise les coordonnées cylindriques (r,θ,z) avec z=0
) ; a est positive et M monte le plan 0,25 (3-sin30))= 3,675 N.
Un cylindre d'axe vertical, de rayon R, est fixé sur un plan horizontal. On attache à sa base, au point A . L'autre extrémité est fixée à un solide de petite dimensions de masse M, isser sans frottement sur le plan horizontal. ( voir figure : schéma en vue de dessus) A
. Le fil s'enroule sur le cylindre et
e : quelle est la relation entre la longueur du fil non enroulé l(t) et l0, α(t), R ? Montrer que la norme de la vitesse reste constante au cours du mouvement.
ù le fil est entierement enroulé autour du cylindre.
(t),angles dont les côtés sont perpendiculaires.
référentiel terrestre galiléen ; système : le point M est soumis à son poids P, l'action du support R
(perpendiculaire au support et opposée au poids en absence de frottement), la tension T du fil. -Teθ
aucune force ne s'applique suivant
vecteur vitesse
Dérivée des vecteurs
Ces vecteurs se décomposent dans une base fixe
er = cos der /dt = -sin
par suite : or l(t) = l0
-alors v = R d
composante de la vitesse suivant l(t)d dl(t)/dt = -Rdα par intégration : ½l²(t) = à t=0 , ½l l(t) = [l0² -2R v à l'instant final t l(t) = [l
aucune force ne s'applique suivant er; la tension du fil modifie la direction du vecteur vitesse, tandis que la norme de la vitesse reste constante.
vecteur vitesse : v = dOM/dt avec OM = R er+ l(t)
v = R der/dt + dl(t) / dt eθ + l(t)deθ/dt
Dérivée des vecteurser et eθ: les vecteurs er et eθ ne dépendent que de l'angle Ces vecteurs se décomposent dans une base fixe ex et ey dans laquelle de
= cos θex + sin θey et eθ = -sin θex + cos θey
sin θθ'ex + cos θθ' ey et deθ/dt = -cos θθ' ex - sin
de
r/dt =θ'e
θet de
θ/dt = -θ'e
rpar suite : v = R dθ/dt eθ + dl(t) / dt eθ - l(t)dθ/dt
-Rα(t) d'où en dérivant :dl(t) / dt = -Rdα/dt = = R dθ/dt eθ -Rdθ/dt eθ - l(t)dθ/dt er soit v = - l(t)d composante de la vitesse suivant er : vr = - l(t)dθ/dt = constante =
l(t)dθ/dt = l(t)dα/dt = v0 soit dα/dt = v0 / l(t) angle α(t):
α/dt soit dl(t)/dt = -R v0 / l(t) ou bien l(t) dl(t)/dt = par intégration : ½l²(t) = -R v0 t + constante à t=0 , ½l0² = 0 + constante d'où : l²(t) = l0² -2R v
2R v0 t ]½ = l0-Rα(t) donne
α(t) = R
-1[l
0-[l
0² -2R v
l'angle α(t) augmente avec le temps.'instant final tf, la longueur du fil non enroulé est nulle. l(t) = [l0² -2R v0 tf ]½ =0 soit
t
f= l
0² /(2R v
0)
.voile solaire
; la tension du fil modifie la direction du vecteur vitesse, tandis
+ l(t)eθ
ne dépendent que de l'angle θ.
ex /dt et dey /dt sont nulles y. sin θθ' ey. /dt er /dt = -Rdθ/dt l(t)dθ/dt er /dt = constante = -v0. / l(t) ou bien l(t) dl(t)/dt = -R v0. 2R v0 t
2R v
0t ]
½]
, la longueur du fil non enroulé est nulle. .
On étudie le mouvement d'une voile solaire de masse m, de surface S et de centre de masse C. Le mouvement est supposé plan dans un référentiel galiléen lié au soleil.
La voile est soumise à la force gravitationnelle FS due au soleil FS =-GmMS/r² er ( MS est la masse du soleil) et à la force F due au rayonnement solaire. F =k cos²α /r² n avec k=PS/(2πc); P puissance totale du rayonnement solaire ; c : vitesse de la lumière dans le vide ; l'angle α est constant.
1. Montrer que l'accélération du centre de masse C est : a = Aer/r² +Beθ/r². Exprimer A et B en fonction de G, m, k, i.
- Ecrire les équations différentielles en r et θ. 2. Les vecteurs vitesse v et er font un angle Φ constant.
- Montrer que d²r/dt²=r" = b/r² avec b un coefficient constant négatif. - Exprimer b en fonction de A, B et tan Φ.
