A l’invalidité empirique du MEDAF a correspondu plusieurs tentatives d’amélioration par le relâchement des hypothèses les plus restrictives ou jugées comme irréalistes.
Black (1972) discute l’hypothèse d’un actif sans risque auquel les agents empruntent et prêtent sans limites en observant la non-nullité de l’alpha. Ce modèle est considéré comme ‘’meilleur’’ selon Black et al (1972), Fama et McBeth (1973) et Blume et Friend (1973) ; les résultats ne sont pas, cependant, fondamentalement différents en termes de mesure du risque systématique.
L’hypothèse la plus critiquée est celle qui concerne les attentes des investisseurs qui ne considèrent que leur richesse finale ou leur gain en fin de période pour effectuer leurs choix. Merton (1973) développe une version du MEDAF où les agents prennent en compte l’arbitrage entre Consommation et Investissement de leurs gains à la fin de la période. Cette version Intertemporelle du MEDAF (I-CAPM), initialement modélisée en temps continue par Merton, introduit une variable d’état, notée 𝑧𝑡; elle est utilisée pour considérer les possibilités d’investissement et de consommation futures qui sont incluses dans la fonction d’utilité. Epstein et Zin (1989), puis Campbell (1993) et Fama (1996) en ont construit des versions discrètes.
Un agent va donc chercher à résoudre le programme suivant :
𝑀𝑎𝑥 𝑈(𝑐𝑡, 𝑧𝑡) + ∑ 𝛿𝑗𝐸 (𝑈(𝑐
𝑡+𝑗, 𝑧𝑡+𝑗)) ∞
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Avec 𝑐𝑡 la consommation au temps t, et 𝑐𝑡+𝑗 celle en t+j, 𝑧𝑡 la variable d’état et 𝛿 qui correspond au taux de préférence pour le temps c’est à dire une pondération psychologique accordée aux Utilités Futures.
Dans ce modèle, les rendements espérés d'un titre dépendent à la fois de son lien avec le Marché et des variations de la variable d'état qui résume les possibilités d'investissement. La conclusion du modèle est que les investisseurs achèteront davantage d'actifs risqués s’ils sont corrélés négativement avec la variable d'état. Campbell et al (2010-2013) ont montré que ce type d’approche permet d’expliquer de façon plus cohérente la construction des portefeuilles en fournissant des prédictions sur la formation de la prime de risque au cours des périodes.
Breeden (1979) a étendu le I-CAPM en considérant le caractère aléatoire des opportunités de consommation et d’investissement. Ces travaux incluent l’incertitude dans le choix simultané entre investissement et consommation instantanée et future. Le modèle Intertemporel introduit ainsi le développement du C-CAPM (Consumption CAPM) qui est une autre extension du MEDAF sous l’angle microéconomique basée sur la consommation (Breeden 1979). Dans ce type de modèle, l’agent maximise son utilité en choisissant simultanément son niveau de consommation et d’investissement en actifs sur plusieurs périodes. L’aspect mathématique est proche du modèle I-CAPM mais les conclusions du modèle sont davantage axées sur le rôle de la consommation. La principale conclusion du modèle est qu’un actif risqué positivement corrélé avec la consommation doit fournir un rendement très élevé afin de lisser les dépenses de consommation. La rentabilité espérée d’un actif dépend de son lien avec la croissance de la consommation entre deux période noté 𝑔𝑡, le C-CAPM définit ainsi le Beta Consommation comme :
𝛽𝑐 = 𝐶𝑜𝑣(𝑟𝑖,𝑡 , 𝑔𝑡) 𝐶𝑜𝑣(𝑟𝑀,𝑡 , 𝑔𝑡)
Bien que le C-CAPM apparaisse comme meilleur que le CAPM sur le plan théorique, Hansen et Singleton (1983) puis Mankiw et Shapiro (1986) montrent que ses résultats empiriques ne peuvent confirmer cette hypothèse car ils ne sont pas plus performants que ceux du CAPM. En estimant l’équation 𝐸(𝑟𝑖,𝑡) = Υ0+ 𝛽𝑖 Υ1+ 𝛽𝑐 Υ2 + 𝜂𝑖,𝑡, on peut vérifier le C-CAPM si Υ1 = 0 𝑒𝑡 Υ2 = 𝐸(𝑟𝑖,𝑡) − 𝑟𝑓 ou le MEDAF si Υ2 = 0 𝑒𝑡 Υ1 = 𝐸(𝑟𝑖,𝑡) − 𝑟𝑓. Leurs résultats ne sont pas en faveur du C-CAPM qui apparait moins performant que le MEDAF traditionnel.
