La DWT des rendements du CAC40 nécessite une série de longueur dyadique. Nous utilisons la méthode de ‘’complétion par des zéros’’ pour agrandir la taille de la série jusqu’au multiple de deux le plus proche. Nous obtenons alors une série de 4096 points notée RCACaug (Cf Figure 11) dont la moyenne et la variance sont modifiées par rapport à celles du RCAC.
Figures 11 : Rendements du CAC40 augmentés RCACaug
RCACaug RCAC
Moyenne -3,46E-05 -4,94E-05 Variance 0,00014224 0,00020315 -0,15 -0,1 -0,05 0 0,05 0,1 0,15 1 129 257 385 513 641 769 897 1025 1153 1281 1409 1537 1665 1793 1921 2049 2177 2305 2433 2561 2689 2817 2945 3073 3201 3329 3457 3585 3713 3841 3969
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Le choix d’une ondelette pour réaliser la DWT repose sur plusieurs critères :
- La compacité ou la taille du support. On peut associer à la longueur du filtre L qui est définit par le nombre de coefficients (du filtre) non-nuls. Nous rappelons que plus L est grand plus la Redondance affecte un nombre élevé de coefficients. Une ondelette a support court, à l’opposé, réduit les effets de la Redondance mais permet aussi des calculs rapides.
- Le nombre de moments nuls noté P de la fonction-mère. Il conditionne la vitesse de décroissance des coefficients (par rapport aux fréquences). Plus P est grand plus l’ondelette est capable de reconstruire des polynômes d’ordre P ou inférieurs, ainsi la décomposition est plus précise et la vitesse de calculs réduite.
- La régularité des ondelettes. Elle définit comment le calcul est effectué pour reconstruire la série d’origine localement dans le domaine temporel ou fréquentiel. L’étude de la régularité permet alors de définir l’erreur d’approximation de la série autour d’un point. Le théorème de Tchamitchian 6 fournit une condition suffisante pour la régularité de h dont dépend P et L.
- La symétrie de l’ondelette-mère et père. Elle permet la reconstruction d’une série sur un intervalle en produisant une base d’ondelette régulière à l’intérieur. De la sorte, on peut analyser la régularité par intervalle et non plus sur l’ensemble des points dans le but de minimiser les erreurs d’approximation dans chacun d’eux. On parle alors d’ondelette sur intervalle par repliement.
Ingrid Daubechies a établi un lien entre L et P pour les ondelettes qu’elle a développées. L’orthogonalité des ondelettes ne permet pas, en effet, d’avoir un L faible et un P élevé, elle a ainsi établi qu’une ondelette à P moment nul doit avoir un support L au moins égal à 2P. Les ondelettes de la Famille Daubechies sont nommées « DL » ou « dbP ». Le filtre D8 (ou db4) est ainsi une ondelette à 8 coefficients et 4 moments nuls qui retranscrit les fonctions quadratiques jusqu’à l’ordre 4. Cette relation entre L et P implique un arbitrage lors du choix du filtre : un grand support (avec un nombre de moments nuls important) est généralement
6 Le théorème de Tchamitchian permet de réécrire le filtre h sous un forme particulière qui conduit à faire des
ondelettes-mère et père des Lipshitz α qui possèdent des propriétés de régularité intéressantes et donc conditionnent la décomposition en ondelettes.
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utilisé pour des séries avec peu « d’irrégularités » c’est-à-dire d’événements extrêmes. Dans le cas d’une série marquée par de fortes variations (irrégularités élevées) il est conseillé d’utiliser un support court. Daubechies a aussi montré qu’une ondelette orthogonale et symétrique ne peut être à support compact (i.e. fini) sauf si elle est discontinue avec un seul moment nul. L’ondelette de Haar est la seule ondelette orthogonale à support compact et symétrique. Elle entre dans le cadre des ondelettes de Daubechies et se note D2 (ou très rarement db1).
Nous utilisons par la suite l’ondelette de Daubechies « La8 » qui est légèrement asymétrique à 8 coefficients non nuls (c’est-à-dire que L=8 et P=4). Un support (longueur) de 8 est intéressant car il est relativement faible et convient à notre série qui possède de nombreuses irrégularités. Une foi le filtre déterminé, on peut calculer l’ordre de décomposition et il est ici égal à 12 d’après la formule (44). Les figures 12 ci-dessous représentent les bandes de fréquences issues de la DWT.
