Géométrie et groupe de Weyl

α ∈ ∆P qui est la projection de α ∈ ∆P₀. Soit X ∈ a0 régulier. On a ¯

α(X) ≥ α(X) ≥ dP₀(X) .

Preuve. C’est une conséquence immédiate du lemme 1.2.9. 

1.3. Géométrie et groupe de Weyl

Le quotient du normalisateur de M0 dans G par M0 est le groupe de Weyl de G et sera noté W^G ou simplement W. Si P est un sous-groupe parabolique (semi-standard) de sous groupe de Levi M on notera souvent W^P au lieu de W^M le groupe de Weyl de M . On notera `(s) la longueur de s ∈ W.

Soit s ∈ W ; on définit un sous-ensemble de R par R(s) = {β ∈ R | β > 0 et s(β) < 0} . Plus généralement, pour s et t dans W on pose

R(s, t) = {β ∈ R | t(β) > 0 et s(β) < 0} . On remarquera que β 7→ tβ induit une bijection R(s, t) → R(st⁻¹).

Lemme 1.3.1. Considérons s = sαu avec `(s) = `(u) + 1 où sαest la symétrie définie par rapport à la racine simple α ; alors

R(s) = R(u) ∪ {γ}

avec γ = u⁻¹(α) ; en particulier le cardinal de R(s) est la longueur de s. Plus généralement, posons v = st⁻¹ et supposons que v = sαw avec `(v) = `(w) + 1 où sα est la symétrie définie par rapport à une racine simple α. Posons, comme ci-dessus, u = s⁻¹_α s et γ = u⁻¹α alors

R(s, t) = R(u, t) ∪ {γ} .

Preuve. La première assertion est un résultat classique que l’on trouve par exemple dans [18, Chapitre VI, §1, no6, Corollaire 2, p. 158]. Pour le cas général on invoque les bijections R(u, t) → R(w) et R(s, t) → R(v) induites par β 7→ tβ

puis on remarque que t(u⁻¹α) = w⁻¹α. 

Lemme 1.3.2. Soit P = M N un sous-groupe parabolique standard et soit

s ∈ W. Supposons que les racines β ∈ R(s) sont combinaison de racines simples α ∈ ∆^P_P0 alors s appartient à W^P.

Preuve. Cette assertion s’obtient par récurrence sur la longueur de s. C’est clair pour `(s) = 0. Maintenant supposons que s = sαt avec `(s) = `(t) + 1 où sα

est la symétrie définie par rapport à la racine simple α. On a vu au lemme 1.3.1 que

avec γ = t⁻¹(α). Par hypothèse de récurrence t appartient au groupe de Weyl de M , le sous-groupe de Levi de P . Comme γ ne fait intervenir que des racines simples dans ∆^P_P0 et comme

α = t(γ) on a α ∈ ∆P

P₀. Donc sα appartient aussi au groupe de Weyl de M ainsi que s =

sαt. 

Les lemmes suivants sont également classiques mais leur démonstration est souvent laissée en exercice³. Faute de référence commode, nous en donnons des preuves pour le confort du lecteur.

Lemme 1.3.3. Soit P un sous-groupe parabolique standard. Toute classe dans W/W^P possède un unique représentant s de longueur minimale et, pour tout t ∈

W^P, on a

`(st) = `(s) + `(t) .

Preuve. Soit s un élément de longueur minimale dans sa classe et soit t ∈ W^P. Considérons des décompositions réduites de s et t :

s = s₁· · · s_p et t = t₁· · · t_q .

Alors ou bien `(st) = p + q ou bien il existe un plus petit indice 0 ≤ r < q tel que `(s t1· · · tr) = p + r

et

`(st₁· · · t_r+1) = p + r − 1 .

Il résulte alors de la « condition d’échange » (cf. [18, Chapitre IV, § 1, Proposition 4, p. 15]) que l’on a soit⁴

s t1· · · tr+1= s t1· · · ˆti· · · tr

ce qui est impossible puisque t₁· · · t_r+1 est une décomposition réduite, soit s t1· · · tr+1= s1· · · ˆsi· · · spt1· · · tr

ce qui contredit la minimalité de la longueur de s dans sa classe. 

Le lemme 1.3.3 admet la généralisation suivante :

Lemme 1.3.4. Soit P et Q deux sous-groupes paraboliques standard. Toute

classe dans W^P\W/WQ possède un unique représentant de longueur minimale. Preuve. Soient s et σ deux éléments de longueur minimale dans la même classe. On a donc σ = ust avec u ∈ WP et t ∈ WQ et supposons de plus que t et u sont choisis de sorte que q = `(t) soit minimal. Considérons des décompositions réduites de s, t et u :

s = s1· · · sp, t = t1· · · tq et u = ur· · · u1. Comme s est minimal dans sa double classe il résulte du lemme 1.3.3 que

`(st) = `(s) + `(t) = p + q . Si nous supposons r ≥ 1, il existe un indice k < r tel que

`(uk· · · u1st) = p + q + k

3. Cf. par exemple [18, Chapitre IV, §1, Exercice 3, p. 37] 4. Dans ce qui suit la notation ˆtisignifie que tiest omis.

et

`(u<sub>k+1</sub>· · · u<sub>1</sub>st) = `(u_k· · · u₁st) − 1 .