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Breeden, Gibbons et Litzenberger (1989) indiquent, par ailleurs, que le C-CAPM présente de nombreux problèmes économétriques liés à la prise en compte de la variable consommation. Empiriquement la consommation agrégée n’est disponible qu’à partir des dépenses en biens et en services sur un intervalle de temps. Les données disponibles sont alors assimilables à une somme des dépenses jusqu’à l’instant t au lieu d’être la valeur ‘’spot’’ en t ce qui cause des « biais sommation » par la suite. Les auteurs indiquent que ces erreurs sous-évaluent les valeurs des variances et des covariances d’au moins 50%. Leurs résultats montrent aussi le rejet de la linéarité entre rentabilité et risque dans le CCAPM. Au final, ils en concluent que le MEDAF et le CCAPM fournissent des résultats similaires car les deux betas sont fortement corrélés. Ils notent, cependant, que leurs conclusions dépendent de la fréquence des données. Les tests fournissent de meilleurs résultats avec des observations mensuelles. Ils ont aussi testé le CCAPM mais leurs résultats rejettent le modèle car ses prédictions ne sont pas en adéquation avec la réalité.
Cochrane (1996) émet des conclusions plus mitigées, les modèles basés sur le Marché (le MEDAF) et ceux incluant l’investissement et des variables macroéconomiques semblent porter plus d’informations que le CCAPM basé sur la consommation. Il indique notamment la nécessité de considérer la variabilité de la prime de risque. Lettau et Ludvigson (2001) ont comparé les résultats de plusieurs versions du MEDAF avec le modèle à 3 facteurs (développé plus en détails par la suite). Leurs conclusions montrent qu’une version conditionnelle du CCAPM fournit des résultats équivalent à ceux de Fama et French.
Plusieurs auteurs, par la suite, ont développé un axe de recherche en s’orientant sur l’amélioration théorique du CCAPM en lui ajoutant des conditions sur la consommation et les préférences des agents économiques à l’image des travaux de Duffie et Zame (1989). On peut aussi se référer aux études de Ferson et Constantinides (1991) qui ont modifié la fonction d’Utilité des agents en y incluant les habitudes de consommation. Ces travaux se détournent du MEDAF traditionnel. Ils considèrent que la source des problèmes rencontrés est dans les fonctions d’utilité des agents.
Solnik (1974) met en lumière le défaut des théories financières (notamment le MEDAF) qui se focalisent (à l’époque) sur le marché américain uniquement sans considérer les autres possibilités d’investissement. Solnik tente alors de développer une version Internationale du MEDAF (ou IAPM International Asset Pricing Model) qui prend en compte les différents taux sans risque et les taux de changes existants. Ce modèle permet alors aux agents de
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considérer différentes possibilités d’investissement : le taux sans risque de leur pays, un portefeuille obligataire (pour les autres pays) qui permet des arbitrages sur les taux de changes, et le Marché. La notion de risque systématique est un peu modifiée car le Marché inclue des actifs internationaux couvert du risque de changes. Grauer et al (1976) ont souligné des restrictions fortes dans les hypothèses de Solnik, notamment sur les flux de capitaux, Sercu (1980) généralise le modèle de Solnik en réglant certaines hypothèses trop fortes sur les taux d’intérêts et l’inflation. Par la suite, Adler et Dumas (1983) et Dumas (1994) ont étudié les conditions d’équilibre de l’IAPM et ont développé une autre version du modèle avec des hypothèses différentes sur l’inflation. Frankel et Engel (1984) puis Engel et Rodrigues (1986- 1986) utilisent le Test de Wald sur le CAPM pour conforter ou non l’IAPM mais leurs résultats ne sont pas en faveur des hypothèses de l’IAPM. Ng (2004) a lui aussi testé le IAPM tout en développant une version conditionnelle. Ses résultats sont plutôt encourageants pour la version conditionnelle de l’IAPM mais il montre que le MEDAF est tout aussi efficace. Balvers et Klein (2014) arrivent à des conclusions similaires sur le modèle IAPM conditionnel, bien qu’il soit théoriquement supérieur au MEDAF il n’est pas empiriquement vérifié.
