Les calculs pour réaliser cette transformation continue sont effectués avec le logiciel open source R et sur le packages « Biwavelets » développé par Tarik Gouhier, Aslak Grinsted et Viliam Simko (2016) basé sur les travaux de Christopher Torrence et Gibert Compo.
Les rendements du CAC40 sont décomposés avec l’ondelette analytique complexe de Morlet (Ondelettes Continues). Comme nous disposons de 2868 points d’observations des rendements, la transformation continue fournit 2868 coefficients d’ondelettes (qui sont complexes) par chaque échelle fréquentielle. Nous avons fixé à 12 le nombres d’échelles intermédiaires afin de réduire le temps de calcul.
Avec cette configuration, sur un ordinateur (UC) i5-8 Go de RAM d’Intel le temps de calcul varie de 3 à 5 minutes. Pour un i7-8 Go de RAM il est quasi-instantané (environ 30 secondes) si on décompose selon les réglages de la fonction du package. En appliquant des réglages supplémentaires pour obtenir un maillage fréquentiel plus précis ou en spécifiant certains paramètres, les temps de calcul son beaucoup plus importants (sans compter celui de codage).
Pour représenter les coefficients d’ondelettes issues d’une CWT, nous retenons une représentation en 2D qui présente le temps (en abscisses) et les fréquences (en ordonnées). Une échelle de couleur est alors employée pour synthétiser la valeur des coefficients d’ondelettes.
La Figure 7 illustre le résultat de la CWT obtenues en retenant cette représentation. Sur ce graphique le temps est exprimé en jours (0 pour la première observation et 2868 pour la dernière) et les échelles fréquentielles sont traduites en périodes de Fourier. Les basses- fréquences, qui traduisent des investissements de long-terme, sont positionnées dans la partie basse de l’axe des ordonnées (grandes périodes). A l’opposé les investissements de court- terme sont positionnés en haut de l’axe car ils correspondent à des Périodes plus courtes donc aux Hautes-Fréquences. A titre d’exemple, la période 256 en ordonnée illustre une fréquence d’investissement de 256 jours soit une année en jours financiers. La Période 4 correspond alors à un horizon de placement de 4 jours.
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Figure 7 : CWT des rendements de l’indice CAC 40
Avec ce type de représentation la zone voilée blanche représente le Cône d’Influence. On note la dominance du vert qui symbolise la moyenne de la série décomposée à savoir 0 (les ondelettes centrent automatiquement la série lors du processus). Les coefficients varient ainsi autour de cette valeur. L’alternance de zones jaunes et turquoises, symbolise des variations comprises entre 0 et +5% (jaune) et entre 0 et -5% (turquoise). En partant des Hautes- Fréquences, plus on descend vers les Basses-Fréquences plus les zones sont larges dans le sens où elles alternent moins vite. Ce résultat indique qu’à long-terme les évolutions sont moins erratiques et prennent la forme d’une (co-)sinusoïde. On a ainsi sur une même représentation le positionnement fréquentiel et temporel des cycles.
Le Rouge et le Bleu profond traduisent respectivement des variations positives et négatives de plus de 5% en valeurs absolues. Ces deux couleurs sont surtout présentes au Basses- Moyennes fréquences (jusqu’à la Période 64) et pour des intervalles temporels situés autour des 1000 - 1700 jours. Ces intervalles correspondent aux périodes des crises des surprimes et
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de la dette et permettent ainsi de visualiser les impacts des crises en fonction de l’horizon de placement.
Ce type de représentation, relativement facile à interpréter et à décrire, permet d’étudier les rendements avec une multitude de points de vue. Pour approfondir l’analyse nous pouvons utiliser une représentation alternative en fixant un horizon de placement (i.e. une fréquence/période en ordonnée) et représenter l’évolution temporelle des coefficients d’ondelettes en prenant leur partie réelle5.
Les Figures 8 représentent les évolutions des rendements du CAC40 selon un horizon de 2 jours, 1 semaine (5 jours) et 6 mois (128 jours).
