Transition de phase vers un ´etat absorbant

Nous consid´erons un mod`ele — tr`es simplifi´e — de percolation, con¸cu initialement pour pr´edire, lors d’un forage, les chances de pr´esence de p´etrole et le volume moyen ac- cessible depuis un puits quelconque [94]. Dans ce mod`ele, le milieu poreux est repr´esent´e par un r´eseau — hypercubique — dont les noeuds forment les micro-cavit´es et les liens les micro-canaux les reliant. La perm´eabilit´e du milieu est cod´ee dans l’´etat — libre ou obstru´e — des canaux que le fluide peut donc ou non emprunter. L’´etat de chaque lien est d´etermin´e de mani`ere al´eatoire et non corr´el´ee, selon une probabilit´e p qui fixe la proportion de liens ouverts. Ceci d´efinit le mod`ele original, isotrope, de percolation. Le mod`ele de percolation dirig´ee introduit, lui, une direction spatiale privil´egi´ee en impo- sant un sens de parcours des liens, qui mod´elise l’action d’un champ de force ext´erieure comme la gravit´e. Dans ces deux mod`eles, l’influence d’autres ph´enom`enes comme, par exemple, les effets de capillarit´e ou de viscosit´e, sont compl`etement n´eglig´es.

Les deux mod`eles de percolation, isotrope et dirig´ee, pr´esentent une transition de phase en toute dimension d > 1. En effet, si p = 1, tous les liens sont passants et le fluide envahit tout le milieu poreux, plongeant le syst`eme dans la phase “mouill´ee” ou active. Lorsque p = 0, le fluide reste confin´e dans ses zˆones de pr´esence initiale, et le syst`eme demeure dans la phase “s`eche” ou inactive. Lorsque p croˆıt, `a partir de p = 0, le fluide s’infiltre de plus en plus profond´ement, impr´egnant des volumes croissants du syst`eme. L’on observe alors l’apparition d’une valeur critique pc pour laquelle le fluide p´en`etre le

milieu sur des profondeurs arbitrairement grandes, dessinant des amas percolants qui strient le milieu poreux de part en part, ce qui correspond `a la transition entre les phases s`eche et mouill´ee. L’on peut caract´eriser l’´etat du syst`eme par la probabilit´e qu’un site quelconque appartienne `a un amas percolant pperc. Ce param`etre d’ordre s’annule dans

la phase s`eche et acquiert une valeur finie pperc > 0 au-del`a de la transition, dans la

phase mouill´ee. Dans tous les cas ´etudi´es [94], l’on constate que cette variation est continueet que la transition s’av`ere donc du second ordre.

Le mod`ele de percolation isotrope devient soluble exactement en dimension d = 1 ainsi que sur un r´eseau de Bethe — donnant la limite de dimension infinie [94]. A une dimension d’espace, l’´emergence d’une phase active requiert l’ouverture de tous les liens. Le syst`eme reste donc toujours dans la phase s`eche sauf en un point extrˆeme `a p = 1. Dans la limite de dimension infinie (sur un r´eseau de Bethe) il existe, si p > 0, au moins un lien libre parmi l’infinit´e de liens connect´es `a un site, de sorte que le fluide se fraye toujours un chemin sur des distances arbitrairement grandes. La phase s`eche se comprime en un point de probabilit´e nulle p = 0. En toute dimension finie d > 1, le syst`eme subit une transition de phase qui se r´ev`ele du second ordre pour une valeur critique non triviale 0 < pc< 1 [94].

