Problèmes divers

II.5.1. Prouver que si lim

n→+∞an= +∞ ou lim

n→+∞an=−∞, alors

n→+∞lim

1 + 1 a_n

an

=e.

II.5.2. Pour x∈R, prouver que

n→+∞lim

"

1 + x n

#n

=e^x. II.5.3. Pour x∈R^∗₊, établir l’inégalité

x

x+ 2 <ln(x+ 1)< x.

Prouver aussi (en utilisant la dérivation) que l’on peut améliorer la première inégalité comme suit :

x

x+ 1 < 2x

x+ 2<ln(x+ 1), x >0.

II.5.4. Prouver que (a) lim

n→+∞n√n

a−1

= lna,a >0, (b) lim

n→+∞n√n

n−1

= +∞.

II.5.5. Soit {a_n} une suite strictement positive dont les termes sont différents de 1. Montrer que si lim

n→+∞an= 1, alors

n→+∞lim lna_n a_n−1 = 1.

II.5.6. On pose

an= 1 + 1 1!+ 1

2!+· · ·+ 1

n!, n∈N^∗. Prouver que

n→+∞lim an=e et 0< e−an< 1 nn!. 68

Énoncés

II.5.7. Prouver que

n→+∞lim

1 + x 1!+x²

2! +· · ·+ xⁿ n!

=e^x. II.5.8.

(a) lim

n→+∞

1

n+ 1

n+ 1+· · ·+ 1 2n

= ln 2,

(b) lim

n→+∞

1

n(n+ 1)+ 1

(n+ 1)(n+ 2)+· · ·+ 1 2n(2n+ 1)

= ln 2.

II.5.9. Trouver la limite de la suite {an} définie par a_n=

1 + 1

n² 1 + 2 n²

· · ·"

1 + n n²

#

, n∈N^∗. II.5.10. Soit{a_n}la suite récurrente définie par

a₁= 1, a_n=n(a_n−1+ 1) pour n= 2,3, . . . Déterminer

n→+∞lim n k=1

1 + 1

a_k

.

II.5.11. Prouver que lim

n→+∞(n!e−[n!e]) = 0.

II.5.12. Étant donné aetbstrictement positifs, montrer que

n→+∞lim √n

a+ √ⁿ b 2

n

=√ ab.

II.5.13. Soit{a_n}et{b_n} deux suites strictement positives telles que

n→+∞lim aⁿ_n=a, lim

n→+∞bⁿ_n=b, où a, b >0.

Soitp etq deux réels strictement positifs vérifiant p+q = 1. Prouver que

n→+∞lim (pan+qbn)ⁿ=a^pb^q.

69

Chapitre II.Suites de nombres réels

II.5.14. Étant donné deux réelsaetb, on définit la suite récurrente{a_n}comme suit :

a₁ = 1, a₂=b, an+1= n−1

n an+ 1

nan−1, n2.

Trouver lim

n→+∞a_n.

II.5.15. On note{an} la suite récurrente définie par

a₁= 1, a₂ = 2, a_n+1 =n(a_n+a_n−1), n2.

Trouver une formule explicite donnant le terme général de la suite.

II.5.16. Étant donné deux réelsaetb, on définit la suite récurrente {a_n} par a₁ =a, a₂=b, a_n+1= 1

2na_n−1+2n−1

2n a_n, n2.

Déterminer lim

n→+∞a_n. II.5.17. On pose

an= 3− n k=1

1

k(k+ 1)(k+ 1)!, n∈N^∗. (a) Prouver que lim

n→+∞a_n=e.

(b) Prouver aussi que 0< a_n−e < _(n+1)(¹_n+1)!. II.5.18. Calculer lim

n→+∞nsin(2πn!e).

II.5.19. Soit {an} une suite vérifiant an < n (n ∈ N^∗) et lim

n→+∞an = +∞.

Étudier la convergence de la suite

"

1−a_n n

#_n

, n∈N^∗.

II.5.20. Soit {bn} une suite strictement positive divergeant vers +∞. Étudier la convergence de la suite

1 + b_n

n n

, n∈N^∗.

70

Énoncés

II.5.21. On définit la suite récurrente {a_n} en posant 0< a₁<1, a_n+1=a_n(1−a_n), n1.