Il résulte alors de la « condition d’échange » que, puisque uk+1· · · u1 est une dé-composition réduite, alors on a

uk+1· · · u1st = uk· · · u1s⁰t⁰ avec soit

s⁰t⁰= s⁰t = s1· · · ˆsi· · · spt

ce qui contredit la minimalité de la longueur de s dans sa classe, soit, q ≥ 1 et s⁰t⁰= s t⁰= s t₁· · · ˆt_i· · · t_q

et donc si on pose

u⁰= ur· · · ˆuk+1· · · u1

on aura

σ = ust = u⁰st⁰

avec `(t<sup>0</sup>) = `(t) − 1 ce qui contredit la minimalité de q. On a donc r = 0 et comme

`(σ) = `(s) on aura aussi q = 0 et σ = s. 

Lemme 1.3.5. Soit P un sous-groupe parabolique standard. Tout s ∈ W/W^P

admet un unique représentant, encore noté s, dans W satisfaisant l’une des condi-tions équivalentes suivantes :

(i) s est de longueur minimale dans sa classe à gauche modulo WP; (ii) sα > 0 pour toute α ∈ ∆P

P₀.

Preuve.⁵ D’après le lemme 1.3.3, dans toute classe à gauche modulo W^P il existe un unique élément s ∈ W de longueur minimum et la longueur de s est le nombre de racines β positives, appartenant au système de racines réduit R, telles que s(β) soit négatif (cf. lemme 1.3.1). Considérons cet élément s et supposons qu’il existe une racine α ∈ ∆P

P₀ avec sα < 0 ; comme la symétrie s_α, relative à cette racine simple, ne change pas le signe des racines positives autres que α on en déduit que

`(ssα) = `(s) − 1

ce qui contredit la minimalité de `(s). La condition (i) implique donc (ii). Mainte-nant on observe que, puisque WP agit trivialement sur a_P, le signe de t(β) pour β ∈ R est indépendant de t ∈ WP si la projection de β sur aP est non nulle. La condition (ii), lorsqu’elle est réalisée, permet donc de minimiser la longueur

de s. 

Soient P et Q deux sous-groupes paraboliques (semi-standard). On note

W(aP, aQ) l’ensemble des restrictions à aP des s ∈ W tels que

s(aP) = aQ.

C’est un sous-ensemble de W/W^P . On dit que deux sous-groupes paraboliques standard P et Q sont associés si W(aP, aQ) est non vide.

Lemme 1.3.6. Supposons P et Q standard. Tout s ∈ W(aP, aQ) admet un unique représentant, encore noté s, dans W satisfaisant l’une des conditions équi-valentes suivantes :

(i) s est de longueur minimale dans sa classe à gauche modulo W^P; (ii) s est de longueur minimale dans sa classe à droite modulo W^Q; (iii) sα > 0 pour toute α ∈ ∆P

P₀; (iv) s⁻¹α > 0 pour toute α ∈ ∆^Q_P

0; (v) s(∆^P_P0) = ∆^Q_P

0.

Preuve. L’équivalence de (i) et (ii) est claire. L’existence de s et l’équivalence de (i) et (iii) est l’objet du lemme 1.3.5. L’équivalence de (ii) et (iv) se démontre de même en changeant s en s⁻¹. La condition (iii) nous dit que s(∆P

P₀), qui est une base pour le système de racines du sous-groupe de Levi MQ de Q, est formé de racines positives ; c’est donc ∆^Q_P

0. Donc (iii) implique (v). Maintenant (v) implique

évidemment (iii) et (iv). 

Soient maintenant P et R deux sous-groupes paraboliques (semi-standard). On note

W(aP, R) l’ensemble des doubles classes dans

W^R\W/WP

formées d’éléments s ∈ W tels que s(aP) ⊃ aR. Le lemme 1.3.6 admet la générali-sation suivante (cf. [29, assertion (3), p. 93]) :⁶

Lemme 1.3.7. Si P et R sont standard, l’ensemble W(aP, R) est en bijection avec l’ensemble des s ∈ W tels que

(i) s(aP) ⊃ aR;

(ii) s⁻¹α > 0 pour toute α ∈ ∆^R_P0. Pour un tel s on a

s(∆^P_P0) = ∆^Q_P

0 ⊂ ∆R P0

où Q est un sous-groupe parabolique standard dans R. L’ensemble W(aP, R) est en bijection avec l’union disjointe des quotients

W^R(aQ, aQ)\W(aP, aQ)

où Q parcourt les sous-groupes paraboliques standard dans R, modulo M_R -associa-tion.

Preuve. La condition s(aP) ⊃ a_R équivaut à dire que le sous-groupe de Levi MR de R contient s(M ). L’ensemble W(aP, R) est donc formé de doubles classes d’éléments s tels que

s(W^P) ⊂ W^R.

C’est donc aussi le sous-ensemble des classes dans WR\WGd’éléments vérifiant (i). Maintenant, d’après le lemme 1.3.5, tout élément de W(a_P, R) admet un unique représentant vérifiant (ii), à savoir l’élément de longueur minimale dans sa classe. Avec ce choix de s l’ensemble de racines s⁻¹(∆R

P₀) est une base du système de

racines de s⁻¹(MR) formé de racines positives pour l’ordre induit par l’ordre sur les racines de G. L’ensemble ∆^P_P0est inclus dans l’ensemble des racines de s⁻¹(MR). Comme les racines dans ∆P

P₀ sont des racines simples (pour G) elles sont a fortiori simples dans le système de racines de s⁻¹(MR) avec l’ordre induit et donc

∆^P_P0 ⊂ s⁻¹(∆^R_P0) ce qui équivaut à s(∆^P_P 0) ⊂ ∆^R_P 0 . Donc s(∆P

P₀) est une base pour les racines d’un sous-groupe de Levi standard Q.

La dernière assertion en résulte.