V.1. LA PERCOLATION DIRIG ´EE 73

Interpr´etation dynamique

Le mod`ele g´eom´etrique statique de la percolation dirig´ee peut s’interpr´eter comme un mod`ele dynamique, en assignant `a la direction spatiale privil´egi´ee un caract`ere temporel. Les sites occup´es par le fluide deviennent des particules. Une “tranche” (`a t constant) de l’espace orthogonal `a la direction temporelle repr´esente alors la r´epartition instantan´ee des particules sur le r´eseau. La succession des tranches refl`ete l’´evolution de l’occupation du r´eseau. Les r`egles de passage entre deux tranches, conditionn´ees par l’´etat des liens dans le mod`ele statique, s’interpr`etent comme un ensemble de r´eactions chimiques entre particules. Le passage d’un mod`ele statique `a d dimensions `a un mod`ele dynamique `a (d_{− 1) dimensions d’espace plus une de temps est illustr´e sur la figure 1} pour d = 1. Si dans une tranche t, un site occup´e voit ses deux liens adjacents ouverts

A

D

A

2A

σ

A

A

µ λ

2A

A

(d)

(a)

(b)

(c)

t

o

o

o

o

o

o

o

o

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o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

b

d

i i i i −1 i+1 i

c

a

Fig.<sub>1 – Interpr´etation du mod`ele g´eom´etrique statique de la percolation dirig´ee comme</sub> un processus dynamique. Les traits gras rep`erent les canaux — ouverts — emprunt´es par le fluide entre les sites immerg´es. Les diff´erentes configurations possibles, selon l’´etat des liens, de passage du fluide entre les niveaux horizontaux sont cercl´ees en trait fin. Ces transitions s’interpr`etent alors comme des r´eactions entre particules, r´epertori´ees `a droite du sch´ema.

(a), le fluide immerge les sites voisins de la tranche t + 1, ce qui se transcrit par une r´eaction de production de particules A _{→ A+A. L’obstruction des deux liens adjacents} (b) induit au contraire la destruction spontan´ee d’une particule A → ∅. Si le fluide de deux sites accol´es de la tranche t conflue au mˆeme site de la tranche t + 1 (c), la r´eaction est qualifi´ee de coagulation A + A_{→ A. Enfin, l’´etat mixte (d) ´equivaut `a une} simple diffusion, avec conservation du nombre de particules A + ∅→ ∅ + A.

Pour r´esumer, le mod`ele statique de la percolation dirig´ee se transpose en un pro- cessus dynamique de r´eaction-diffusion, muni des r`egles :

A + ∅ ←→ ∅ + AD (V.1)

A −→ A + Aσ (V.2)

A + A −→ Aλ (V.3)

A _{−→ ∅,}µ (V.4)

o`u les taux de transition D, σ, λ et µ sont originellement reli´es `a la probabilit´e p d’ouver- ture des liens. Nous adoptons d´esormais cette interpr´etation dynamique en consid´erant les diff´erents taux comme ind´ependants. Remarquons que la r´eaction (V.4) implique la

destruction spontan´ee d’une particule, non compens´ee par une cr´eation spontan´ee. De mˆeme, les r´eactions (V.3) et (V.2) ne s’´equilibrent g´en´eralement pas (λ_{6= σ), de sorte} que l’´evolution dynamique est irr´eversible dans le temps.

Champ moyen

Pour d´egager les propri´et´es essentielles du syst`eme dont la dynamique est gouvern´ee par les processus (V.1) `a (V.4), on s’int´eresse, pour commencer, `a l’´evolution de la densit´e moyenne n(t), en n´egligeant toute d´ependance spatiale (et donc la diffusion). On peut associer aux processus r´eactifs une loi d’action de masse, en pond´erant les taux de r´eaction par le produit des concentrations des r´eactants, soit :

∂tn(t) = (σ− µ) n(t) − 2 λ n(t)2. (V.5)

La coagulation implique la co¨ıncidence de deux particules au mˆeme site et se d´eroule donc proportionnellement `a n2<sub>. Cette approximation revient `a remplacer la probabilit´e</sub>

jointe moyenne de rencontrer deux particules au mˆeme site hn2_{i par le carr´e de la}

probabilit´e moyenne de pr´esence de chacune sur le site _hni2_{, c’est-`a-dire `a n´egliger}

les corr´elations de densit´e. L’´equation (V.5) poss`ede deux solutions dont la stabilit´e d´epend du signe de ∆ = (σ− µ). Si ∆ < 0, la densit´e ne cesse de d´ecroˆıtre jusqu’`a rejoindre la seule solution stationnaire stable nv = 0. Si ∆ > 0, l’´etat vide devient