Figure 8 : Les Rendements du CAC selon plusieurs horizons de placement (CWT)
5Les coefficients d’ondelettes sont complexes ‘’à cause’’ de l’ondelettes de Morlet. Nous perdons donc un peu information
concernant la partie imaginaire des coefficients, mais celle-ci est contenue dans la Fonction de Phase. -0,08 -0,06 -0,04 -0,02 0 0,02 0,04 0,06 0,08
8.1: Horizon de 2 jours
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La CWT permet aussi d’étudier la répartition de la variance au cours des fréquences et du temps par le calcul du Scalogramme ou Spectre de Puissance. Avec la représentation en 2D colorisée, l’échelle de couleurs traduit l’intensité de la variation : les couleurs Bleutées pour des variations faibles devenant de plus en plus Rouge à mesure que l’intensité est forte. Les variations des rendements étant marquées par une hétéroscédasticité importante, les très fortes variations en valeurs absolues sont plutôt rares et de ce fait les zones rouges sont peu nombreuses et éparpillées aux cours du temps : le graphique est alors entièrement bleu. La lisibilité d’une telle représentation étant faible, on corrige les valeurs en les divisant par la
-0,1 -0,08 -0,06 -0,04 -0,02 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1
8.2: Horizon de 5 jours
-2,00E-02 -1,50E-02 -1,00E-02 -5,00E-03 0,00E+00 5,00E-03 1,00E-02 1,50E-02 2,00E-02 2,50E-02Horizon de 128 jours
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variance de la série ( «normalisation » des valeurs). La représentation en couleurs se prête ainsi à une interprétation graphique plus commode.
L’opération précédente implique une comparaison par rapport à 1, représentée par la couleur verte. De la sorte, quand le scalogramme vaut 1 cela indique que la variance des coefficients au temps t et à l’échelle s est égale à celle de la série d’origine. Plus la couleur tend vers le rouge plus la variance d’ondelettes est forte par rapport à la variance moyenne de la série (et inversement).
Figure 9 : Les Spectres de Puissance
On remarque immédiatement que la variance est répartie sur les Hautes et Moyennes Fréquences avec des intensités très importantes durant les périodes de crises. Aux Basses- Fréquences, en revanche, la variance est globalement en dessous de l’énergie moyenne de la série. A court-terme, les chocs impactent fortement la série qui dévie de sa moyenne, et l’effet du choc se diffuse progressivement aux fréquences alentours en perdant en intensité. Plus l’intensité initiale du choc est importante plus il se diffusera sur un large spectre de fréquence (comme les crises).
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A long-terme la série présente des variations liées aux changements de cycles ou à un choc d’une forte intensité. A titre d’exemple, la crise de 2008 a perturbé ces évolutions comme l’indique la zone jaune aux basses-fréquences entre les points 1000 et 1700, mais ses effets sont beaucoup plus intenses sur les Hautes-Fréquences (périodes entre 2 et 32).
Ce type de graphique, très marqué par un clivage d’intensité entre les Hautes et les Basses fréquences, est une représentation simple et relativement correcte de l’hétéroscédasticité aux cours du temps et des fréquences. Le scalogramme théorique d’une série parfaitement homoscédastique serait dominé par le vert quel que soit le temps et les fréquences.
On peut adopter, comme précédemment, une représentation uniquement temporelle en fixant une fréquence. Les Figures 10 illustrent les scalogrammes normalisés pour les trois fréquences retenues.
Figures 10 : Scalogramme par horizons d’investissement
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
10.1: Horizon de 2 jours
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0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 800010.2: Horizon de 1 semaine
0 2 4 6 8 10 12 14 1610.3: Horizon de 6 mois
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Les ondelettes continues constituent un outil puissant pour analyser une série. Sa mise en œuvre repose sur des équations complexes difficiles à utiliser à cause du nombre de paramètres à prendre en compte et, les résultats sont de plus sensibles aux choix effectués. Les versions discrètes (DWT et MODWT) sont plus simples d’utilisation. Elles nécessitent de recourir au seul filtre d’ondelettes (où la paire de filtres Passe-Haut et Passe-Bas rattachés) et de définir l’ordre de décomposition.