A côté de ces extensions du modèle, un nouvel axe de recherche s’est développé à partir des travaux de Merton sur le I-CAPM. La prise en compte d’une variable d’état conduit à une réécriture du modèle qui autorise plusieurs facteurs (en plus du Marché) influençant les rentabilités. Cette approche associée aux observations « d’anomalies » dans les résultats empiriques du MEDAF conduit à l’émergence des Modèles à Facteurs ou Multi-Betas de Merton (1973) et de l’APT (Arbitrage Pricing Theory) de Ross (1976).
Ces deux modèles considèrent K facteurs/sources de risque expliquant les rentabilités des actifs, l’équation du MEDAF peut alors se réécrire comme suit :
𝑅𝑖,𝑡 = 𝑟𝑓+ ∑ 𝛽𝑖,𝑘. 𝐹𝑘,𝑡 𝐾
𝑘=1
+ 𝜀𝑖,𝑡
Avec 𝛽𝑖,𝑘 la sensibilité du titres i au facteur de risque 𝐹𝑘,et 𝜀𝑖,𝑡 ~ 𝑛. 𝑖. 𝑑.
Le Modèle APT se distingue du MEDAF car il ne considère pas le Marché parmi les K facteurs alors que le Modèle Multi-Beta maintient le Marché mais rajoute K-1 sources de risque supplémentaires.
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Une littérature abondante va alors apparaitre afin de déterminer quels sont les facteurs à considérer. Plusieurs études vont apporter des éléments de réponse pertinents en se basant sur des variables de natures différentes :
- Des variables exogènes issues de données macroéconomiques (taux d’intérêt, taux de changes etc …)
- Des variables endogènes aux entreprises comme des ratios comptables.
Harvey et al (2016) développent dans leur étude l’ensemble des facteurs étudiés pour expliquer la rentabilité attendue.
Cette catégorie de Modèles permet la réalisation de multiples analyses qui considèrent un nombre plus ou moins élevé de facteurs. Certains auteurs recommandent de déterminer a posteriori les facteurs tandis que d’autres se focalisent sur un nombre restreint de variables qui sont définies a priori. Dhrymes et al (1985) indiquent, cependant, que le nombre de facteurs et leurs natures varient selon les périodes considérées.
Chan et al (1985) puis Chen et al (1986), ont considéré des variables exogènes macroéconomiques dans l’équation du MEDAF car elles représentent une source de risque commune aux actifs. Ils retiennent ainsi les variables suivantes : l’inflation inattendue (surprise), les changements anticipés de l’inflation, le taux de croissance de la consommation, les prix du pétrole, les différences entre les taux court et long et la croissance de la production industrielle. Leurs études ont ouvert la voie à d’autres travaux analysant la pertinence d’inclure des variables reflétant des ‘’forces économiques’’. On peut citer celles de Burnmeister et Wall (1986), de Beenstock et Chan (1988), de Ferson et Harvey (1991-1993- 1994), puis de Fung et Hsieh (1997). Cet axe de la recherche est relié directement aux différentes extensions du MEDAF présentées plus haut. Son approche globale, cependant, est différente dans le sens où l’équation du MEDAF est modifiée par le rajout de variables explicatives. Les résultats sont contrastés car ils dépendent fortement du pays étudié, de la fréquence des données et de la période considérée mais ils mettent en évidence l’intérêt de considérer d’autres sources de risque exogène au Marché.
