La formule de départ

Soit Q un sous-groupe parabolique de G. On rappelle que l’on a posé Q⁰= θ⁻¹₀ (Q), Q0= Q ∩ Q⁰ et YQ₀ = AGQ0(F )\G(A) .

Si S ⊂ Q⁰ est un sous-groupe parabolique on note nQ⁰(S) le nombre de chambres dans a^Q_S⁰. Soit maintenant χ une donnée cuspidale. On reprend les notations de la section 7.3 ; en particulier on note

BQ⁰ χ (σ)

une base formée de vecteurs K-finis de type χ dans la composante isotypique A(X_Q0, σ).

Proposition 12.1.1. Le polynôme J_χ^T(f, ω), introduit au théorème 11.1.1, ad-met la décomposition spectrale suivante :

J_χ^T(f, ω) = ^X {Q,R|P0⊂Q⊂R} r η(Q, R) Z Y_Q0^r σ^R_Q(HQ(x) − T ) × ^X {S|P0⊂S⊂Q0} 1 nQ0 (S) X σ∈Π_disc(M_S) X Φ∈B^Q0_χ (σ) Z i(aG S)∗ Λ^{T ,Q}E^Q(x,_rρ_S,σ,µ (f, ω)Φ, θ0µ
× EQ0 (x, Φ, µ) dµ ! dx pourvu que dP₀(T ) ≥ c(f ).¹

Preuve. D’après le théorème 11.1.1 le polynôme Jχ^T(f, ω) admet l’expression suivante pour T assez régulier :

J_χ^T(f, ω) = Z

X_G

k_χ^T(f, ω; x) dx soit encore, suivant le théorème 10.3.4,

J_χ^T(f, ω) = ^X

{Q,R|P0⊂Q⊂R}

r

η(Q, R) A^R_Q(T, f, ω, χ)

1. On observera que l’on n’affirme pas la convergence absolue de l’intégrale multiple mais simplement la convergence des sommations itérées dans l’ordre indiqué. Un meilleur contrôle de la convergence est l’objet de la section 12.3.

où

A^R_Q(T, f, ω, χ) = Z

Y_Q0^r

σ_Q^R(H0(x) − T )Λ^{T ,Q}₁ KQ,δ₀,χ(x, x) dx . Ici K_Q,δ0,χ est la restriction du noyau K_Q,δ0 à L2

χ(X_Q0,G). La décomposition spec-trale (cf. proposition 7.3.1) fournit pour le noyau KQ,δ₀,χune expression de la forme suivante : KQ,δ₀,χ(x, y) = ^X M ∈LQ0/WQ0 1 wQ0 (M ) X σ∈Πdisc(M )χ Z i(aG M)∗ KQ,Q0,σ(x, y; µ) dµ avec K_Q,Q0,σ(x, y; µ) = ^X Φ∈B^Q0_χ (σ) E^Q(x,_rρ_S,σ,µ(f, ω)Φ, θ0µ)EQ0 (y, Φ, −µ) . 

On remarquera que puisque l’ensemble BQ⁰

χ (σ) est une base de vecteurs K-finis de type χ dans la composante isotypique A(XQ0, σ) et que f est supposée K-finie, la somme sur Φ est une somme finie : en effet il n’y a qu’un nombre fini de Φ pour lesquels

r

ρ_S,σ,µ(f, ω)Φ 6= 0 .

De plus, les résultats de Langlands sur la décomposition spectrale montrent de plus qu’il n’y a qu’un nombre fini de σ pour lesquels B_χ^Q0(σ) est non vide.

On aura besoin d’une variante de cette proposition faisant intervenir les mul-tiplicateurs d’Arthur, imitant en cela les sections 3 et 4 de [5] dont on rappelle brièvement le contenu. On considère le groupe de Lie G∞= G(F ⊗ R). Considérons

h = ihK⊕ h₀

où hK est une sous-algèbre de Cartan du sous-groupe compact maximal K∞ et h0 l’algèbre de Lie d’un tore déployé maximal de G∞. En particulier h_C est une sous-algèbre de Cartan pour g_C. On notera W_C le groupe de Weyl complexe de G∞ et w_C son ordre. On dispose de la théorie des multiplicateurs d’Arthur ce qui permet de construire des fonctions fX∈ C∞

c G(A)
pour X ∈ h vérifiant

π(f_X) = e^νπ(X)π(f ) = ¹ w_C

X

s∈W_C

e^hνπ,s⁻¹Xiπ(f )

pour toute représentation admissible irréductible π et où νπ est le caractère infini-tésimal de π∞. On considère ici νπ soit comme une forme linéaire W_C-invariante sur h soit comme un élément de h^∗⊗ C. L’extension au cas tordu est immédiate. En particulier on a r ρ_S,σ,µ(fX, ω) = ¹ w_C X s∈W_C e^hνσ+µ,s⁻¹Xi r ρ_S,σ,µ(f, ω) .