- Multiplier cette équation par r' et l'intégrer avec les conditions initiales suivantes : r(0)=r0 ; r'(0)=[-2b/r0]½.
3. En déduire l'expression de r(t) sous la forme r(t) = r0 (1+ at)β. - Trouver la valeur numérique de β.
- Exprimer a en fonction de b et r0. Commenter le signe de a. - Déterminer θ (t) et l'équation de la trajectoire en prenant θ (0)=0.
corrigé
accélération :
référentiel galiléen lié au soleil ; système : le point C de masse m. Ecrire le principe fondamental de la dynamique : FS +F = ma
Exprimer les forces dans la base polaire :
ma = -GmMS/r² er +k cos²α /r² cos α er ++k cos²α /r² sin aeθ .
a = [-GMS/r² +k m-1 cos3α /r² ]er +k m-1 cos²α sin α /r² eθ . en conséquence : A= -GMS +k m-1 cos3α ; B= k m-1 cos²α sin α .
L'accélération s'écrit en coordonnées polaires :
les équations différentielles demandées sont : r"-rθ'² =A/r² (1) et rθ "+2r'θ' = B/r² (2).
à partir de la vitesse :
Les vecteurs vitesse v et er font un angle Φ constant.
v.er = vr = r'=v cos Φ et v.eθ = vθ = r θ '= v sin Φ d'où λ = tan Φ = vr /vθ = r' / (r θ ') (3). trouver b : éliminer la variable θ dans les équations (1) et (2).
(3) s'écrit : θ ' = r' / (r λ) ; dériver par rapport au temps ce quotient
θ" = 1 / λ[r" / r -r'²/r²]
(1) s'écrit : r"-r r'²/(r λ) ² =A/r² soit r"- r'²/(r λ ²) =A/r² (1')
(2) s'écrit : r / λ[r" / r -r'²/r²] +2r'² / (r λ) = B/r² soit 1/λ (r" +r'² / r) = B/r² (2'). (1') + λ(2') donne : A/r² + λ−1 B/r² = r"- r'²/(r λ ²) + (r"λ−2 + r'² λ−2 / r) = r"(1+λ−2 )
r" = 1/r² (A+ λ−1 B) / (1+λ−2 ) = b / r² soit b = (A+ λ−1 B) / (1+λ−2 ). intégration : multiplions chaque membre par r' :
r' r" = b r' / r² avec r' r" = r' dr'/dt
primitive de r' r" : ½ r' ²+Cte ; primitive de r' / r² : -1/r +cte. soit -b/r = ½ r' ² + Cte
La constante se calcule à partir des conditions initiales : r(0)=r0 ; r'(0)=[-2b/r0]½. -b/r0= ½[-2b/r0] + Cte soit Cte =0.
en conséquence :
-b/r = ½ r' ²
(4)la solution de (4) est de la forme : r(t) = r0 (1+ at)β. dériver par rapport au temps : r' = βar0(1+ at)β−1. repport dans (4) : -br0-1 (1+ at)-β=½ β²a²r0²(1+ at)2(β−1).
cette expression doit être vérifiée quelque soit β : d'où : −β = 2(β-1) et : -br0-1 = ½ β²a²r0²
soit β = 2/3 et a² = -2br -3β-2
le signe de a est positif car la distance r=OC augmente avec le temps : la voile solaire s'éloigne du soleil. λ = r' / (r θ ') (3) élever au carré : λ² = r' ²/ (r θ ')² et -b/r = ½ r' ² (4) d'où λ² =(-2b) r-3θ '-2 soit θ ' = λ−1(-2b)½ r-3/2 avec r(t) = r0 (1+ at)β. d'où θ '=λ-1 (-2b)½[r0(1+ at)β]−3/2=λ-1 (-2b)½ r0-3/2(1+ at)−3β/2=dθ/dt séparer les variables θ et t : dθ = λ-1
(-2b)½ r0-3/2(1+ at)−3β/2 dt remplacer β par sa valeur β =2/3 : dθ = λ-1
(-2b)½ r0-3/2(1+ at)−1 dt primitive de (1+ at)−1 : a-1 log (1+at) + cte
or a = (-2b)½r0-3/2β-1
d'où :
θ = λ-1
(-2b)½ r0-3/2a-1 log (1+at) + cte = λ-1βlog (1+at) + cte or à t=0 , θ0= 0 : la constante d'intégration est donc nulle
θ =λ-1βlog (1+at) soit λ-1
log (1+at)β avec r(t) = r0 (1+ at)β.
θ =λ-1
log (r(t) / r0 ) soit
r(t) = r
0e
(θλ). spirale logarithmique