Depuis les chocs pétroliers des années 1980, le rôle du Pétrole est de plus en plus étudié car il représente une source de risque majeure comme l’a indiqué Hamilton (1983). Jones et Kaul (1996), Huang et al (1996) puis Jones et al (2004), Basher et Sadorsky (2006), Boyer et Filion (2007), Driespong et al (2008) et Narayan et Sharma (2011) montrent ainsi les effets des
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variations des prix du pétrole sur les rendements des actions. Lee et Zeng (2011) arrivent à des résultats similaires pour les pays du G7 à partir d’une Régression Quantile. Les changements dans les prix du pétrole affectent différemment les actions en fonction du pays, de leurs secteurs etc …, à titre d’exemple, les actions des entreprises des secteurs Energétique et Pétrolier, notamment dans les pays producteurs, sont positivement dépendantes de ses fluctuations.
D’autres commodités occupent aussi une place importante dans la littérature financière. Il en est ainsi de l’Or qui, de par ses propriétés de couverture (Hedge), joue un rôle d’actif contracyclique au Marché (cf. Baur et Lucey (2010) puis Baur et McDermott (2010-2016)). Les études sur les relations entre l’Or et les Marchés sont nombreuses et confirment en partie ce constat qui dépend de la période retenue et de la nature des entreprises (Cf. Sumner et al (2010), Miyazaki et al (2012), Mirsha et al (2010), Chan et al (2011), Arfaoui et Ben Rejeb (2017), Hussain Shahzad et al (2017)). L’or apparait ainsi comme un actif particulier qui s’insère dans l’équation du MEDAF pour en calculer son Beta. Chua et al (1990) ont, à cet effet, estimé le paramètre Beta pour l’Or (considéré ici comme une variable dépendante) et en concluent qu’il est peu sensible aux variations du marché. Ces auteurs n’étudient pas la relation inverse, à savoir la sensibilité des actions aux variations du prix de l’Or, contrairement à Tufano (1998) à partir d’actions minières nord-américaines durant les années 1990. En analysant le MEDAF avec l’Or comme variable explicative, ce dernier conclue, que les actions de ce secteur sont beaucoup plus sensibles à l’Or qu’au Marché car leur Beta est plus important. Il met aussi en évidence des différences de Beta en fonction de la fréquence des données retenues (journalière, mensuelle ou annuelle). Jonhson et Lamdin (2016) puis He et al (2018) arrivent à des résultats similaires avec les mêmes variables pour des données journalières américaines et anglaises plus récentes (entre 2005-2015).
L’importance des variables comptables, comme déterminant du prix, a aussi été étudiée pour répondre aux insuffisances du MEDAF. Basu en 1977, à cet effet, a identifié l’impact du Price Earning Ratio (PER) sur la valeur prédite des rentabilités futures. Il montre que les actions ayant un PER important ont un rendement plus élevé que la prévision du MEDAF. Ce résultat implique alors que le Beta n’est pas le seul déterminant expliquant le prix des actions. Banz (1981) constate que la capitalisation boursière des firmes joue aussi un rôle dans l’appréciation de la rentabilité. Les petites firmes cotées (small caps) offrent une rentabilité moyenne supérieure de 6% environ à celle des grosses firmes (large caps). Banz attribue alors
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ces surperformances à un facteur de risque autre que le marché. Bandhari (1988) montre que le ratio d’endettement (noté D/E) explique certaines « anomalies » observées dans le MEDAF. Il note que les actions des entreprises avec un D/E élevé ont une rentabilité anormalement forte par rapport à leur Beta. Stattman (1980) puis Rosenberg et al (1985) soulignent que la rentabilité des actions dépend aussi de la valeur du Book-to-Market Ratio ou B/M qui est le rapport de la valeur comptable de l’entreprise sur sa valeur de Marché. De nombreux auteurs vont confirmer les effets de ces variables sur des marchés autres qu’américains comme le montrent Chan et al (1991) puis Capaul et al (1993).