instable et la densit´e sature `a la valeur stationnaire ns = ∆/(2 λ) finie. La solution

explicite donnant l’´evolution temporelle de la densit´e `a partir d’une densit´e initiale n0

s’´ecrit :

n(t) = n0nf

n0+ (nf − n0)e−∆ t

, (V.6)

qui tend lorsque t→ ∞ vers nf = nv ou vers nf = ns(selon le signe de ∆) comme e−t/τ,

le temps τ = ∆−1 _{repr´esentant le temps de relaxation. Ces deux ´etats asymptotiques}

sont donc rejoints exponentiellement vite. Enfin, si ∆ = 0 (soit σ = µ), la densit´e d´ecroˆıt alg´ebriquement vers l’´etat asymptotique vide,

n(t) = n0 1 + 2 λ n0t

. (V.7)

Ce comportement critique alg´ebrique signe la transition qui relie continˆument les deux ´etats stationnaires nv et ns. La figure 2 repr´esente l’´evolution temporelle typique, dans

ces trois r´egimes, d’un syst`eme unidimensionnel `a partir d’une configuration initiale uniforme du r´eseau (haut) et d’une particule germe (bas). A gauche, toutes les parti- cules p´erissent exponentiellement vite, laissant un syst`eme vide qui le demeure `a jamais car celui-ci est d´enu´e de m´ecanisme de cr´eation spontan´ee de particules (fluctuation de densit´e) susceptible de r´e-ensemencer le r´eseau. Cette phase est donc absorbante. A droite, le r´eseau atteint exponentiellement vite la densit´e moyenne de saturation et il reste si`ege d’une dynamique non triviale qui entretient des fluctuations permanentes de densit´e. Cette phase est donc active. Au milieu, la densit´e d´ecroˆıt tr`es lentement, des particules survivent arbitrairement longtemps, ce qui refl`ete la disparition d’´echelle finie dans le syst`eme. Plus pr´ecis´ement, `a l’approche de la transition, la densit´e passe d’un comportement exponentiel `a un comportement alg´ebrique, c’est-`a-dire que le temps de

V.1. LA PERCOLATION DIRIG ´EE 75

Fig. <sub>2 – Evolution temporelle typique d’un syst`eme unidimensionnel selon le signe de</sub> ∆ <sub>≡ p − p</sub>c, `a partir d’un r´eseau uniform´ement peupl´e (en haut) ou d’une particule

germe (en bas), d’apr`es [83]. Le syst`eme se trouve, de gauche `a droite, respectivement dans la phase absorbante, `a la transition, et dans la phase active.

relaxation typique τ commence `a diverger. En effet, d’apr`es (V.7), ∂tn(t) → 0 lorsque

t _{→ ∞ et le syst`eme se met donc `a tendre infiniment lentement vers son ´etat station-} naire `a l’approche d’un r´egime critique. Ceci constitue le ph´enom`ene de ralentissement critique.

L’espace et le temps jouent des rˆoles g´en´eralement diff´erents dans les ph´enom`enes hors de l’´equilibre de sorte que le syst`eme comporte deux longueurs de corr´elation distinctes, une longueur spatiale ξ⊥ et une longueur temporelle ξk. Dans la phase ab-

sorbante et `a la transition, ces longueurs — spatiale et temporelle — refl`etent les tailles typiques — radiale et longitudinale — des ramifications issues d’une particule germe. Lorsque les longueurs de corr´elation divergent `a la transition, ces ramifications tissent des faisceaux de filaments qui s’´etirent dans le temps, r´eminiscents des amas percolants de l’interpr´etation g´eom´etrique. Elles s’interpr`etent plutˆot comme les tailles typiques des ˆılots vides dans la phase active.