Prouver que (a) lim

n→+∞na_n= 1, (b) lim

n→+∞

n(1−na_n) lnn = 1.

II.5.22. La suite récurrente {a_n} est définie par

0< a₁ < π, a_n+1 = sina_n, n1.

Prouver que lim

n→+∞

√na_n=√ 3.

II.5.23. On pose

a₁ = 1, a_n+1 =a_n+ 1 n k=1a_k

, n1.

Prouver que

n→+∞lim a_n

√2 lnn = 1.

II.5.24. Soit{a_n}la suite récurrente définie par

a₁ >0, a_n+1= Arctana_n, n1.

Déterminer lim

n→+∞an.

II.5.25. Prouver que la suite récurrente définie par

0< a₁ <1, a_n+1 = cosa_n, n1, converge vers l’unique racine de l’équation x= cosx.

II.5.26. On définit la suite récurrente {a_n} comme suit : a₁ = 0, an+1 = 1−sin(an−1), n1.

Trouver

n→+∞lim 1 n

n k=1

a_k.

71

Chapitre II.Suites de nombres réels

II.5.27. Soit{a_n}la suite des racines successives de l’équationtanx=x,x >0.

Déterminer lim

n→+∞(an+1−a_n).

II.5.28. Pour|a| ^π₂ eta₁ ∈R, on considère la suite définie par an+1=asinan, n1.

Étudier la convergence de cette suite.

II.5.29. Étant donné a₁ >0, on considère la suite {an} définie en posant a_n+1= ln(1 +a_n), n1.

Prouver que (a) lim

n→+∞nan= 2, (b) lim

n→+∞

n(nan−2) lnn = 2

3.

II.5.30. On définit la suite récurrente {a_n} par a₁ = 0, a_n+1 =

1 4

an

, n1.

Étudier la convergence de cette suite.

II.5.31. Étant donné a₁ >0, on définit la suite {a_n} comme suit : an+1 = 2^1−an, n1.

Étudier la convergence de cette suite.

II.5.32. Trouver la limite de la suite définie par a₁ =√

2, a_n+1= 2^an2 , n1.

II.5.33. Prouver que si lim

n→+∞(an−a_n−2) = 0, alors

n→+∞lim

an−an−1

n = 0.

72

Énoncés

II.5.34. Prouver que si, pour une suite strictement positive {a_n}, la limite

n→+∞lim n

1−an+1

a_n

existe (finie ou infinie), alors

n→+∞lim ln_a¹

n

lnn existe aussi et les deux limites sont égales.

II.5.35. Étant donnéa₁, b₁ ∈]0,1[, prouver que les suites{a_n} et{b_n}définies par

a_n+1 =a₁(1−a_n−b_n) +a_n, b_n+1=b₁(1−a_n−b_n) +b_n, n1, convergent et trouver leur limite respective.

II.5.36. On considère, pour aeta₁ strictement positifs, la suite définie par a_n+1 =a_n(2−aa_n), n∈N^∗.

Étudier la convergence de cette suite.

II.5.37. Montrer que si a₁ eta₂ sont strictement positifs et a_n+2 =√

a_n+√a_n+1, n∈N^∗, alors la suite {a_n} converge. Trouver sa limite.

II.5.38. Soit f: R^∗₊k

−→ R^∗₊ une fonction croissante en chacune de ses va-riables telle qu’il existea >0 vérifiant

f(x, x, . . . , x)> x pour 0< x < a, f(x, x, . . . , x)< x pour x > a.

Étant donnéa₁, a₂, . . . , a_k, on définit la suite récurrente{an}par a_n=f(an−1, a_n−2, . . . , a_n−k) pourn > k.

Prouver que lim

n→+∞a_n=a.

73

Chapitre II.Suites de nombres réels

II.5.39. Soita₁ eta₂ deux réels strictement positifs. Étudier la convergence de la suite {a_n}définie par la relation

Utiliser cette relation pour trouver la limite de la suite récurrente définie par a₁=√

2, a_n+1=√

2 +a_n, n1.

II.5.42. Soit{ε_n}une suite dont les termes prennent leur valeur dans l’ensemble {−1,0,1}. Établir la relation

et montrer que la suite

a_n=ε₁

II.5.45. Étudier la convergence de la suite récurrente définie comme suit : a₁ =√

Énoncés

II.5.46. Montrer que

n→+∞lim -. ./

1 + 2

* 1 + 3

%

1 +· · ·!