Corollaire 12.1.2. Pour tout X ∈ h, si d_P0(T ) ≥ c(f )(1 + kXk) on a p^T_χ(X) = J_χ^T(fX, ω) = ^X

{Q,R|P0⊂Q⊂R}

r

et J_χ^T(f_X, ω) = ^X {Q,R|P0⊂Q⊂R} r η(Q, R) Z Y_Q0 r σ^R_Q(HQ(x) − T ) × ^X {S|P0⊂S⊂Q0} 1 nQ0 (S) X σ∈Π_disc(M_S) X Φ∈B^Q0_χ (σ) Z i(aG S)∗ Λ^{T ,Q}E^Q(x,ρ_rS,σ,µ(fX, ω)Φ, θ0µ) × EQ0 (x, Φ, µ) dµ ! dx .

Preuve. Ceci résulte de la proposition 12.1.1 compte tenu de la dépendance en X du support de fX. On renvoie le lecteur à [5, Proposition 3.1] pour un énoncé

précis de cette dépendance. 

12.2. Estimations

Dans cette section on établit des raffinements des estimées 6.2.1 et 7.3.1.

Lemme 12.2.1. Soit h une fonction à support compact sur G(A), à valeurs ≥

0. Alors il existe c > 0 tel que X γ∈G(F ) Z AG h(x⁻¹zγy) dz ≤ cδP₀(x)^1/2δP₀(y)^1/2 pour tous x, y ∈ S^G.

Preuve. Soit h une fonction à support compact sur G(A), à valeurs ≥ 0, et soit x, y ∈ S^G. On veut évaluer

X

γ∈G(F )

Z

AG

h(x⁻¹zγy) dz .

Il suffit d’évaluer le nombre de γ tel que x⁻¹γy ∈ Ω, où Ω est l’intersection du support de h avec G(A)¹. Cet ensemble Ω est compact. D’après le lemme 3.5.5

H0(x) − H0(y)

appartient à un compact. Quitte à agrandir Ω, on peut donc supposer x = y. Fixons un élément régulier T1et utilisons la partition 3.6.3 : il existe un unique parabolique standard R tel que

(∗) F_P^R

0(x, T₁)τ_R(H₀(x) − T₁) = 1 .

Si x⁻¹γx ∈ Ω, on a γx ∈ xΩ et quitte à agrandir encore Ω, on peut supposer x ∈ A₀(t). On a donc

τ_R(H0(γx) − T2) = 1

pour un T2∈ T1+ H0(Ω). En prenant T1 assez grand, le lemme 3.6.1 implique que γ ∈ R(F ). On a déjà supposé x ∈ A0(t), on peut écrire x = e^H avec H ∈ a0. La condition (∗) entraîne que H^R reste dans un compact. La condition x⁻¹γx ∈ Ω entraîne donc

où Ω⁰ est un compact plus gros. En notant MRle Levi standard de R, on est ramené à évaluer le nombre de

(δ, η) ∈ MR(F ) × NR(F )

tels que x⁻¹δηx ∈ Ω. Puisque e^HR commute à δ, cela entraîne que δ reste dans un compact indépendant de e^HR. Ces δ sont en nombre fini et on est ramené à évaluer le nombre de η ∈ NR(F ) tels que x⁻¹ηx ∈ C, où C est un sous-ensemble compact de N_R(A). Par l’exponentielle, on descend à l’algèbre de Lie nR et on doit évaluer le nombre de X ∈ n_R(F ) tels que ad(x)⁻¹(X) ∈ C, où C est un sous-ensemble compact de n_R(A). On peut majorer la fonction caractéristique de C par une fonction ψ ∈ C^∞ n_R(A)
à valeurs positives ou nulles. Notre nombre d’éléments est majoré par

X

X∈nR(F )

ψ ad(x)⁻¹(X)
.

