Sous-groupes paraboliques et bases de racines

On suppose désormais G réductif. On dispose des racines attachées au couple (M₀, G). Ce sont des formes linéaires sur a₀ nulles sur aG. L’ensemble de leurs restrictions à aG

0 est un système de racines, non réduit en général. On a choisi un sous-groupe parabolique minimal P0; on dispose donc de la notion de racines positives et d’une base de racines simples notée ∆G

P₀. On notera RG le système de racines réduit formé des racines β telles que β/2 ne soit pas une racine. On écrira souvent R pour RG. C’est le système de racines réduit admettant ∆G

P₀ comme base. Si P est standard de sous-groupe de Levi M , on notera ∆P

P₀ la base des racines simples pour le couple (M0, M ). C’est une base du dual de aP

0 = a^M₀ . On considèrera les éléments de ∆^P_P0 comme des formes linéaires sur a0 ou a^P₀ suivant les besoins.

En particulier on peut voir ∆^P_P0 comme un sous-ensemble de ∆^G_P0. La combinatoire utilisera de façon systématique le fait bien connu suivant :

Lemme 1.2.1. L’application

P 7→ ∆^P_P

0

est une bijection entre l’ensemble des sous-groupes paraboliques standard de G et l’ensemble des parties de ∆G

P₀.

On dispose également de la base des coracines ˇ∆P

P₀ dans aP

0 ; on notera p∆P P₀ la base duale de la base des coracines. Lorsque le groupe est déployé p∆G

P₀est l’ensemble des poids dominants fondamentaux du groupe dérivé. De plus, p∆P

P₀ est l’ensemble des restrictions non nulles des $ ∈ p∆G

P0 au sous-espace aP

0. Plus généralement, soient P ⊂ Q deux sous-groupes paraboliques standard. On note ∆^Q_P l’ensemble des restrictions non nulles des éléments de ∆^Q_P

0 au sous-espace aP. Cet ensemble de formes linéaires est une base du dual (a^Q_P)^∗ de a^Q_P et aQ s’identifie avec le sous-espace de aP intersection des noyaux des α ∈ ∆^Q_P. On prendra garde toutefois qu’en général ∆^Q_P n’est pas la base d’un système de racines. On notera p∆^Q_P le sous ensemble des $ ∈ p∆^Q_P

0 nuls sur aP

0. On prolonge les éléments de ∆^Q_P et p∆^Q_P en des formes linéaires sur a0en les composant avec la projection

a0→ a^Q_P . On écrira parfois ∆P pour ∆G

P ainsi que p∆P pour p∆G

P. On observera que les bases ∆^Q_P et p∆^Q_P sont indépendantes du choix du sous-groupe parabolique mini-mal P0⊂ P . On peut donc définir de telles bases pour toute paire de sous-groupes paraboliques P ⊂ Q sans les supposer standard.

Lemme 1.2.2. Si P ⊂ Q ⊂ R sont trois sous-groupes paraboliques, alors on a

les inclusions

∆^Q_P ⊂ ∆R

P et ∆p^R_Q⊂ p∆^R_P et il existe un sous-groupe parabolique S tel que P ⊂ S ⊂ R et

∆^S_P = ∆^R_P− ∆^Q_P et ∆p^R_S = p∆^R_P− p∆^R_Q.

Preuve. La première assertion est claire ; la seconde résulte du lemme 1.2.1. 

Lemme 1.2.3. Soient P ⊂ R deux sous-groupes paraboliques.

X P ⊂Q⊂R (−1)^aP−aQ = ( 1 si P = R, 0 sinon.

Preuve. Il suffit d’observer que d’après le lemme 1.2.1 la famille des groupes paraboliques Q entre P et R est en bijection avec la famille des sous-ensembles de ∆R

P puis d’invoquer la formule du binôme. 

On observera que si on identifie a^Q_P et son dual au moyen de la structure eu-clidienne canonique, les éléments de p∆^Q_P sont colinéaires aux éléments de la base duale de la base ∆^Q_P et plus précisément ne diffèrent que par des scalaires rationnels strictement positifs. Dans la combinatoire des cônes, les longueurs des vecteurs des

bases ne jouent aucun rôle ; seuls les angles importent. On pourrait donc remplacer partout les p∆^Q_P par la base duale de ∆^Q_P, mais il reste commode de penser aux éléments de p∆^Q_P comme des restrictions de poids.

Les angles seront contrôlés via les deux lemmes bien connus ci-dessous. Ils sont au cœur de la combinatoire qui commande toute la suite.

Lemme 1.2.4. Considérons un espace vectoriel euclidien V de dimension finie,

muni d’une base obtuse ∆ c’est-à-dire que pour α 6= β dans ∆ hα, βi ≤ 0 .

Soit ∆1 une partie de ∆. On note ∆₁ la projection de ∆ − ∆1 sur l’orthogonal V₁ de ∆1. Alors ∆₁ est une base obtuse de V₁.

Preuve. Considérons trois vecteurs distincts α, β et γ appartenant à ∆. La projection ¯α de α sur l’orthogonal de γ s’écrit :

¯

α = α − cαγ avec cα=hα, γi hγ, γi ^. Mais, si ¯β est la projection de β sur l’orthogonal de γ on a

hβ, γi = h ¯β, γi et donc

h ¯α, ¯βi = hα, βi − hα, γihβ, γi

hγ, γi ^{≤ hα, βi ≤ 0 .}

Le lemme résulte de cette remarque par récurrence sur le cardinal de ∆1. 

