Traitements bayesiens des modeles a lois exponentielles

m1 = 1

ln(1 +t1)

m2 = 1

ln(1 +t2)

Ces expressions analytiques de  et  permettent alors de deduire les lois a priori de et

 a partir des lois a priori de m1 etm2.

Campodonico et Singpurwalla donnent, sous forme d'integrales implicites, les estimations a posteriori des dierents parametres d'inter^et.

Ils etudient ensuite la robustesse de leurs estimateurs en considerant dierentes valeurs pour les constantes de leurs lois a priori.

Dans une autre etude (cf. [13]) les auteurs proposent une procedure generale permettant de traduire les opinions des experts dans le cadre general des processus aleatoires ponctuels. Bunday et Al Ayoubi [11] presentent une approche bayesienne similaire. Ils considerent trois classes de modelesNHPPou le processus des defaillances est modelise successivement par un processus de Pareto, un processus de Weibull et un processus de Gumbel. Ils optent pour des lois a priori non informatives et utilisent l'approximation de Lindley

(cf. [64]) pour le calcul numerique de leurs estimations.

3.3.3 Traitements bayesiens des modeles a lois exponentielles

Dans cette section, on considere la classe de modeles de Fiabilite des Logiciels ou les v.a.r. temps inter-defaillances sont des v.a.r. independantes de lois exponentielles :

8i1 , Xi

H exp

L'evolution des taux de defaillancei resulte de l'eet, generalement inconnu, des correc-tions eectuees.

En adoptant l'approche bayesienne, les parametres i seront consideres comme des va-riables aleatoires, leurs lois a priori seront extraites de l'idee a priori qu'ont les experts a propos des eets reels des dierentes corrections.

Notations { Les parametres taux de defaillancesi consideres comme des v.a.r. seront notes i.

Modele de Littlewood et Verrall (1973)

Littlewood et Verrall [67] supposent a priori que les v.a.r. i sont independandes de lois

Gamma :

8i1, i

Gamma(; (i)):

Comme E(i) = = (i), la fonction traduit l'opinion a priori de l'expert concernant la tendance de la abilite du logiciel etudie. Une fonction croissante impliquerait une croissance de abilite.

Dans le cas ou la fonction n'est pas connue, on peut l'estimer en la supposant membre d'une famille de fonctions parametriques f (:;);   IRk

g. Le parametre  peut ^etre estime par la methode du maximum de vraisemblance, on parle dans ce cas d'approche bayesienne empirique.

Littlewood et Verrall proposent d'estimer  par une approche bayesienne, ils suggerent une loi a priori conjointe uniforme pour le couple (;).

Mazzuchi et Soyer (1988)

Mazzuchi et Soyer [70] partent aussi de l'hypotheseHexp, et supposent a priori, Littlewood et Verrall, que les variables i sont independantes de lois a priori :

i

Gamma(; (i)) , ou (i) = + i,  >0,+ >0 et >0:

Les parametres, et sont, eux aussi, consideres comme des variables aleatoires ayant, pour des raisons techniques, les lois a priori suivantes :

- Une loi uniforme pour :

82[0;0] , () = 10

3.3 Revue desapproches bayesiennesen FiabilitedesLogiciels

93

- Conditionnellement a on a :

+ Gamma(a;b):

- Une loi a priori Gamma(c;d) pour .

Dans leur approche, Mazzuchi et Soyer demandent a l'utilisateur de xer les valeurs des parametres 0, a, b, c etd.

Mazzuchi et Soyer supposent par ailleurs que :

- La variable  est independante des variables  et .

- Pour i n, conditionnellement a i, la v.a.r. Xi est independante des variables ,

, et (j)j6=i.

Ayant fait toutes ces hypotheses, Mazzuchi et Soyer donnent alors les lois a posteriori des parametres , , et (i)in.

Ils donnent aussi la loi predictive du temps d'attente de la prochaine defaillance Xn+1. Les auteurs utilisent ensuite l'approximation deLindley(cf. [64]) pour le calcul numerique de leurs estimations.