Ce sont, cependant, Fama et French (1992-1993-1996) qui vont confirmer l’importance de ces variables. Les actions peuvent se distinguer selon la valeur des différents ratios considérés. Fama et French classent les actions selon le ratio B/M et observent que les portefeuilles composés d’actions à fort B/M ont des rentabilités moyennes plus élevées que ceux composés d’actifs à faible B/M. Il apparait aussi que la valeur du Beta est plus fort quand le ratio B/M est faible (et inversement), par conséquent, plus le beta augmente plus la rentabilité de l’action diminue … ce résultat est en totale contradiction avec ceux du MEDAF traditionnel. Leurs résultats conduisent à distinguer les ’’ Growth Stocks’’ (valeur de croissance) avec un B/M faible des ‘’value stock’’ (valeur de revenu) possédant un B/M fort.
Fama-French vont développer, par la suite, le modèle à 3 facteurs (aussi appelé Modèle de Fama-French) afin de pallier aux insuffisances du MEDAF. Il s’écrit :
𝐸(𝑅𝑖,𝑡) − 𝑟𝑓 = 𝛽𝑖,𝑀(𝐸(𝑅𝑀,𝑡) − 𝑟𝑓) + 𝛽𝑖,𝑠𝐸(𝑆𝑀𝐵𝑡) + 𝛽𝑖,ℎ𝐸(𝐻𝑀𝐿𝑡) Avec M pour le marché, s pour le facteur SMB et h pour le facteur HML.
SMB (Small-Minus-Big) représente la différence entre les rendements de deux portefeuilles, l’un composé de ‘’petites’’ actions l’autre de ‘’grosses’’. HML (High-Minus-Low) correspond à la différence entre les rendements de deux portefeuilles composés respectivement d’actions à fort ratio B/M et à faible B/M.
Le modèle à 3 facteurs fonctionne relativement bien pour expliquer les « anomalies du MEDAF » par des variables endogènes à l’entreprise. Fama et French (2015) ont amélioré leur modèle en rajoutant deux autres facteurs pour prendre en compte les différents types d’investissement et le niveau de rentabilité.
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Cahart (1997) a indiqué, cependant, que le modèle de Fama-French initial ne permet pas d’expliquer l’effet Mometum analysé par Jegadeesh et Titman (1993). Brièvement, l’effet Momentum met en évidence que les actions possédant de bonnes performances (ou mauvaises) pour une période passée continueront de surperformer (ou de sous-performer) les actions dans le futur. Cahart a montré que cet effet n’est pas considéré par les facteurs SMB et HML c’est pourquoi il développe le modèle à 4 facteurs :
𝐸(𝑅𝑖,𝑡) − 𝑟𝑓 = 𝛽𝑖,𝑀(𝐸(𝑅𝑀,𝑡) − 𝑟𝑓) + 𝛽𝑖,𝑠𝐸(𝑆𝑀𝐵𝑡) + 𝛽𝑖,ℎ𝐸(𝐻𝑀𝐿𝑡) + 𝛽𝑖,𝑢𝐸(𝑈𝑀𝐷𝑡) UMD représente alors la différence de rentabilité entre un portefeuille d’actions dites ‘’gagnantes’’ et un autre avec des actions ‘’perdantes’’ selon le critère du Momentum.
Les résultats de Fama et French sont souvent interprétés comme signant la ‘’mort du Beta’’ car celui-ci est inutile pour expliquer les rentabilités moyennes des titres/portefeuilles. Le MEDAF apparait comme complétement dépassé par les modèles à facteurs, mais Chan et Lakonishock (1993) estiment « qu’il faut y regarder à deux fois avant de disqualifier le Beta ». En se basant sur les mêmes données que Fama et French mais pour des périodes différentes, ils montrent que le Beta joue encore un rôle prépondérant et concluent qu’il est de, ce fait, prématuré d’annoncer la fin du MEDAF. Il s’en suit un vaste débat sur la validité ou non du MEDAF et sur la supériorité des modèles à facteurs ; chaque ‘’camps’’ apportent des arguments à sa cause.