Lemme 1.2.5. Considérons un espace vectoriel euclidien V de dimension finie,

muni d’une base obtuse ∆. Alors la base duale p∆ est une base aigüe¹de V : le produit scalaire h$, $⁰i est positif ou nul pour tout $ et $0 dans p∆.

Preuve. Soient $ et $^{0 deux vecteurs distincts dans la base duale p∆. On} désigne par α et α⁰ les éléments de ∆ correspondant à $ et $⁰. Notons ∆1 le complémentaire de {α, α⁰} dans ∆ et V1 l’orthogonal de ∆1. On observe que $ et $⁰ forment une base de V1. Notons enfin ¯α et ¯α⁰ les projections de α et α⁰ sur V1. D’après le lemme 1.2.4 l’ensemble { ¯α, ¯α⁰} est une base obtuse de V1. Comme c’est la base duale de la base {$, $⁰}, on est ramené à prouver le lemme en dimension 2,

ce qui est élémentaire. 

Lemme 1.2.6.² L’ensemble ∆^Q_P est une base obtuse du dual de a^Q_P et la base duale p∆^Q_P est aigüe.

Preuve. Supposons que P ⊂ Q sont deux sous-groupes paraboliques standard. On sait que ∆^Q_P

0 est une base obtuse du dual de a^Q₀ pour la structure euclidienne induite par la forme de Killing. Il résulte alors du lemme 1.2.4 que ∆^Q_P, qui est la projection de ∆^Q_P

0− ∆P

P₀ sur l’orthogonal a^∗_P de a^P_P

0 est aussi obtuse. De même la base des coracines est obtuse. Maintenant le dual d’une base obtuse est une base

aigüe d’après le lemme 1.2.5. 

1. Le rédacteur principal a choisi d’écrire aigüe plutôt que aiguë (nonobstant la préférence du second rédacteur pour cette graphie traditionnelle), suivant en cela les récentes recommandations du Conseil supérieur de la langue française.

Lemme 1.2.7. On suppose que P ⊂ Q sont deux sous-groupes paraboliques

standard et on considère H ∈ a0 tel que

α(H) > 0 ∀α ∈ ∆^Q_P et $(H) ≤ 0 ∀$ ∈ p∆^P_P0 . Alors

γ(H) > 0 ∀γ ∈ ∆^Q_P

0− ∆P P0 .

Preuve. Par hypothèse, si on note HQ la projection de H sur aQ, on a

H = ^X $∈ p∆^Q_P a$$^∨+ ^X β∈ p∆P P0 bββ^∨+ HQ

avec a$ > 0 et bβ ≤ 0. Mais, pour γ ∈ ∆^Q_P

0 − ∆P

P₀ on a γ(β^∨) ≤ 0 d’après le lemme 1.2.6. Il reste à observer que γ(HQ) = 0 et que puisque γ /∈ ∆P

P₀ alors γ($^∨) = 1 pour l’un des

$ ∈ p∆^Q_P ⊂ p∆^Q_P

0

alors que γ($^∨) = 0 pour tous les autres $^∨. 

Lemme 1.2.8. Soit P et Q deux sous-groupes paraboliques. Si α(X) > 0 pour

tout α ∈ ∆^Q_P on a

$(X) > 0 pour tout $ ∈ p∆^Q_P . Preuve. Il suffit de montrer que tout $ ∈ p∆^Q_P peut s’écrire

$ = ^X

α∈∆^Q_P

cαα avec cα≥ 0 pour tout α ∈ ∆^Q_P .

Ceci résulte de ce que ∆^Q_P et p∆^Q_P sont deux bases de a^Q_P et de ce que, pour tout α ∈ ∆^Q_P, si $^∨_α est l’élément de la base duale correspondant à α, alors

cα= $($^∨_α) ≥ 0

car, d’après le lemme 1.2.6, $^∨_α appartient à une base aigüe. 

Lemme 1.2.9. Soient P ⊂ Q ⊂ R trois sous-groupes paraboliques. Supposons

α(X) > 0 pour tout α ∈ ∆R P. Considérons ¯α ∈ ∆R Q projection de α ∈ ∆R P sur aR Q. Alors ¯ α(X) ≥ α(X) > 0 . Preuve. On peut écrire ¯α sous la forme

¯

α = α + ^X

β∈∆^Q_P

c_β$_β avec $β∈ p∆^Q_P

et on doit avoir hβ, ¯αi = 0 pour β ∈ ∆^Q_P. Mais hβ, ¯αi = hα, βi + c_β= 0 implique cβ≥ 0 puisque ∆R

P est obtuse. On en déduit, compte tenu du lemme 1.2.8, que

¯

α(X) = α(X) + ^X

β∈∆^Q_P

Un élément X ∈ a0 sera dit « positif régulier » ou simplement « régulier » si α(X) > 0 ∀α ∈ ∆G

P₀.

Nous utiliserons aussi la variante suivante : on introduit le nombre

dP₀(X) = inf

α∈∆_P0α(X) . Alors, X est régulier si dP0(X) > 0.

Lemme 1.2.10. Soit P un sous-groupe parabolique standard et considérons

¯

α ∈ ∆P qui est la projection de α ∈ ∆P₀. Soit X ∈ a0 régulier. On a ¯

α(X) ≥ α(X) ≥ dP₀(X) .

Preuve. C’est une conséquence immédiate du lemme 1.2.9.