Caract´erisation de la transition

La classe d’universalit´e de la percolation dirig´ee d´ecrit donc les propri´et´es d’une transition continue entre un ´etat stationnaire actif et donc fluctuant, et un ´etat in- actif sans fluctuation et donc absorbant. A la transition, les grandeurs physiques se comportent en lois de puissance, caract´eris´ees par des exposants critiques, comme lors des ph´enom`enes critiques `a l’´equilibre. La “distance” `a la transition est control´ee par la valeur de ∆ <sub>≡ p − p</sub>c. Ainsi, le param`etre d’ordre, ici la densit´e moyenne de l’´etat

stationnnaire ns, s’annule `a l’approche de la transition comme :

ns∼ (p − pc)β. (V.8)

Les longueurs de corr´elation temporelle et spatiale divergent au voisinage de la transi- tion selon deux exposants ind´ependants :

ξ⊥ ∼ |p − pc|−ν⊥ (V.9)

ξk ∼ |p − pc|−νk. (V.10)

L’exposant critique dynamique z = νk/ν⊥ caract´erise alors la loi d’´echelle “anormale”

entre l’espace et le temps : ξk ∼ (ξ⊥)z ou plus simplement t ∼ xz. Trois exposants

critiques ind´ependants, par exemple β, ν⊥ et z, suffisent `a d´efinir la classe d’universa-

lit´e de la percolation dirig´ee [95]. Mentionnons que d’autres lois de puissance peuvent ´egalement ˆetre consid´er´ees [96], par exemple en pr´esence d’un champ externe ou pour d´ecrire des propri´et´es d´ependantes du temps — comme par exemple la probabilit´e de survie d’une particule `a un temps donn´e — qui ne seront pas envisag´ees ici.

D´eterminons `a pr´esent la valeur des trois exposants critiques β, ν⊥ et z `a l’approxi-

mation de champ moyen. La forme des solutions de l’´equation (V.5) donne trivialement les valeurs de champ moyen des exposants β et νk. D’une part, la valeur nsdu param`etre

d’ordre d´ecroˆıt lin´eairement `a l’approche de la transition : ns = ∆/(2 λ) ∝ (p − pc),

d’o`u β = 1. D’autre part, d’apr`es (V.6), la densit´e n(t) se comporte `a grand temps comme exp(_{−t/τ) ∼ exp(−t/ξ}k). Ainsi, au voisinage de la transition, la longueur de

corr´elation ξk diverge comme τ = ∆−1, d’o`u νk = 1. La divergence du temps de relaxa-

tion (et de ξk) `a l’approche de la transition traduit le ph´enom`ene de ralentissement

critique.

La d´etermination de l’exposant ν⊥ n´ecessite d’incorporer `a la description de champ

moyen une d´ependance spatiale. On introduit donc une densit´e “locale” n(x, t) moyen- nant le nombre de particules contenues dans un petit volume dd_{x. L’´equation (V.5)}

s’´etend alors `a n(x, t) en incluant le terme diffusif D∇2_{n(x, t) associ´e au processus}

de diffusion (V.1), mais en n´egligeant toujours les corr´elations spatiales de densit´e. L’´equation de champ moyen “local” s’´ecrit alors :

∂tn(x, t) = D∇2n(x, t) + (σ− µ) n(x, t) − 2 λ n(x, t)2. (V.11)

Pla¸cons-nous au r´egime critique. D’apr`es les lois de puissance (V.8) `a (V.10), un chan- gement d’´echelle x_{→ Λ x s’accompagne des transformations :}

t→ Λz_{t, ∆→ Λ}−1/ν⊥_{∆ et n(x, t)→ Λ}−β/ν⊥_{n(Λ x, Λ}z_{t). (V.12)}

Si l’on reporte ces transformations dans l’´equation (V.11), alors son invariance par changement d’´echelle requiert que l’exposant critique ν⊥ prenne la valeur ν⊥ = 1/2.

