Analyse par le groupe de renormalisation non perturbatif

batif

L’action nue, i.e. `a l’´echelle Λ, associ´ee aux processus (VII.66) correspond `a l’action de la percolation dirig´ee (VII.45) `a µ = 0, soit :

SΛ BARW = Z x  ˜ φ∂t− D ∇2− σ  φ +√2 σ λφ φ˜ 2− ˜φ2φ+ λ (φ ˜φ)2  . (VII.67) En revanche, l’action effective, i.e. `a toute ´echelle k <sub>6= Λ, s’identifie `a celle de la</sub> percolation dirig´ee car le processus A→ ∅ est g´en´er´e par renormalisation `a un taux µ d´ependant des taux σ, λ et D initiaux (ainsi que tous les processus d’ordre sup´erieur). L’ansatz de Γk sp´ecifi´e pour le mod`ele de la percolation dirig´ee s’´etend donc aux

marches al´eatoires avec branchement et annihilation. Nous travaillons ici `a l’OD du d´eveloppement d´erivatif, correspondant `a l’ansatz (VII.19) (toujours avec la fonction de coupure rθ). Nous n´egligeons, en outre, l’influence de la r´epartition initiale du r´eseau,

c’est-`a-dire la partie de l’action (VI.61) transcrivant les conditions aux limites tempo- relles car, sauf distribution “pathologique”, la configuration initiale du r´eseau, si elle modifie le r´egime transitoire, est suppos´ee peu influer sur la nature de l’´etat station- naire atteint. Bien sˆur, contrairement aux exposants critiques — universels —, les taux critiques d´ependent de tout le contenu d´erivatif de l’action et des conditions initiales, de sorte que l’effet des diff´erentes approximations mises en œuvre s’av`ere difficile `a quantifier. L’on s’attend ainsi plutˆot a priori `a obtenir un diagramme semi-quantitatif, l’erreur entˆachant les taux critiques pouvant ´eventuellement se r´ev´eler non n´egligeable. Tracer le diagramme de phase des processus (VII.66) revient `a d´eterminer, pour des valeurs donn´ees des taux de transition microscopiques (σΛ/DΛ, λΛ/DΛ) (dont nous

omettons par la suite l’indice Λ pour all´eger l’´ecriture), la phase dans laquelle abou- tit le syst`eme `a k = 0. Pour identifier la phase du syst`eme `a grand temps, le flot de renormalisation de Γk est int´egr´e, `a partir d’une condition microscopique `a l’´echelle

k = Λ jusqu’`a l’´echelle physique k = 0 o`u la valeur moyenne du champ — la densit´e — prenant soit une valeur nulle soit une valeur finie r´ev`ele la phase (respectivement absorbante ou active) du syst`eme. L’exploration du diagramme se d´eroule de la fa¸con suivante. Pour un λ/D initial fix´e, nous ajustons σ/D jusqu’`a atteindre le r´egime cri- tique et localiser ainsi un point de la ligne de transition s´eparant les deux phases. Puis nous it´erons cette recherche en variant le taux λ/D initial.

Examinons tout d’abord les diagrammes de phase ainsi obtenus pour les dimensions spatiales d = 2 et d = 3. Les points de transition d´etermin´es dans ces dimensions sont

VII.3. DIAGRAMME DE PHASE DES MARCHES AL ´EATOIRES AVEC BRANCHEMENT ET ANNIHILATION 141

report´es sur les figures 5 (a) et (b) respectivement. Observons d’ores et d´ej`a que le

0 0.5 1 1.5 2 0 5 10 15 20 25 σc / D phase active phase absorbante (a) d = 2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0 10 20 30 40 50 60 70 σc / D λ / D phase active phase absorbante (b) d = 3

Fig. _{5 – Diagramme de phase pour les processus (VII.66) d´etermin´e par le groupe de} renormalisation non perturbatif en dimension spatiale (a) d = 2 et (b) d = 3.

diagramme de la figure 5 (b) r´ev`ele l’existence d’une transition de phase en dimension trois, en contradiction avec les pr´edictions issues des calculs de groupe de renorma- lisation perturbatif (voir diagramme V.9). La raison de ce d´esaccord est apparente sur cette figure. En effet, l’´etat absorbant n’apparaˆıt en d = 3 qu’apr`es un certain seuil (λ/D)s (de l’ordre de 30). Ce ph´enom`ene s’av`ere par essence inaccessible par une

th´eorie de perturbation d´evelopp´ee au voisinage de l’origine, qui ne per¸coit donc que la phase active et rejette l’existence d’une transition. D’autre part, les courbes de points de transition dans les dimensions deux et trois se r´ev`elent quasi-lin´eaires `a grand couplage. Pour approfondir notre compr´ehension de ces r´esultats, nous avons prolong´e l’ana- lyse des diagrammes de phase jusqu’en dimension d = 6, pr´esent´ee au paragraphe sui- vant en regard avec les diagrammes issus des simulations. Avant d’aborder ce deuxi`eme volet, formulons quelques remarques.

Le diagramme de phase de la figure 5 (b) obtenu en dimension trois semble contre- dire ´egalement les simulations num´eriques [135] pr´esent´ees au paragraphe V.2.3 qui ne d´ec`elent pas de transition de phase au-del`a de la dimension deux. Cependant, deux com- mentaires s’imposent. Tout d’abord, les r`egles dynamiques de [135] ´enonc´ees au V.2.3 sont d´efinies par un param`etre libre p unique, de sorte que seule une ligne d’´equation (σ/D = (1− p)/p, λ/D = 1/p) du diagramme est effectivement sond´ee, ce qui ame- nuit d’autant les chances d’atteindre l’´etat absorbant. Ensuite, ces simulations diff`erent fondamentalement des processus consid´er´es dans notre approche (et dans l’approche perturbative qui repose sur la mˆeme th´eorie des champs) puisqu’une contrainte d’exclu- sion “fermionique” des particules (occupation simple des sites) est impos´ee `a travers les r`egles pr´esent´ees au V.2.3. En outre, il en d´ecoule que les particules-filles sont cr´e´ees sur des sites voisins et non au mˆeme site. Tant que la diffusion reste grande, ceci a peu d’incidence car le m´ecanisme de destruction est gouvern´e par l’annihilation de

particules “´etrang`eres” — non directement affili´ees — qui se rencontrent au gr´e de leurs marches. Au contraire, lorsque la diffusion devient faible, les particules tendent `a se s´edentariser et le m´ecanisme de destruction est domin´e par “l’auto-destruction”, c’est-`a-dire l’annihilation d’une particule avec sa descendance au mˆeme site, suivant la s´equence A<sub>→ 2A → ∅ — qui traduit le processus effectif de mort spontan´ee. La dis-</sub> persion des descendants dans la simulation [135] a donc une incidence cruciale `a petite diffusion — ce qui correspond justement `a la r´egion de grand couplage λ/D et σ/D du diagramme. Celle-ci tend en effet `a supprimer le m´ecanisme effectif de destruction et donc `a d´efavoriser l’´etat absorbant, surtout `a grande dimension.

Finalement, les r´esultats de la simulation num´erique [135] se r´ev`elent difficilement comparables avec les ´etudes analytiques et il n’en existe pas d’autres. Ce constat nous a donc incit´e `a r´ealiser des simulations num´eriques correspondant aux mˆemes r`egles microscopiques que celles dont d´erive la th´eorie des champs, et qui sont maintenant expos´ees.