1 + (n−1)√

1 +n= 3.

II.5.47. Étant donné a >0, on définit la suite récurrente {a_n} en posant a₁ <0, a_n+1= a

a_n −1 pourn∈N^∗.

Prouver que la suite converge vers la racine négative de l’équationx²+x=a.

II.5.48. Étant donné a >0, on définit la suite récurrente {an} par a₁ >0, a_n+1= a

an+ 1 pourn∈N^∗.

Prouver que la suite converge vers la racine positive de l’équation x²+x =a. II.5.49. Soit{a_n}la suite définie par la relation

a₁ = 1, a_n+1= 2 +a_n 1 +an

pourn∈N^∗.

Prouver que cette suite est une suite de Cauchy et trouver sa limite.

II.5.50. Soit{a_n}la suite définie par a₁ >0, a_n+1= 2 + 1

a_n pourn∈N^∗.

Prouver que cette suite est une suite de Cauchy et trouver sa limite.

II.5.51. Étant donné a >0, on définit la suite {a_n} par a₁ = 0, an+1= a

2 +a_n pourn∈N^∗. Étudier la convergence de la suite.

II.5.52. On suppose que

a₁ ∈R et a_n+1=a_n−2¹⁻ⁿ pour n∈N^∗.

Étudier la convergence de cette suite et, si elle converge, trouver sa limite.

75

Chapitre II.Suites de nombres réels

Énoncés

II.5.58. Déterminer pour quelles valeurs de α la suite a_n=

1−

1 n

α

1− 2

n α

· · ·

1−

n−1 n

α

, n2, converge.

II.5.59. Pour x∈R, on pose{x}=x−[x]. Trouver lim

n→+∞

2 +√ 3n

. II.5.60. Soit{an}une suite strictement positive, on poseSn=a₁+a₂+· · ·+an

(n1). On suppose que a_n+1 1

Sn+1((Sn−1)an+a_n−1), n1.

Déterminer lim

n→+∞a_n.

II.5.61. Soit{an}une suite strictement positive telle que

n→+∞lim an

n = 0 et lim

n→+∞

a₁+a₂+· · ·+an

n <+∞.

Trouver

n→+∞lim

a²₁+a²₂+· · ·+a²_n

n² .

II.5.62. On considère deux suites{a_n}et{b_n} strictement positives telles que

n→+∞lim

a_n

a₁+a₂+· · ·+an

= 0 et lim

n→+∞

b_n

b₁+b₂+· · ·+bn

= 0.

On définit la suite{cn} en posant

c_n=a₁b_n+a₂b_n−1+· · ·+a_nb₁, n∈N^∗. Montrer que

n→+∞lim

cn

c₁+c₂+· · ·+c_n = 0.

II.5.63. Trouver

n→+∞lim

1 + 1 n

n²

e⁻ⁿ.

77

Chapitre II.Suites de nombres réels

II.5.64. On suppose que la suite majorée{a_n}vérifie la condition an+1−an>−1

n², n∈N^∗. Établir la convergence de{a_n}.

II.5.65. On suppose que la suite bornée{a_n}vérifie la condition a_n+1 ²√ⁿ

2a_n, n∈N^∗. Établir la convergence de{a_n}.

II.5.66. On note respectivementl etLles limites inférieure et supérieure de la suite{an}. Prouver que si lim

n→+∞(an+1−an) = 0, alors tout élément de l’intervalle ouvert ]l , L[est une valeur d’adhérence de {a_n}.

II.5.67. On note respectivement l et L les limites inférieure et supérieure de la suite {an}. On suppose que pour tout n, an+1 −an > −αn avec αn > 0 et

n→+∞lim α_n= 0. Prouver que tout élément de l’intervalle ouvert]l , L[est une valeur d’adhérence de {an}.

II.5.68. Soit{an}une suite croissante et strictement positive. Prouver que l’en-semble des valeurs d’adhérence de la suite

an

n+a_n, n∈N^∗,

est un intervalle (réduit à un singleton en cas de convergence).