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Les dernières bandes de fréquences, composées de peu de points, sont présentées dans le tableau suivant :
L’analyse de la série avec ce type de décomposition est conditionnée par un nombre d’observations différent sur chaque bande de fréquences. Il est donc difficile de localiser temporellement les évènements à cause de l’échelle dyadique utilisée. La répartition de la variance en fonction des bandes, à l’instar du scalogramme, peut être calculé par les poids des variances d’ondelettes dans la variance totale de la série (Cf. Table 4 et Figure 13).
Les résultats consignés dans la Table 4 et de la Figure 13 n’ont pas une interprétation évidente à cause des variances calculées sur un nombre de points différents. Nous notons, cependant, que la propriété de préservation de la variance est respectée dans le cadre de la DWT car la somme des variances d’ondelettes est quasiment égale à celle de la série des rendements (augmentée par des zéros).
D11 D12 Approximation
Coefficient 1 -0,00488732 0,00463702 -0,00221217
Coefficient 2 -0,0220108 / /
Figure 13 : Histogrammes synthétique de la Table 4 Table 4 : Poids des variances fréquentielles dans la variance totale
Bandes Poids en % D1 50,910 D2 27,593 D3 11,385 D4 5,565 D5 2,163 D6 1,367 D7 0,417 D8 0,276 D9 0,183 D10 0,004902654 D11 0,050313667 D12 0,003689611 Approximation 0,000839728 Variance RCACaug 0,000142278 Somme Variances ondelettes 0,000142163
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Les avantages de la DWT par rapport à la CWT ne sont pas, dans notre cas, évidents. La CWT permet une analyse plus simple mais avec des temps de calculs plus long, contrairement à la DWT plus rapide à calculer mais avec des possibilités d’analyse considérablement réduites. C’est pourquoi la DWT est surtout utilisée dans le cadre d’une MRA. Comme nous l’avons vu, la MRA permet d’ajouter des propriétés à la DWT en corrigeant en partie ses défauts (sauf la contrainte dyadique). La MRA-DWT se base sur les mêmes caractéristiques que la DWT, elle fournit 12 bandes de fréquences de même longueur et 1 approximation qui traduit la moyenne de la série. On note mDj la bandes de fréquence à l’échelle j de la MRA- DWT pour les différenciées des bandes de la DWT noté Dj.
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Comme les bandes sont de mêmes longueurs, les possibilités d’analyse de la DWT sont donc grandement accrues en réalisant une MRA. La concordance des événements avec la série de départ (on parle d’alignement) est donc meilleure. L’analyse des variances d’ondelettes aussi est améliorée puisqu’elle se base sur le même nombre de points par bandes contrairement à la DWT. Le tableau 5 et la figure 15 représentent la répartition fréquentielle de la variance pour une MRA-DWT.
Figure 15: Histogrammes synthétique de la Table 5 Table 5 : Variances Fréquentilles d’une MRA-DWT
Bandes Poids en % mD1 50,9381 mD2 27,5995 mD3 11,4117 mD4 5,5449 mD5 2,1924 mD6 1,3605 mD7 0,4152 mD8 0,2709 mD9 0,1694 mD10 0,0057 mD11 0,0873 mD12 0,0037 Approximation 0,0008 Variance RCACaug 0,000142278 Somme Variances ondelettes 0,000142245
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La MRA-DWT possède, cependant, plusieurs limites majeures. La contrainte dyadique est toujours présente et nécessite d’introduire des zéros à la fin de la série qui sont pris en compte dans le calcul de l’ordre de décomposition. Ils sont, de plus, retranscrits dans les Bandes de Fréquences par les traits horizontaux mais ils sont affectés par la Redondance ! Pour les bandes de Hautes-Fréquences (mD1, mD2 etc…) les zéros débutent à la 2869 observations (comme pour la série d’origine) mais avec de petites perturbations à la fin. Celles-ci sont plus marquées aux Basses-Fréquences (mD9, mD10 etc…) car la Redondance affecte un nombre plus élevé de coefficients. Son impact global est cependant moindre car ces bandes sont peu volatiles.
La DWT est, par ailleurs, fortement sensible aux décalages ce qui entraine le non-respect de la propriété d’invariance par translation. On peut illustrer concrètement ce phénomène de la façon suivante : un décalage dans la série d’origine n’entraine pas un décalage équivalent des coefficients d’ondelettes, et par conséquent ceux-ci ne sont plus temporellement alignés avec les évènements présents sur la série. Ce constat est problématique pour certaines applications, notamment en Finance où les événements sont liés à un instant précis du temps. La dégradation de l’information temporelle n’est pas, ainsi, envisageable et le gain d’information fréquentiel ne compense pas cette perte.