On utilise la formule de Poisson, en identifiant le dual de nRà l’algèbre opposée n_R¯. La transformée de Fourier de ψ ◦ ad(x)⁻¹ est δR(x) ˆψ ◦ ad(x)−1. La somme ci-dessus est égale à

δR(x) ^X

X∈n_R¯(F )

p

ψ ad(x)⁻¹(X)
.

Puisque x ∈ A₀(t), ad(x)⁻¹ dilate n_R¯ et la dernière série est bornée indépendam-ment de x. On obtient une majoration par δ_R(x). Puisque FR

P0(x, T₁) = 1, ce terme est lui-même essentiellement borné ²par δP₀(x). Enfin, puisque xy⁻¹reste dans un compact, ce dernier terme est essentiellement borné par δ_P0(x)1/2δ_P0(y)1/2. 

On rappelle que (aG

S)^∗ est naturellement un sous-espace de h^∗ (avec h comme dans la section 12.1). Notons h^S,∗son orthogonal. À la représentation σ est associé un paramètre λ(σ) ∈ (h^S_C)^∗.

Lemme 12.2.2. Soit ϕ une fonction de Paley-Wiener sur (a^G_S,C)^∗. Alors il existe une fonction φ sur h^∗_Cvérifiant les conditions suivantes :

(i) φ est de Paley-Wiener ; (ii) φ est invariante par W_C; (iii) pour tout µ ∈ i(aG

S)^∗, φ(λ(σ) + µ) ≥ |ϕ(µ)|2.

Preuve. On choisit une fonction de Paley-Wiener ϕ^{S sur (hS}_C^{)∗ telle que} ϕ^S λ(σ)
= 1 .

On définit une fonction φ1 sur h^∗_Cpar

φ1(ν) = ϕ(νS)ϕ^S(ν^S)

pour ν ∈ h^∗_C, où νS et νS sont les projections orthogonales de ν sur (aG

S,C)^∗et (hS

C)^∗. Décomposons λ(σ) en ses parties réelles et imaginaires : λ(σ) = X(σ) + iY (σ). Notons W⁰ ⊂ W_Cle fixateur de X(σ) dans W_C. Pour w /∈ W0, on a

w⁻¹ X(σ)
S

6= X(σ) (sinon, par comparaison des normes, on a

w⁻¹ X(σ)
= w−1 X(σ)
S

= X(σ)

2. « essentiellement borné » signifie pour nous qu’il existe c tel que le terme soit majoré par

et w ∈ W⁰). On peut donc choisir βw ∈ hS tel que βw  w⁻¹ X(σ)
^ 6= βw X(σ)
. Définissons φ2 par φ₂(ν) = φ₁(ν) ^Y w /∈W0  β_w w⁻¹(ν)
− βw λ(σ)
^ , puis φ₃par φ₃(ν) = φ₂(ν)φ₂ −¯ν + 2X(σ)
, enfin φ par φ(ν) = ^X w∈W_C φ₃ w(ν)
.

Cette fonction vérifie évidemment les deux premières conditions de l’énoncé. Véri-fions la dernière, soit donc ν = λ(σ) + µ, avec µ ∈ i(aG

S)^∗. Pour w /∈ W0 le terme φ w(ν)
contient le facteur βw(ν) − β_w λ(σ)
. Puisque βwest orthogonal à (aG

S)^∗, on a βw(ν) = βw λ(σ)
et le facteur précédent est nul. Donc

φ(ν) = ^X

w∈W0

φ₃ w(ν)
.

Pour w ∈ W⁰, la partie réelle de w(ν) est X(σ). Donc −w(ν) + 2X(σ) = w(ν) et

φ₃ w(ν)
= φ2 w(ν)
φ2 w(ν)
≥ 0 .

On peut abandonner les w 6= 1 : φ(ν) ≥ φ3(ν) = |φ2(ν)|2. Pour w /∈ W0, la partie réelle de

βw w⁻¹(ν)
− βw λ(σ)
est βw



w⁻¹ X(σ)
^

− βw X(σ)
qui n’est pas nulle. Donc 

β_w w⁻¹(ν)
− βw λ(σ)
 

est minoré par un nombre strictement positif. On en déduit une minoration |φ2(w)| ≥ c|φ1(ν)| = c|ϕ(µ)|

pour un certain c > 0. D’où

φ(ν) ≥ c²|ϕ(µ)|2. 

