Énoncés II.1. Suites monotones
II.3. La transformation de Toeplitz, le théorème de Stolz et leurs applicationsde Stolz et leurs applicationsde Stolz et leurs applications
II.3.1. Démontrer le théorème de Toeplitz de transformation régulière(3) de suites en suites :
Soit{cn,k: 1kn, n1} un tableau de nombres réels vérifiant : (i) cn,k −−−−−→
n→+∞ 0 pour tout k∈N∗, (ii)
n k=1
cn,k −−−−−→
n→+∞ 1,
(iii) il existe C >0 tel que, pour tout entier nstrictement positif, n
k=1
|cn,k|C.
Pour toute suite convergente {an}, la suite transformée {bn} définie par bn = n
k=1
cn,kak (n1) est alors aussi convergente et lim
n→+∞bn= lim
n→+∞an.
(3)Une transformation de suite est régulière si elle transforme toute suite convergente en une suite convergente de même limite. (N.d.T.)
56
Énoncés
II.3.2. Montrer que si lim
n→+∞an=a, alors
n→+∞lim
a1+a2+· · ·+an
n =a.
II.3.3.
(a) Prouver que l’on peut omettre l’hypothèse (iii) du théorème de Toeplitz (problème II.3.1) si tous lescn,k sont positifs.
(b) Soit {bn} la suite transformée définie dans le théorème de Toeplitz avec cn,k > 0 pour 1 k n, n 1. Prouver que si lim
n→+∞an = +∞, alors
n→+∞lim bn= +∞.
II.3.4. Prouver que si lim
n→+∞an= +∞, alors
n→+∞lim
a1+a2+· · ·+an
n = +∞.
II.3.5. Prouver que si lim
n→+∞an=a, alors
n→+∞lim
na1+ (n−1)a2+· · ·+ 1×an
n2 = a
2.
II.3.6. Montrer que si la suite strictement positive {an} converge vers a, alors
n→+∞lim
√na1· · ·an=a.
II.3.7. Pour une suite{an}strictement positive, montrer que si lim
n→+∞
an+1
an =a, alors lim
n→+∞
√n
an=a.
II.3.8. Soit {an} et {bn} deux suites telles que lim
n→+∞an =a et lim
n→+∞bn =b.
Montrer que
n→+∞lim
a1bn+a2bn−1+· · ·+anb1
n =ab.
57
Chapitre II.Suites de nombres réels
II.3.9. Soit {an} et{bn} deux suites telles que (i) bn>0pour tout n∈N∗ et lim
n→+∞(b1+b2+· · ·+bn) = +∞, (ii) lim
n→+∞
an
bn =g.
Montrer que
n→+∞lim
a1+a2+· · ·+an b1+b2+· · ·+bn
=g.
II.3.10. Soit{an}et{bn}deux suites telles que (i) bn>0pour tout n∈N∗ et lim
n→+∞(b1+b2+· · ·+bn) = +∞, (ii) lim
n→+∞an=a.
Montrer que
n→+∞lim
a1b1+a2b2+· · ·+anbn b1+b2+· · ·+bn =a.
II.3.11. En utilisant le résultat du problème précédent, démontrer le théorème de Stolz. Soit{xn} et{yn} deux suites vérifiant les conditions :
(i) {yn} est strictement croissante et tend vers+∞, (ii)
n→+∞lim
xn−xn−1 yn−yn−1 =g.
On a alors,
n→+∞lim xn yn =g.
II.3.12. Calculer (a) lim
n→+∞
√1 n
1 + 1
√2+· · ·+ 1
√n
,
(b) lim
n→+∞
n an+1
a+a2
2 +· · ·+an n
,a >1, (c) lim
n→+∞
1 nk+1
k! + (k+ 1)!
1! +· · ·+(k+n)!
n!
,k∈N∗, 58
Énoncés II.3.13. On suppose que lim
n→+∞an=a. Trouver II.3.16. On suppose que lim
n→+∞an=a. Trouver
II.3.17. Soitk un entier strictement plus grand que 1. Calculer
n→+∞lim
Chapitre II.Suites de nombres réels
II.3.18. Pour une suite arithmétique{an}strictement positive, déterminer
n→+∞lim
II.3.22. On suppose que{an}converge vers a. Prouver que
n→+∞lim II.3.24. Prouver que si lim
n→+∞an=a, alors
Énoncés
II.3.25. Étant donné une suite {an}, on considère la suite des moyennes arith-métiques{An}, soit An= a1+a2+···+n an. Prouver que si lim
n→+∞An=A, on a alors aussi
n→+∞lim 1 lnn
n k=1
ak k =A.
II.3.26. Prouver la réciproque du théorème de Toeplitz énoncé en II.3.1: Soit{cn,k : 1kn, n1}un tableau de nombres réels. Si pour toute suite convergente{an}, la suite transformée{bn} définie par
bn= n k=1
cn,kak converge vers la même limite, alors
(i) cn,k−−−−−→
n→+∞ 0 pour tout k∈N∗, (ii)
n
k=1cn,k−−−−−→
n→+∞ 1,
(iii) il existe C >0tel que, pour tout entier nstrictement positif, n
k=1
|cn,k|C.
