Transformation de l’opérateur Λ T ,Q

On veut calculer l’expression : Z Y_Q0 r σ_Q^R(HQ(y) − T ) Z i(aG S)∗ Λ^{T ,Q}E^Q(y,_rρ_S,σ,µ(f, ω)Φ, θ₀µ)EQ0 (y, Φ, µ) dµ dy . On décompose l’intégrale sur Y_Q0 comme dans la preuve précédente. On peut commencer par intégrer sur

N_QL

0(F )\N_QL

0(A)
^{× N}QL0

0 (F )\N_QL0

0 (A)
^.

Cette intégrale étant à support compact, on peut la permuter avec l’intégrale sur i(a^G_S)^∗. On obtient pour composée de ces deux intégrales l’expression

(1) Z i(aG S)∗ (Λ^{T ,Q}E^Q)_Q0 xe^Hk, Φ, θ₀(µ)
EQ0 Q0(xeHk, Ψ, µ)ϕ(µ) dµ

les indices Q₀signifiant que l’on prend les termes constants. Le lemme 4.1.2 implique que ceci est nul si φ^Q_Q

0(H − T ) 6= 1. Dans la preuve précédente, on avait découpé le domaine d’intégration en H selon des paraboliques P⁰. On voit que maintenant, seul le domaine correspondant à P⁰= Q donne une contribution non nulle.

Remarquons que les diverses relations que l’on a établies dans la preuve précé-dente s’appliquent aussi bien à l’intégrale ci-dessus. La relation (4) implique que, pour les H qui vérifiant

r

σ_Q^R(H − T ) = 1

On fixe un réel η avec 0 < η < 1 que l’on précisera dans la proposition 12.5.1 et sera à l’œuvre dans la section 12.6 (on le supposera alors assez voisin de 0).

Pour Z ∈ a^G₀, on note κ^Z la fonction caractéristique du sous-ensemble des X ∈ aG

0 tels que kXk ≤ kZk. Remarquons que, quitte à agrandir le c⁰ ci-dessus, les relations dP₀(T ) ≥ c⁰(c + 1) et kH − TQ₀k ≤ c entraînent kHQ− T_Q^Q 0k ≤ kηT k autrement dit κηT(HQ− T_Q^Q

0) = 1. En utilisant le lemme 4.2.2, on obtient que, pourvu que dP0(T ) ≥ c⁰(c + 1), l’expression (1) multipliée parσ_rR

Q(H − T ), vaut κ^ηT(H^Q− T_Q^Q 0)_rσ_Q^R(H − T )φ^Q_Q 0(H − T ) × Z i(aG S)∗ Λ^{T [HQ],Q}0E_Q^Q 0 xe^Hk, Φ, θ0(µ)
EQ0 Q₀(xeHk, Ψ, µ)ϕ(µ) dµ si kH − TQ₀k ≤ c, et 0 sinon. Mais la preuve de la relation (4) de la proposi-tion 12.3.2 s’applique aussi bien à l’expression ci-dessus : cette expression est nulle si kH − TQ₀k > c. Donc l’expression (1) multipliée par σ_rR

Q(H − T ) est égale à l’expression ci-dessus pour tout H.

Il est utile de préciser le nombre c, qui dépend de ϕ. Pour X ∈ h, notons e^hX,•i la fonction

µ 7→ e^hX,µi sur i(a^G_S)^∗.

Que se passe-t-il quand on remplace ϕ par ϕe^hX,•i? En examinant les preuves, on voit que le nombre c est essentiellement borné par le sup des normes des éléments du compact ω du lemme 12.3.1. Ce dernier est lui-même essentiellement le support d’une transformée de Fourier partielle de ϕ. Quand on remplace ϕ par son produit avec e^hX,•i, le nouvel ω est essentiellement un translaté du ω initial par une pro-jection de l’élément X. Le sup des normes de ses éléments est donc essentiellement borné par 1 + kXk. Il en est donc de même de la constante c. On a obtenu la proposition ci-dessous.