On fixe Q et R avec_rη(Q, R) 6= 0. Cette condition équivaut à ce qu’il existe un et un seul parabolique, que l’on note P , avec Q ⊂ P ⊂ R et θ0(P ) = P . On fixe S et σ. Pour Ψ ∈ BQ⁰ χ (σ), on peut écrire r ρ_S,σ,µ(f, ω)Ψ = ^X Φ∈BQ(θ₀σ)_χ ˆ f_Φ,Ψ(µ)Φ ,

où la somme est finie et ˆf_Φ,Ψ est une fonction de Paley-Wiener sur (aG

S,C)^∗. L’ex-pression souhaitée pour J_χ^T(f, ω) est donc combinaison linéaire d’intégrales itérées (1) Z Y_Q0^r σ^R_Q(HQ(x) − T ) Z i(aG S)∗ Λ^{T ,Q}E^Q(x, Φ, θ0µ)EQ0 (x, Ψ, µ)ϕ(µ) dµ  dx où ϕ est une fonction de Paley-Wiener sur (a^G_S,C)^∗ et dont nous devons montrer la convergence.

On note L, L⁰, L0 les Levi standard et NQ, NQ0, NQ₀ les radicaux unipotents de Q, Q⁰ et Q₀. On fixe un ensemble de Siegel S^L pour le quotient L(F )\L(A)1. On choisit un sous-ensemble compact ΩN_Q⊂ NQ(A) tel que NQ(A) = NQ(F )ΩN_Q

et on pose

S^Q= ΩN_QA^G_QS^LK .

C’est un ensemble de Siegel pour le quotient Q(F )\G(A)1. On introduit de même des ensembles S^L0, S^Q0, S^L0, S^Q0 et un ensemble S^G.

Proposition 12.2.3. Soient Φ, Ψ et ϕ comme ci-dessus. Alors il existe c > 0

tel que Z i(aG S)∗ |EQ(x, Φ, θ₀µ)EQ0 (y, Ψ, µ)ϕ(µ)| dµ ≤ cδ_P0(x)^1/2δ_P0(y)^1/2 pour tous x ∈ S^Q et y ∈ S^Q0. Preuve. Posons J (x, y, Φ, Ψ, ϕ) = Z i(aG S)∗ |EQ(x, Φ, θ₀µ)EQ0 (y, Ψ, µ)ϕ(µ)| dµ . L’élément Φ est K-fini. La fonction

x 7→ δQ(x)^−1/2E^Q(x, Φ, θ0µ)

est invariante à gauche par NQ(A) et sa valeur absolue est invariante à gauche par AQ. Les termes relatifs à Q⁰ vérifient des propriétés similaires. Il en résulte l’existence d’un nombre fini de couples (Φ_i, Ψ_i) tels que pour neHxk ∈ S^Q, avec u ∈ NQ(A), H ∈ aQ, x ∈ S^L, k ∈ K, et pour un élément similaire u⁰e^H0yk⁰∈ S^Q0, on ait une majoration

J (ne^Hxk, u⁰e^H0yk⁰, Φ, Ψ, ϕ) ≤ δQ(e^H)^1/2δQ0(e^H0)^1/2X

i

J (x, y, Φi, Ψi, ϕ) .

On peut donc se limiter à majorer J (x, y, Φ, Ψ, ϕ) pour x ∈ S^Let y ∈ S^L0. D’après un théorème de Dixmier et Malliavin [21], on peut décomposer ϕ en somme finie de produits de deux fonctions de Paley-Wiener. Cela nous ramène au cas où ϕ est produit de deux telles fonctions ϕ₁ et ϕ₂. Par l’inégalité de Schwartz, on voit que

J (x, y, Φ, Ψ, ϕ)² est majoré par

Z i(aG S)∗ |EQ(x, Φ, θ0µ)ϕ1(µ)|²dµ Z i(aG S)∗ |EQ⁰(y, Ψ, µ)ϕ2(µ)|²dµ .

Les deux facteurs sont du même type, à quelques changements inessentiels près. Cela nous ramène à prouver que, pour Ψ et ϕ fixés, il existe c tel que

Z

i(aG S)∗

|EQ⁰(y, Ψ, µ)ϕ(µ)|²dµ ≤ cδP₀(y)

pour tout y ∈ S^L0. Il existe Φ^L0 appartenant à une induite convenable pour le groupe L⁰ tel que

pour tout y ∈ S^L0. On peut donc aussi bien supposer ici Q⁰ = G. On supprime alors les primes et on pose

J (y, Φ, ϕ²) = Z

i(aG S)∗

|EG(y, Φ, µ)ϕ(µ)|²dµ .