Becker et Camaranipoulos (1990)

Becker et Camaranipoulos [8] presentent une approche iterative pour le choix des lois a priori des taux de defaillance i. Ils considerent en particulier que le logiciel peut, au bout d'un certain nombre de corrections, devenir parfait, c'est a dire ne contenant plus de fautes.

Dans leur approche ils supposent, paradoxalement, que les variations successives des taux de defaillances (
i =i

,i+1)i1 sont des constantes connues par ailleurs.

Ils partent alors d'une loi a priori non-informative pour le premier taux de defaillance (i.e.

(1) = constante, 81

 0) et mettent a jour, les lois a priori des v.a.r. i au fur et a mesure de l'arrivee des defaillances.

Apres observation du premier temps inter-defaillances x1, la loi a posteriori de 1 est donnee par sa densite :

81 0 , f 1 jx 1(1) =1x2 1exp(,1x1):

Apres la correction qui suit cette premiere defaillance, le nouveau taux de defaillance est donne par : 2 =max(0;1

,
1).

gauche de la loi de 1, sa densite par rapport a la mesure somme de la mesure de Lebesgue sur IR+ et de la mesure de Dirac en zero est donnee pour tout 

2  0 par : f  2 jx 1( 2) = 1f 2 =0g Z
1 0  2 x 2 1 exp(,x 1)d+ 1f 2 >0g( 2+
1)x 2 1 exp[,( 2+
1)x 1]:

Cette loi a une masse de probabilite non nulle au point 0, ce qui represente la probabilite que le logiciel ne contienne plus de fautes apres la premiere correction.

Les auteurs proposent d'utiliser cette loi comme loi a priori pour la v.a.r. 2. Apres observation du deuxieme temps inter-defaillances x

2, la loi a posteriori de 2 est alors donnee par sa densite :

f  2 jx 1 ;x 2( 2) / f  2 jx 1( 2):f X 2 j 2(x 2) /  2( 2+
1)exp[, 2(x 1 +x 2)]:

En reiterant cette procedure, ils obtiennent les lois a priori adequates pour les dierents taux de defaillance. A chaque etape, la loi a priori du prochain taux de defaillance est obtenue, par decalage, a partir de la loi a posteriori du taux de defaillance actuel.

Becker et Camaranipoulos montrent que toutes les lois a priori et a posteriori ainsi obte-nues font partie d'une famille de lois fermee par decalage a gauche et par multiplication. Comme les lois des variables temps inter-defaillancesX

i font aussi partie de cette famille de lois, ils obtiennent ainsi une famille de lois conjuguees donnee par l'expression generale de ses densites : 80 , f() =e ,b n X j=0 a j  j :

L'utilisation des proprietes de cette famille de lois permet d'avoir des expressions simples pour les estimateurs bayesiens des dierentes variables d'inter^et.

Interessante d'un point de vue theorique, l'approche de Becker et Camaranipoulos est assez critiquable du point de vue pratique, elle doit en eet ^etre precedee de l'utilisation d'autres modeles permettant d'estimer les constantes (
i)i1, constantes que Becker et Camaranipoulos supposent connues.

3.3.4 Conclusion

Les hypotheses et les lois a priori utilisees dans la majorite des approches bayesiennes presentees ci-dessus ne se justient que par les simplications qu'elles apportent aux expressions des dierents estimateurs.

Ces hypotheses, assez techniques et souvent tres eloignees des connaissances a priori des praticiens, presentent un handicap important pour l'utilisation pratique de ces etudes bayesiennes.

Pour resoudre ce probleme, on propose dans la section suivante une approche bayesienne generale ou on se limitera a des hypotheses minimales assez consensuelles dans le contexte de la Fiabilite des Logiciels.

Meinhold et Singpurwalla (1983) Langberg et Sinpurwalla (1985)

Jelinski-Moranda Jewell (1985)

Littlewood et Sofer (1987) Wright et Hazelhurst (1987) Csenki (1990)

Kyparisis et Singpurwalla (1985)

Modeles NHPP Bunday et Al Ayoubi (1990)

Campodonico et Singpurwalla (1995) Littlewood et Verrall (1973)

Modeles a lois exponentielles Mazzuchi et Soyer (1988)

Becker et Camaranipoulos (1990)

96

3.4 Analyse bayesienne generale des modeles a lois