Proposition 12.4.1. Il existe c(ϕ) > 0 tel que :

(i) pour d_P0(T ) ≥ c(ϕ), on a l’égalité entre Z Y_Q0 r σ_Q^R(HQ(y) − T ) Z i(aG S)∗ Λ^{T ,Q}E^Q(y, Φ, θ0µ)EQ0 (y, Ψ, µ)ϕ(µ) dµ dy et Z aG Q0 Z L0(F )\L0(A)1 Z K κ^ηT(H^Q− T_Q^Q 0)_rσ_Q^R(H − T )φ^Q_Q 0(H − T )δQ₀(e^H)⁻¹ × Z i(aG S)∗ Λ^{T [HQ],Q}0E_Q^Q 0(xe^Hk, Φ, θ0µ)E^Q_Q⁰ 0(xeHk, Ψ, µ)ϕ(µ) dµ dk dx dH; (ii) l’intégrale intérieure en µ du membre de droite ci-dessus est nulle pour

tous x, k si

kH − TQ₀k > c(ϕ) ;

12.5. De nouvelles majorations Proposition 12.5.1. Pour H ∈ a^G_Q0, considérons Z L₀(F )\L₀(A)1 Z K Z i(aG S)∗ |Λ^{T [HQ],Q}0E^Q_Q 0(xe^Hk, Φ, θ0µ) × E_Q^Q0 0(xeHk, Ψ, µ)ϕ(µ)| dµ dk dx . (i) On suppose φ^Q_Q

0(H − T ) = 1. L’expression ci-dessus est convergente. (ii) Il existe η0 avec 0 < η0 < 1 tel que si η vérifie 0 < η < η0, la propriété

suivante soit vérifiée. Il existe c > 0 telle que l’expression ci-dessus soit majorée par cδQ₀(e^H)dP₀(T )^dim(aQ00 ) pour tout T et tout H vérifiant

r

σ_Q^R(H − T )φ^Q_Q

0(H − T )κ^ηT(H^Q− T_Q^Q

0) = 1 .

Preuve. L’intégrale sur K est inessentielle, on l’oublie. On veut majorer l’in-tégrale intérieure. Comme dans la preuve de la proposition 12.2.3, on se ramène à majorer deux types d’intégrales :

(1) Z i(aG S)∗ |Λ^{T [HQ],Q}0E_Q^Q 0(xe^H, Φ, θ0µ)ϕ(µ)|²dµ et (2) Z i(aG S)∗ |E_Q^Q0 0(xe^H, Ψ, µ)ϕ(µ)|²dµ . Considérons la seconde, que l’on peut écrire

Z i(aG S)∗ E_Q^Q0 0(xe^H, Ψ, µ)E_Q^Q0 0(xeH, Ψ, µ)|ϕ(µ)|²dµ . Sous cette forme, on voit qu’elle se déduit de l’intégrale

Z

i(aG S)∗

E^Q0(y, Ψ, µ)EQ0

(y0, Ψ, µ)|ϕ(µ)|²dµ

en prenant les termes constants en chacune des variables y, y⁰, puis en posant y = y⁰ = e^Hx (prendre des termes constants consiste à intégrer sur des com-pacts, cette opération commute à l’intégrale sur i(aG

S)^∗). Fixons une fonction hQ⁰

sur Q⁰(F )\G(A)1, à valeurs positives et telle que h^Q0(y)  δP₀(y)^1/2 hQ⁰(y) pour tout y ∈ S^Q0 : par exemple la fonction

h^Q0(y) = ^X

γ∈Q0(F )

δ_P0(γy)^1/21_SQ0(γy)

où 1_SQ0 est la fonction caractéristique de S^Q0. La proposition 12.2.3 nous dit que la dernière intégrale ci-dessus est essentiellement bornée par h^Q0(y)h^Q0(y⁰). Donc (2) est essentiellement bornée par

h^Q_Q⁰

0(xe^H)h^Q_Q⁰

La fonction h^Q0 est à croissance modérée, donc h^Q_Q⁰

0 aussi. Pour H fixé, l’expres-sion (2) est donc essentiellement bornée par |x|D pour un entier D assez grand. Considérons l’expression (1). Elle se déduit de même de

(3)

Z

i(aG S)∗

E^Q(y, Φ, µ)EQ(y0, Φ, µ)|ϕ(µ)|²dµ

en prenant en chaque variable les termes constants puis en appliquant l’opérateur

Λ^{T [HQ],Q}0, enfin en égalant y = y⁰ = xeH. Quand on prend les termes constants, on obtient comme ci-dessus une fonction essentiellement bornée par

h^Q_Q

0(y)h^Q_Q

0(y⁰)

où h^Q est l’analogue de h^Q0. Mais une majoration analogue vaut pour les dérivées en y et y⁰ de notre fonction : en effet, par les procédés que l’on a déjà employés, de telles dérivées se majorent par des combinaisons linéaires d’intégrales similaires. Donc notre fonction est à croissance uniformément modérée en les deux variables y et y⁰. Quand on applique ensuite les opérateurs Λ^{T [HQ],Q}0, on obtient une fonction à décroissance rapide en les deux variables grâce à la proposition 4.3.2 (l’hypothèse φ^Q_Q