De nouveau, on peut supposer que ϕ = ϕ1ϕ2 et on utilise l’inégalité de Schwartz : J (y, Φ, ϕ²)²≤ J (y, Φ, ϕ4

1)J (y, Φ, ϕ⁴₂) . Cela nous ramène au cas où ϕ est un carré, disons ϕ = ϕ2

0. On applique le lemme 12.2.2 à ϕ0, soit φ la fonction qui s’en déduit. Alors

(1) J (y, Φ, ϕ⁴₀) ≤ Z

i(aG S)∗

E^G(y, Φ, µ)φ(λ(σ) + µ)EG(y, Φ, µ)φ(λ(σ) + µ)dµ . On peut inclure Φ dans un sous-espace V de dimension finie de l’induite qui est une somme de composantes isotypiques pour l’action de K. Soit V⁰ le supplémentaire de V invariant par K. D’après [19, théorème 3] (qui est une conséquence d’un théorème d’Arthur), il existe une fonction h ∈ C∞

c G(A)
telle que ρ_S,σ,µ(h) (il s’agit de l’action non tordue usuelle) annule V⁰ et agisse sur V par multiplication par φ(λ(σ) + µ). Considérons alors le noyau KG((h^∗ ? h)¹; y, y). Son expression spectrale est somme de termes tous positifs ou nuls et l’un d’eux est le membre de droite de la relation (1). On en déduit l’inégalité

J (y, Φ, ϕ⁴₀) ≤ KG((h^∗? h)¹; y, y) . Mais K_G((h^∗? h)1; y, y) = ^X γ∈G(F ) Z AG h^∗? h(y⁻¹zγy) dz .

Il reste à appliquer le lemme 12.2.1 pour obtenir la majoration cherchée. 

Proposition 12.2.4. Soient Φ, Ψ et ϕ comme ci-dessus. Alors l’intégrale

Z

i(aG S)∗

Λ^{T ,Q}E^Q(x, Φ, θ0µ)EQ0

(y, Ψ, µ)ϕ(µ) dµ

est absolument convergente. Il existe un réel D et, quel que soit le réel r, il existe c > 0 tel que cette intégrale soit majorée par

c|y|^De^DkHk|xL|^−r

pour tout y et tout x = eHxL, avec H ∈ a_Q et xL∈ SL.3

Preuve. L’opérateur Λ^{T ,Q}est une combinaison d’intégrales sur des compacts et de sommes finies, affectées de signes. Considérons l’opérateur (idiot) où on sup-prime les signes, notons-le Λ^{T ,Q}₊ . Il est clair que

|ΛT ,Q(h)| ≤ Λ^{T ,Q}₊ (|h|) pour toute fonction h sur Q(F )\G(A). Alors l’expression

Z

i(aG S)∗

|Λ^{T ,Q}E^Q(x, Φ, θ₀µ)EQ0

(y, Ψ, µ)ϕ(µ)| dµ est majorée par l’image par cet opérateur Λ^{T ,Q}₊ de la fonction

x 7→ J (x, y, Φ, Ψ, ϕ) .

Or cette image est définie par une intégrale convergente, grâce à la proposition 12.2.3 et parce que, comme on vient de le dire, Λ^{T ,Q}₊ ne fait intervenir que des intégrales sur des compacts et des sommes finies. Considérons maintenant la même expression sans les valeurs absolues :

Z

i(aG S)∗

Λ^{T ,Q}E^Q(x, Φ, θ₀µ)EQ0

(y, Ψ, µ)ϕ(µ) dµ .

Elle est obtenue en appliquant Λ^{T ,Q} (portant sur la variable x) à l’expression Z

i(aG S)∗

E^Q(x, Φ, θ₀µ)EQ0

(y, Ψ, µ)ϕ(µ) dµ .

Celle-ci est à croissance modérée en les deux variables d’après la proposition 12.2.3. Ses dérivées en x sont des expressions similaires, la fonction est donc uniformément à croissance modérée. La majoration de l’énoncé se déduit alors de la

proposi-tion 4.3.2. 

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