Transformation en ondelettes stationnaires

Dans le domaine de la compression d’images, la méthode dyadique de l’analyse multirésolution de Mallat est l’objet de nombreuses applications; cependant dans le domaine de la restauration d’images, cet algorithme présente un inconvénient majeur (Bijaoui et al., 1994; Foucher, 2001). En effet, à cause de la décimation des données, il est strictement impossible de respecter la propriété d’invariance par translation. Cette propriété existe pour les transformations en ondelettes continues mais elle ne peut être appliquée dans la transformation d’ondelettes discrètes orthogonales telle que décrite dans l’algorithme Mallat. L’information contenue dans les données décimées ne pose pas de problème pour la reconstruction du signal d’origine mais elle est indispensable à l’analyse de l’image spécialement dans le cadre de la détection et du filtrage de bruit, auquel cas le résultat final de l’analyse et de la synthèse serait incorrect sans l’invariance par translation.

La transformée en ondelettes stationnaire est un ondelettes conçue afin de surmonter le manque d transformée en ondelettes discrète.

al., 1998) a été développé afin de résoudre ce problème,

translation est respectée en supprimant la décimation du signal au niveaux de résolution et en sur

de filtres). La dilatation de ces filtres consiste à insérer 2j_{− zéros entre} 1 de l’algorithme (Shensa, 1992

Figure 2-16 : Relation des filtres d’analyse entre deux niveaux consécutifs pour l’algorithme à trou.

Pour la reconstruction du signal afin d suffit d’introduire deux filtres

que :

où ( )H ω et ( )G ω sont les transformées de Fourier des coefficients des filtres dans l’analyse multirésolution

La transformée en ondelettes stationnaire est une méthode de transform

afin de surmonter le manque d’invariance par translation de la transformée en ondelettes discrète. L’algorithme à trou (Bijaoui et al.

a été développé afin de résoudre ce problème, où l ectée en supprimant la décimation du signal au de résolution et en sur-échantillonnant les filtres de décomposition

La dilatation de ces filtres (i.e. sur-échantillonage zéros entre les coefficients des filtres, H , 1992), afin de conserver les filtres demi-

Relation des filtres d’analyse entre deux niveaux consécutifs pour

Pour la reconstruction du signal afin d’obtenir l’inversion de la transformation il introduire deux filtres conjugués, Hɶ et Gɶ ,(Mallat, 2000;

( ) ( ) ( ) ( ) 2 H ω Hɶ ω +Gω Gɶ ω =

sont les transformées de Fourier des coefficients des filtres dans l’analyse multirésolution :

de transformation en ’invariance par translation de la et al., 1994; Stark et où l’invariance par ectée en supprimant la décimation du signal aux différents échantillonnant les filtres de décomposition (i.e. banc échantillonage, voir Figure 2-16) H et G , au niveau j

-bande.

Relation des filtres d’analyse entre deux niveaux consécutifs pour

inversion de la transformation il ,(Mallat, 2000; Bijaoui, 1994) tels

(2.57)

De manière analogue, Hɶ( ) coefficients des filtres Hɶ

des signaux d’une échelle à l’autre. 2D décrite dans la section

implémentées de façon analogue à ondelettes comme indiqué dans la

Figure 2-17 : Schéma d’analyse et de synthèse d niveau j-1 au niveau j par l’approche en banc de filtres

les coefficients d’approximation 2D et coefficients de détails 2D, pour les directions horizontale, verticale et diagonale à l’échelle

Pour résumer, la transformation en ondelettes stationnaire est caractérisé

invariance par translation et sa redondance. Le nombre des coefficients en d’ondelettes pour chaque direction à chaque niveau est égal au nombre de pixels de

( ) j n n n H ω =

∑

∑

ɶ _{et ( )G}ɶ _{ω représentent les transformées de Fourier des} ɶ et Gɶ . L’équation (2.57) assure la reconstruction correcte des signaux d’une échelle à l’autre. De manière similaire à l’analyse multirésolution 2D décrite dans la section 2.2.3.2, la décomposition et la synthèse du signal 2D sont de façon analogue à un banc de filtres basés sur la séparabilité des mme indiqué dans la Figure 2-17.

analyse et de synthèse d’ondelettes stationnaires d approche en banc de filtres, [ ]j

A et [ ]j_{{ , , }} h v d D_ε∈

les coefficients d’approximation 2D et coefficients de détails 2D, pour les directions horizontale, verticale et diagonale à l’échelle 2j_.

, la transformation en ondelettes stationnaire est caractérisé

invariance par translation et sa redondance. Le nombre des coefficients en ondelettes pour chaque direction à chaque niveau est égal au nombre de pixels de (2.58) (2.59)

les transformées de Fourier des reconstruction correcte analyse multirésolution , la décomposition et la synthèse du signal 2D sont de filtres basés sur la séparabilité des

ondelettes stationnaires d’une image du

{ , , }h v d sont respectivement

les coefficients d’approximation 2D et coefficients de détails 2D, pour les directions

, la transformation en ondelettes stationnaire est caractérisée par son invariance par translation et sa redondance. Le nombre des coefficients en ondelettes pour chaque direction à chaque niveau est égal au nombre de pixels de

l’image d’origine. Cette redondance de l

dans l’estimation des statistiques locales et permet aussi d d’artefacts lors de filtrage de bruit

assure la stationnarité des détection multiéchelles peuvent être analys des coefficients d’approximation

résultant d’une décomposition à ondelettes stationnaires.

Figure 2-18 : Coefficients d’une

edondance de l’information offre une meilleure robustesse estimation des statistiques locales et permet aussi d

artefacts lors de filtrage de bruit (Foucher, 2001). L’invariance par translation assure la stationnarité des détections, et par la même occasion les informations multiéchelles peuvent être analysées pixel à pixel. La Figure 2-18

d’approximation [ ]j

A et des coefficients en ondelettes une décomposition à ondelettes stationnaires.

une transformée en ondelettes stationnaire 2D pour 3 niveaux.

information offre une meilleure robustesse estimation des statistiques locales et permet aussi d’engendrer moins invariance par translation et par la même occasion les informations 18 donne un exemple en ondelettes [ ] { , , } j h v d D_ε∈