II.5.69. Étant donné a₁ ∈R, on considère la suite {a_n}définie par

a_n+1 =

⎧⎨

⎩ a_n

2 pourn pair, 1 +a_n

2 pourn impair.

Trouver les valeurs d’adhérence de cette suite.

II.5.70. Zéro est-il valeur d’adhérence de la suite{√

nsinn}? 78

Énoncés

II.5.71. Prouver que pour toute suite strictement positive {a_n},

n→+∞lim

a₁+an+1

a_n n

e.

II.5.72. Prouver la généralisation suivante du résultat précédent : pour tout entierp >0 et pour toute suite strictement positive {a_n}, on a

n→+∞lim

a₁+a_n+p an

n

e^p.

II.5.73. Prouver que pour toute suite strictement positive {a_n}, on a

n→+∞lim n

1 +an+1

a_n −1

1.

Prouver que le minorant 1 est optimal.

II.5.74. On pose

a_n=

% 1 +

!

1 +· · ·+√ ( )& 1'

nracines

. Trouver lim

n→+∞a_n.

II.5.75. Soit{an}une suite dont les termes sont strictement plus grands que 1 et telle que

n→+∞lim

ln lna_n

n =α.

On considère la suite{bn} définie par bn=

%

a₁+!

a₂+· · ·+√

an, n∈N^∗.

Prouver que la suite {b_n} converge si α < ln 2 et qu’elle diverge vers +∞ si α >ln 2.

II.5.76. On suppose que les termes de la suite {an}vérifient la condition 0a_m+na_m+a_n pour m, n∈N^∗.

Prouver que la limite lim

n→+∞

an

n existe.

79

Chapitre II.Suites de nombres réels

II.5.77. On suppose que les termes de la suite{a_n}vérifient la condition 0a_m+na_m·a_n pour m, n∈N^∗.

Prouver que la limite lim

n→+∞

√na_n existe.

II.5.78. On suppose que les termes de la suite{a_n}vérifient les conditions

|a_n|1,

a_m+a_n−1a_m+na_m+a_n+ 1 pour m, n∈N^∗.

(a) Prouver que la limite lim

n→+∞

an

n existe.

(b) Prouver que si lim

n→+∞

an

n =g, alors

ng−1a_nng+ 1 pour n∈N^∗.

II.5.79. On suppose que {a_n} est une suite croissante et strictement positive vérifiant la condition

an·m nam pour m, n∈N^∗. Prouver que si sup_a

n

n :n∈N^∗

<+∞, alors la suite_a

n

n

converge.

II.5.80. Étant donné deux réels strictement positifs a₁ et a₂, prouver que la suite récurrente {a_n} définie par

an+2 = 2

a_n+1+a_n pourn∈N^∗ converge.

II.5.81. Pour b₁ a₁ > 0, on considère les deux suites {a_n} et {b_n} définies par

an+1= a_n+b_n

2 , bn=

an+1bn pourn∈N^∗. Démontrer que les deux suites convergent vers la même limite.

80

Énoncés

II.5.82. Soit a_k,n, b_k,n (n∈N^∗,k= 1,2, . . . , n) deux tableaux triangulaires de réels, b_k,n = 0. On suppose que ^a_b^k,n

k,n −−−−−→

n→+∞ 1 uniformément par rapport à k, autrement dit, pour toutε >0, il existe un entiern₀ tel que

a_k,n b_k,n −1

< ε

pour toutn > n₀ etk= 1,2, . . . , n. Montrer que si lim

n→+∞

n k=1

b_k,n existe, alors

n→+∞lim n k=1

a_k,n = lim

n→+∞

n k=1

b_k,n.

II.5.83. Étant donné a= 0, trouver

n→+∞lim n k=1

sin(2k−1)a n² . II.5.84. Pour a >0, déterminer

n→+∞lim n k=1

"

a^n2k −1# .

II.5.85. Trouver

n→+∞lim n k=1

1 + k

n²

.

II.5.86. Pour p= 0 etq >0, déterminer

n→+∞lim n k=1

1 +k^q−1 n^q

¹_p

−1

.

II.5.87. Étant donné des réels strictement positifs a, b et d tels que b > a, calculer

n→+∞lim

a(a+d)· · ·(a+nd) b(b+d)· · ·(b+nd) .

81

Chapitre II.Suites de nombres réels

Solutions

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