Les insuffisances du modèle à expliquer correctement les rentabilités sont mis en avant pour le rejeter. Le MEDAF est sujet à de lourdes critiques essentiellement basées sur ses hypothèses théoriques et leur inadéquation empirique. Il reste pourtant un sujet d’étude toujours intéressant : son paramètre Beta constitue l’outil simple d’analyse utilisé par la plupart des investisseurs en pratique.
1.5. L’utilisation empirique du MEDAF : Le Beta un outil d’analyse simple
Bien que théoriquement contesté, le MEDAF s’est vite imposé en pratique car il fournit des outils simples et rapides permettant des comparaisons entre les actifs et les portefeuilles.
Le modèle est employé en Finance d’Entreprise dans le calcul du cout moyen pondéré du capital, noté CMPC, d’une entreprise cotée à partir de son Beta de capitaux propres :
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𝐶𝑀𝑃𝐶 =𝐸. 𝑘𝐸 + 𝐷. 𝑘𝐷∗ (1 − 𝐼𝑝)
𝐸 + 𝐷
Avec E les fonds propres, 𝑘𝐸 le cout des fonds propres, D les fonds étrangers, 𝑘𝐷 le cout des fonds étrangers, et 𝐼𝑝 le taux d’imposition.
Le MEDAF entre dans la détermination de 𝑘𝐸 car le cout des fonds propres s’assimile à la rentabilité attendue des actionnaires. On obtient ainsi l’équation suivante :
𝑘𝐸
= 𝑟
𝑓+
(𝜇
𝑀− 𝑟
𝑓)𝛽𝐸Le paramètre 𝛽𝐸 représente ici le Beta des Fonds propres qui est calculé directement par l’estimation de la droite de marché sur une période de 5 ans ou de 2 ans. Ce Beta est aussi appelé Beta désendetté par opposition au Beta endetté qui se calcul comme suit :
𝛽𝐸𝑛𝑑𝑒𝑡𝑡é = 𝛽𝐸∗ (1 + (1 − 𝐼𝑝) ∗ 𝐷𝑒𝑡𝑡𝑒
𝐸 )
Son utilisation en pratique se base avant tout sur l’information qu’il propose sur le niveau de risque systématique c’est-à-dire l’exposition aux fluctuations du Marché. Il est par ailleurs souvent employé comme « Benchmark » afin de comparer les performances des fonds d’investissement.
Les gestionnaires de portefeuilles utilisent le Beta comme un indicateur permettant une classification des actions selon leur niveau de risque systématique. Ils peuvent alors apprécier l’évolution du risque d’un portefeuille si on y inclue l’action en question. En partant du principe que le Portefeuille de Marché possède un Beta égal à1, on peut définir les profils- risque suivants :
o Une action avec un Beta supérieur à 1 est un action dite « Agressive » qui amplifie les mouvements du marché. L’action est fortement sensible aux Marché, le risque est naturellement plus élevé mais sa rentabilité doit être plus forte en contrepartie.
o Une action « Défensive » avec un Beta inférieur à 1 atténue les fluctuations du marché. L’action est moins risquée que le Marché de ce fait sa rentabilité doit être plus faible.
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o Une action avec un Beta égale à 0 n’est pas sensible au Marché. L’intérêt du MEDAF est ainsi limité dans ce cas car l’action est sensible à d’autres sources de risque (souvent endogènes). On note que ce type de Portefeuille dit « Zéro-Beta » est utilisé par Black pour construire une version particulière du MEDAF.
o Une action contracyclique au Marché possède un Beta significativement inférieur à 0. L’action évolue en sens opposé au Marché la rendant particulièrement intéressante en période de crises.
Cette catégorisation des actifs conditionne la création de portefeuilles plus ou moins diversifiés voire spécifiques selon les appétences des gestionnaires. L’intérêt d’inclure une action dans un portefeuille dépend donc de la situation du Marché (haussier ou baissier) et de la valeur de son Beta. Si le Marché croit, les actions offensives sont optimales pour fournir une Rentabilité élevée tandis que s’il baisse, les actions défensives sont préférées pour réduire le risque (tout en conservant une possibilité de gain à la reprise). Les actions contracyclique ou Beta-zéro sont utiles quand le marché est en situation de crise profonde. En revanche, Les