II.4. Valeurs d’adhérence, limite supérieure et limite inférieure
II.4.1. Soit {an} une suite dont les sous-suites {a2k}, {a2k+1} et {a3k} convergent.
(a) Prouver la convergence de la suite{an}.
(b) La convergence de deux de ces sous-suites implique-t-elle la convergence de la suite {an}?
II.4.2. La convergence de toute sous-suite de {an} de la forme {as×n}, s∈N, s >1, implique-t-elle la convergence de la suite {an}?
61
Chapitre II.Suites de nombres réels
II.4.3. Soit {apn},{aqn}, . . ., {asn} des sous-suites de{an}telles que les suites {pn},{qn}, . . .,{sn}soient deux à deux disjointes et que leur union forme la suite {n}. Montrer que siS,Sp,Sq, . . .,Sssont les ensembles des valeurs d’adhérence respectives des suites {an},{apn},{aqn}, . . ., {asn}, alors
S=Sp∪Sq∪ · · · ∪Ss.
En conclure que si toutes les sous-suites{apn},{aqn}, . . .,{asn}convergent versa, la suite {an}converge alors aussi vers a.
II.4.4. Le théorème précédent (problème II.4.3) est-il vrai dans le cas d’une infinité de sous-suites ?
II.4.5. Prouver que si toute sous-suite{ank}d’une suite{an}contient une sous-suite {anki} convergente versa, la suite {an}converge alors aussi vers a.
II.4.6. Déterminer l’ensemble des valeurs d’adhérence de la suite {an} dans le cas où :
(a) an= n
4(−1)n+ 2, (b) an= 1
2
n−2−3
+n−1 3
,
n−3−3
+n−1 3
, , (c) an= (1−(−1)n) 2n+ 1
2n+ 3 , (d) an= (1 + cosnπ) ln 3n+ lnn
ln 2n ,
(e) an="
cosnπ 3
#n
, (f) an= 2n2
7 − +2n2
7 ,
.
II.4.7. Déterminer l’ensemble des valeurs d’adhérence de la suite {an} définie par
(a) an=nα−[nα],α∈Q, (b) an=nα−[nα],α /∈Q,
(c) an= sinπnα,α∈Q, (d) an= sinπnα,α /∈Q.
62
Énoncés
II.4.8. Soit {ak} une suite produite par une énumération (bijective) des élé-ments de la matrice √3
n−√3 m
, n, m ∈ N∗. Montrer que tout réel est valeur d’adhérence de cette suite.
II.4.9. Soit{an}une suite bornée. Prouver que l’ensemble de ses valeurs d’adhé-rence est fermé et borné.
II.4.10. Déterminer lim
n→+∞an et lim
n→+∞an dans le cas où : (a) an= 2n2
7 − +2n2
7 ,
, (b) an= n−1
n+ 1 cosnπ 3 , (c) an= (−1)nn, (d) an=n(−1)nn,
(e) an= 1 +nsinnπ 2 , (f) an=
1 + 1
n n
(−1)n+ sinnπ 4 , (g) an= n
1 + 2n(−1)n, (h) an=
2 cos2nπ 3
n
, (i) an= lnn−(1 + cosnπ)n
ln 2n .
II.4.11. Déterminer la limite supérieure et la limite inférieure des suites sui-vantes :
(a) an=nα−[nα],α∈Q, (b) an=nα−[nα],α /∈Q,
(c) an= sinπnα,α∈Q, (d) an= sinπnα,α /∈Q.
63
Chapitre II.Suites de nombres réels
II.4.12. Pour une suite{an} quelconque, montrer que
(a) s’il existe k ∈ N∗ tel que l’inégalité an A est vérifiée pour tout entier n > k, alors lim
n→+∞anA,
(b) si pour toutk∈N∗, il existe nk > ktel que ank A, alors lim
n→+∞anA, (c) s’il existek∈N∗tel que l’inégalitéanaest vérifiée pour toutn > k, alors
lim
n→+∞ana,
(d) si pour toutk∈N∗, il existe nk > ktel que ank a, alors lim
n→+∞ana.
II.4.13. On suppose que les limites inférieure et supérieure de la suite{an}sont finies. Prouver que
(a) L= lim
n→+∞an si et seulement si
pour toutε >0, il existek∈N∗ tel que an< L+εsi n > k (i) et
pour tout ε >0 etk∈N∗, il existenk> k tel queL−ε < ank. (ii) (b) l= lim
n→+∞an si et seulement si
pour toutε >0, il existek∈N∗ tel que l−ε < an si n > k (i) et
pour toutε >0etk∈N∗, il existe nk > ktel que ank < l+ε. (ii) Formuler les propositions correspondantes pour des limites inférieure et supérieure infinies.