0(H − T ) = 1 assure que T [HQ] est régulier). Donc, pour tout r, l’expression (1) est essentiellement bornée par |x|^−rpour x ∈ S^L0. Il en résulte que l’intégrale inté-rieure de l’expression de la proposition est à décroissance rapide en x. La première assertion de la proposition s’ensuit. Pour la seconde assertion, on a besoin d’un ingrédient supplémentaire. Montrons qu’il existe D tel que l’on ait une majoration

(4) h^Q_Q

0(xe^H)  δQ₀(e^H)^1/2|x|D

pour tout H tel que τ_Q^Q

0(H) = 1 et pour tout x ∈ S^L0.

On ne perd rien à supposer le temps de la preuve que Q = G. On peut aussi supposer que x = e^H0(x). Posons Y = H + H0(x). Considérons l’ensemble des para-boliques standard P⁰ tels que Q0⊂ P0 et α(Y ) > 0 pour toute racine α ∈ Σ(NP0), où on désigne ainsi l’ensemble des racines intervenant dans le radical unipotent NP0

de P⁰. Remarquons que pour deux paraboliques standard P₁⁰ et P₂⁰, et en notant P0 3= P₁⁰∩ P0 2, on a Σ(NP0 3) = Σ(NP0 1) ∪ Σ(NP0 2) .

Notre ensemble de paraboliques est donc stable par intersection, il possède en consé-quence un plus petit élément que l’on note P₀⁰. Si P₀⁰ 6= Q0, soit α ∈ ∆^P

0 0

0 − ∆^Q0

0 . Le parabolique P_α⁰ tel que ∆^P

0

α

0 = ∆₀− {α} contient Q₀ mais pas P₀⁰. Il existe donc β ∈ Σ(NP0

α) tel que β(Y ) ≤ 0. On fixe un tel β que l’on décompose dans la base ∆0. Le coefficient de α est strictement positif. Puisque τQ₀(H) = 1, on a donc 0 < α(H) ≤ β(H). D’où 0 < α(H) ≤ −β H0(x)
. Cela étant vrai pour tout α ∈ ∆^P

0 0

0 − ∆^Q0

0 , on obtient une majoration

kHP₀⁰k  kH0(x)k . A fortiori

kYP₀⁰k  kH₀(x)k .

On a supposé P₀⁰ 6= Q0 mais cette majoration reste vraie si P₀⁰ = Q0, auquel cas YP₀⁰ = H0(x). Fixons v ∈ W^P0⁰ tel que α(vY ) ≥ 0 pour tout α ∈ ∆^P

0 0

α ∈ ∆0− ∆^P0⁰

0 , on a α(vY ) = (v⁻¹α)(Y ). Puisque v ∈ W^P0⁰, v⁻¹α appartient à Σ(NP0

0), donc (v⁻¹α)(Y ) > 0. On a donc α(vY ) ≥ 0 pour tout α ∈ ∆₀. On a h^G_Q 0(e^H+H0(x)) = Z N_Q0(F )\N_Q0(A) h^G(ne^Y) dn .

Pour tout n dans un ensemble de représentants de N_Q0(F )\N_Q0(A), fixons γ ∈ G(F ) tel que γneY ∈ S^G. Calculons H0(γneY). En utilisant la décomposition de Bruhat-Tits, on peut supposer que γ = ν⁰wν où w normalise le Levi minimal et ν⁰, ν ∈ NP₀(F ). Alors

H0(γne^Y) = H0(e^wYwn⁰) = wY + H0(wn⁰)

où n⁰ = e^−Yνne^Y. D’après le lemme 3.3.1, on a une majoration $ H0(wn⁰)
≤ c pour tout $ ∈ p∆0, où c est une certaine constante. On a

wY = vY + (wv⁻¹− 1)(vY ) .