Finalement, en rassemblant les r´esultats de champ moyen et de son extension “lo- cale”, on obtient les exposants :

β = 1, ν⊥=

1

V.1. LA PERCOLATION DIRIG ´EE 77

La description de champ moyen demeure l´egitime tant que les fluctuations spatiales restent n´egligeables, et ceci est r´ealis´e tant que la dimension d’espace est grande. L’on s’attend `a ce que les fluctuations modifient les exposants de champ moyen pour des dimensions spatiales en-de¸c`a de la dimension critique sup´erieure dc. Comme nous le

montrerons au chapitre VI, cette dimension critique est dc = 4 pour la percolation

dirig´ee de sorte que les fluctuations invalident le champ moyen en dimension spatiale d < 4, i.e. en toute dimension physique. Or, il n’existe aucun r´esultat exact, mˆeme `a une dimension d’espace, d´eterminant la valeur des exposants critiques en dessous de dc. Les

simulations num´eriques semblent, de plus, infirmer les diff´erentes valeurs rationnelles qui ont ´et´e conjectur´ees [97]. On donne dans la table V.1 les meilleures d´eterminations de ces exposants, issues de simulations Monte Carlo et de d´eveloppements en s´eries, en dimensions d’espace d = 1, 2 et 3.

dimension Ref. β ν⊥ z

3 [98] 0.81(1) 0.581(5) 1.90(1) 2 [99] 0.584(4) 0.734(4) 1.76(3) 1 [100] 0.276486(8) 1.096854(4) 1.580745(10)

Tab. _{V.1 – Meilleures estimations des exposants critiques de la percolation dirig´ee en} dimensions spatiales 1, 2 et 3 (issues de simulations num´eriques en d = 3 et d = 2 et de d´eveloppements en s´eries en d = 1).

En outre, au voisinage de la dimension critique sup´erieure, l’on peut recourir `a des calculs par groupe de renormalisation perturbatif pour obtenir une estimation des exposants critiques en d = 4−. Ce calcul a ´et´e effectu´e `a l’ordre de 2-boucles [101]. Les expressions des exposants qui en r´esultent (`a l’ordre 2_{) sont report´ees dans la table V.2,}

accompagn´ees des valeurs num´eriques correspondantes pour  = 1, 2 et 3. Bien sˆur, la validit´e de ces expressions est, ce faisant, indˆument prolong´ee `a des valeurs de  o`u elles ne font certainement plus sens. Nous les donnons simplement `a titre indicatif.

dimension β ν⊥ z

d = 4_{− } 1_{− /6 − 0.01128}2 _{1/2 + /16 + 0.02110}2 _{2− /12 − 0.02921}2

3 0.82205 0.5836 1.88746

2 0.62155 0.7094 1.71649

1 0.39848 0.8774 1.4871

Tab._{V.2 – Estimations des exposants critiques de la percolation dirig´ee par un calcul} `a 2-boucles de groupe de renormalisation perturbatif, en dimensions spatiales 1, 2 et 3 d’apr`es [101].

La percolation dirig´ee, par sa simplicit´e et l’int´erˆet qu’elle cristallise, se pr´esente, pour les syst`emes hors de l’´equilibre, comme l’analogue du mod`ele d’Ising `a l’´equilibre. Cependant, `a la diff´erence de ce dernier, on ne dispose pas de d´eterminations analy- tiques exactes des exposants critiques mˆeme en basses dimensions o`u ceux-ci ne sont

estim´es que num´eriquement. Notre premier travail, pr´esent´e au chapitre VII, est donc vou´e `a calculer, par le groupe de renormalisation non perturbatif, les exposants cri- tiques de la percolation dirig´ee. Le caract`ere non perturbatif de cette m´ethode ne la restreint pas, par essence, au voisinage de la dimension critique et rend donc possible l’acc`es aux basses dimensions.

Ces derni`eres remarques concluent la caract´erisation des propri´et´es universelles de la percolation dirig´ee qui contient tous les ´el´ements n´ecessaires pour remplir notre premier objectif. Nous allons, dans la suite de cette section, simplement illustrer le concept d’universalit´e par la diversit´e et le nombre des syst`emes qui appartiennent `a la classe de la percolation dirig´ee et pr´esentent donc le mˆeme comportement critique. Cette repr´esentativit´e conforte une conjecture c´el`ebre, que nous introduisons maintenant.

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