II.4.14. On suppose qu’il existe un entiern0 tel que anbnpour toutnn0. Prouver que
(a) lim
n→+∞an lim
n→+∞bn,
(b) lim
n→+∞an lim
n→+∞bn. 64
Énoncés
II.4.15. Prouver (à l’exclusion des formes indéterminées des types +∞ − ∞et
−∞+∞) les inégalités suivantes : lim
n→+∞an+ lim
n→+∞bn lim
n→+∞(an+bn) lim
n→+∞an+ lim
n→+∞bn
lim
n→+∞(an+bn) lim
n→+∞an+ lim
n→+∞bn. Donner des exemples de suites pour lesquelles les «» sont remplacés par des
«<» dans les inégalités précédentes.
II.4.16. Les inégalités lim
n→+∞an+ lim
n→+∞bn lim
n→+∞(an+bn),
n→+∞lim (an+bn) lim
n→+∞an+ lim
n→+∞bn restent-elles valides dans le cas d’un nombre infini de suites ?
II.4.17. Soit {an} et {bn} des suites à termes positifs. Prouver (à l’exclusion des formes indéterminées des types0×(+∞) et+∞ ×0) les inégalités suivantes :
lim
n→+∞an× lim
n→+∞bn lim
n→+∞(an×bn) lim
n→+∞an× lim
n→+∞bn
lim
n→+∞(an×bn) lim
n→+∞an× lim
n→+∞bn. Donner des exemples de suites pour lesquelles les «» sont remplacés par des
«<» dans les inégalités précédentes.
II.4.18. Prouver que la suite{an}converge si et seulement si la limite inférieure et la limite supérieure sont finies et
lim
n→+∞an= lim
n→+∞an.
Prouver qu’un théorème semblable est aussi correct dans le cas d’une suite diver-geant proprement vers+∞ ou−∞.
II.4.19. Prouver que si lim
n→+∞an=a(a∈R), alors lim
n→+∞(an+bn) =a+ lim
n→+∞bn,
n→+∞lim (an+bn) =a+ lim
n→+∞bn.
65
Chapitre II.Suites de nombres réels II.4.20. Prouver que si lim
n→+∞an = a (a ∈ R∗+) et s’il existe un entier naturel n0 tel que bn0 pournn0, alors
lim
n→+∞(an×bn) =a× lim
n→+∞bn,
n→+∞lim (an×bn) =a× lim
n→+∞bn. II.4.21. Prouver que
lim
n→+∞(−an) =− lim
n→+∞an, lim
n→+∞(−an) =− lim
n→+∞an. II.4.22. Prouver que
lim
n→+∞
1
an = 1
n→+∞lim an,
n→+∞lim 1 an
= 1
lim
n→+∞an
pour toute suite {an}strictement positive. (Ici, +∞1 = 0, 01+ = +∞.) II.4.23. Prouver que si{an}est une suite strictement positive telle que
n→+∞lim an· lim
n→+∞
1 an = 1, alors elle converge.
II.4.24. Prouver que si{an}est une suite telle que, pour toute suite {bn}, lim
n→+∞(an+bn) = lim
n→+∞an+ lim
n→+∞bn ou
n→+∞lim (an+bn) = lim
n→+∞an+ lim
n→+∞bn, alors cette suite est convergente.
II.4.25. Prouver que si{an} est une suite strictement positive telle que, pour toute suite strictement positive {bn},
lim
n→+∞(an×bn) = lim
n→+∞an× lim
n→+∞bn ou
n→+∞lim (an×bn) = lim
n→+∞an× lim
n→+∞bn, alors cette suite est convergente.
66
Énoncés
II.4.26. Prouver que, pour toute suite strictement positive {an}, on a lim
n→+∞
an+1
an lim
n→+∞
√n
an lim
n→+∞
√n
an lim
n→+∞
an+1
an . II.4.27. Pour une suite{an}donnée, on définit la suite {bn}en posant
bn= a1+a2+· · ·+an
n , n∈N∗.
Prouver que
lim
n→+∞an lim
n→+∞bn lim
n→+∞bn lim
n→+∞an. II.4.28. Prouver que
(a) lim
n→+∞(max{an, bn}) = max lim
n→+∞an, lim
n→+∞bn
(b) lim
n→+∞(min{an, bn}) = min lim
n→+∞an, lim
n→+∞bn
Les égalités (a) lim
n→+∞(min{an, bn}) = min lim
n→+∞an, lim
n→+∞bn
(b) lim
n→+∞(max{an, bn}) = max lim
n→+∞an, lim
n→+∞bn
sont-elles aussi correctes ?
II.4.29. Prouver que toute suite réelle contient une sous-suite monotone.
II.4.30. Utiliser le résultat de l’exercice précédent pour déduire le théorème de Bolzano-Weierstrass :
Toute suite réelle bornée contient une sous-suite convergente.
II.4.31. Prouver que
n→+∞lim
a1+a2+· · ·+an+an+1
an 4
pour toute suite{an}strictement positive. Montrer que4est le meilleur minorant.
67
Chapitre II.Suites de nombres réels