Puisque vY est dans la chambre positive fermée, on a $ (wv⁻¹− 1)(vY )
≤ 0 pour tout $ ∈ p∆0. Donc $(H0(γne^Y) − vY ) ≤ c pour tout $. Il en résulte que

h^G(ne^Y)  δ_P0(γne^Y)^1/2 δ_P0(e^vY)^1/2. On a δ_P0(e^vY) = δ_P0 0(e^{(vY )}P 0 0)δ^P0⁰ P₀(e^{(vY )P 0}0 ) . On a (vY )P₀⁰ = v(YP₀⁰) et, par construction, (vY )_P0

0 = H_P0 0, donc δP0 0(e^{(vY )}P 0₀) = δP0 0(e^HP 0₀) = δQ₀(e^H)δ^P 0 0 Q₀(e^{HP 0}0 )⁻¹. On obtient h^G(ne^Y)  δQ₀(e^H)^1/2δ^P 0 0 Q0(e^{HP 0}0 )^−1/2δ^P 0 0 P0(e^{v(YP 0}0)) .

On a montré que kHP₀⁰k et kYP₀⁰k étaient essentiellement bornés par kH₀(x)k. Il en résulte que le produit des deux derniers termes ci-dessus est borné par |x|Dpour D assez grand. L’intégration en u se faisant sur un compact, (4) en résulte. Montrons que pourvu que η soit assez petit, l’hypothèse

(5) _rσ_Q^R(H − T )φ^Q_Q 0(H − T )κ^ηT(H^Q− T_Q^Q 0) = 1 implique τ_Q^P 0(H) = 1 . En effet, pour α ∈ ∆^P_Q 0− ∆^Q_Q 0

l’hypothèse _rσ_Q^R(H − T ) implique α(HQ) > α(TQ). L’hypothèse φ^Q_Q

0(H − T ) = 1 implique que HQ− T_Q^Q

0 est combinaison linéaire à coefficients négatifs ou nuls de ˇ

β pour β ∈ ∆^Q_Q

0. On a α( ˇβ) ≤ 0, donc α(HQ) ≥ α(TQ) et finalement α(H) > α(T ) > 0. Pour α ∈ ∆^Q_Q

0, il existe une constante absolue c > 0 telle que l’hypothèse κ^ηT(H^Q− T_Q^Q

0) = 1 implique

|α(H − TQ₀)| < cηα(T )

(rappelons que T reste dans un cône fixé, cf. section 12.3). D’où α(H) > α(T_Q0) − cηα(T ) ≥ (1 − cη)α(T ) .

Il suffit que cη < 1 pour que cela entraîne α(H)  α(T ) > 0. On suppose désormais r

σ_Q^R(H − T )φ^Q_Q

0(H − T )κ^ηT(H^Q− T_Q^Q

0) = 1 .

On suppose aussi η tel que la conclusion de (5) soit vérifiée. Pour simplifier, notons

Λ l’opérateur Λ^{T [HQ],Q}0 et C l’opérateur qui multiplie une fonction sur

YQ₀' Q0(F )\G(A)¹ par la fonction x 7→ F^Q0

P0 (x, T [H^Q]) .

L’intégrale intérieure de l’expression de l’énoncé se majore par la somme de deux intégrales analogues où on remplace Λ soit par Λ − C, soit par C. Notons

IΛ−C(x, H) et IC(x, H)

ces deux intégrales. Commençons par majorer la première. De nouveau, on doit majorer (2) et l’analogue, disons (1⁰), de (1) où Λ est remplacé par Λ − C. Il résulte de (4) (appliqué à Q⁰ : l’hypothèse τ_Q^Q0

0(H) = 1 est satisfaite) que (2) est essen-tiellement majoré par δQ₀(eH)|x|D pour un D assez grand. On a une majoration analogue pour la fonction déduite de (3) par passage aux termes constants. Comme on l’a expliqué, on l’a même pour ses dérivées, avec des constantes implicites dé-pendant de la dérivation mais un D uniforme. En appliquant la proposition 4.3.3, on voit que (1⁰) est essentiellement majoré par

δQ₀(e^H)e^−rdL0P0∩L0^{(T [H} Q])

|x|^−r

pour n’importe quel r. On a déjà observé (juste avant le lemme 4.2.2) que T [H^Q] était « plus régulier » que T , donc

dP0(T )  d^L0

P₀∩L₀(T [H^Q]) . Il en résulte une majoration

IΛ−C(x, H)  δQ₀(e^H)e^−rdP0^{(T )}|x|^−r pour tout r, puis

(6)

Z

L₀(F )\L₀(A)1

IΛ−C(x, H) dx  δQ₀(e^H)e^−rdP0^{(T )}.

Majorons maintenant IC(x, H). L’opérateur Λ n’intervient plus. Le procédé de la preuve de la proposition 12.2.3 nous conduit à majorer (2) et une intégrale analogue où Q remplace Q⁰, mais sous les restrictions

r

σ_Q^R(H − T )φ^Q_Q

0(H − T )κ^ηT(H^Q− T_Q^Q

0) = 1 et F^Q0

P0(x, T [HQ]) = 1. On peut aussi supposer x ∈ S^L0. Montrons que : – il existe c ∈ R tel que

(7) α H + H₀(x)
≥ c pour tout α ∈ ∆^Q0

0 ; – si η est assez petit, il existe c⁰> 0 tel que

(8) α H + H0(x)
≥ c0dP₀(T ) pour tout α ∈ ∆^P₀ − ∆^Q0

0 . Pour α ∈ ∆^Q0

0 , c’est clair puisque x ∈ S^L0. Soit α ∈ ∆^P₀ − ∆^Q0

0 . L’hypothèse F^Q0

P0 (x, T [HQ]) = 1 entraîne que H₀(x) − T [HQ] est combinaison linéaire à coeffi-cients négatifs ou nuls de ˇβ pour β ∈ ∆^Q0

0 . On a α( ˇβ) ≥ 0, donc α H₀(x)
≥ α(T [HQ

et on est ramené à considérer α(H + T [H^Q]). Ecrivons T_Q^Q 0− H^Q= ^X β∈∆^Q₀−∆^Q0₀ xβ_βˇ_Q 0

avec des xβ≥ 0 (c’est l’hypohèse φ^Q_Q

0(H − T ) = 1). D’après le lemme 4.2.1 on a T [H^Q] = T^Q0− ^X β∈∆^Q₀−∆^Q0₀ x_ββ^ˇQ0 . Il en résulte que H + T [H^Q] = HQ+ T^Q− ^X β∈∆^Q₀−∆^Q0₀ xβ_{β = H}ˇ _Q− TQ+ T − ^X β∈∆^Q₀−∆^Q0₀ xβ_{β .}ˇ Si α ∈ ∆P

0 − ∆^Q₀, les α( ˇβ) sont négatifs ou nuls et α(HQ− TQ) > 0 par l’hypothèse r σR Q(H − T ) = 1. Donc α(H + T [H^Q]) ≥ α(T ) ≥ d_P0(T ) . Supposons enfin α ∈ ∆^Q₀ − ∆^Q0 0 . Alors α(H + T [H^Q]) = α(T ) − ^X β∈∆^Q₀−∆^Q0₀ xβα( ˇβ)

et il existe une constante absolue c1> 0 telle que α(H + T [H^Q]) ≥ dP₀(T ) − c1 sup

β∈∆^Q₀−∆^Q0₀

xβ .

Il existe une constante absolue c2 > 0 telle que la condition κηT(HQ− T_Q^Q

0) = 1 implique sup β∈∆^Q₀−∆^Q0₀ xβ≤ c2ηdP₀(T ) . Donc α(H + T [H^Q]) ≥ (1 − c₁c₂η)dP₀(T ) .

Si c1c2η < 1, la conclusion de (7) est vérifiée. En conséquence de (8), les éléments H^Q+ H0(x)^Q et H^Q0+ H0(x)^Q0

restent dans des domaines de Siegel relatifs à Q et Q⁰(éventuellement plus gros que ceux que l’on a fixés, mais peu importe). On a alors une majoration

h^Q0(nxe^H)  δP₀(e^H+H0(x))^1/2 pour tout u ∈ NQ0(A) d’où

h^Q_Q⁰

0(xe^H)  δP₀(e^H+H0(x))^1/2.

Donc (2) est essentiellement majoré par δ_P0(eH+H0(x)). Il en est de même de l’ana-logue de (2) relatif au parabolique Q et donc aussi de IC(x, H). Alors

Z L₀(F )\L₀(A)1 IC(x, H) dx  δQ₀(e^H) Z L₀(F )\L₀(A)1 F^Q0 P₀(x, T [H^Q])δP₀(x) dx . On majore la dernière intégrale en se limitant à un domaine de Siegel et en écrivant x = vak, avec v dans un compact de (P₀∩ L0)(A), a ∈ A^L0(t) et k ∈ K ∩ L0(A) . Comme on sait, la décomposition des mesures introduit un δP0(a)⁻¹. L’intégrale

Dans le document La formule des traces tordue d'après le Friday Morning Seminar (Page 194-200)