3.5 Modelisation exponentielle a taux de defaillance markoviens
3.5.1 Introduction et hypotheses du modele
On a vu dans la section precedente que le contexte general de la Fiabilite des Logiciels justi e le choix d'une hypothese a priori markovienne pour les v.a.r. i.
En restant dans un cadre tres general on aboutit ainsi a la modelisation suivante :
De nition { 3.13
On appellemodelisation bayesienne exponentielle a taux de
defaillance markoviens
(BEM) la modelisation generale ou :les v.a.r. X
i sont de lois exponentielles de parametres i
aleatoires
:8i1 , X i Exp(i) H BEM1 conditionnellement a fi g
i1, les v.a.r. X
i sont independantes entre elles.
H BEM2
Le processus fi g
i1 est un processus de
Markov
, sa loi a priori est donnee par la suite des densites : i(i j
i,1).
H BEM3
Remarque {
Un certain nombre de modeles bayesiens peuvent ^etre consideres commecas particuliers de la modelisationBEM de nie ci-dessus.
On peut par exemple citer le modele de Littlewood et Verrall [67], le modele de Becker et Camaranipoulos [8] ainsi que la version bayesienne du modele Jelinski-Moranda [66]. On a montre dans la section precedente que les hypotheses H
BEM1,H
BEM2 etH
BEM3 de la de nition ci-dessus sont des hypotheses naturelles dans le contexte de la Fiabilite des Logiciels.
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En se placant dans le cadre de la modelisation Pro l Operationnel Poissonnien Homo-gene de la sous-section 1.4.3, on peut donner une autre justi cation aux trois hypotheses precedentes. Ceci est explique ci-dessous.
L'approche Filtrage Optimal
Les hypotheses H
BEM1,H
BEM2 et H
BEM3 peuvent ^etre obtenues en considerant une ap-proche tout a fait di erente de l'apap-proche adoptee ici.
On peut en e et se placer dans le cadre de la modelisation proposee par Gaudoin et Soler [39] (cf. sous-section 1.4.3) ou le pro l operationnel est modelise par unPro l Operationnel Poissonnien Homogene(POPH).
Soler [94] montre alors (cf. theoreme 1.19) que si l'on suppose que les corrections sont de durees negligeables et qu'elles suivent immediatement les defaillances, on aboutit exacte-ment aux trois hypotheses H
BEM1,H
BEM2 et H BEM3.
L'approche POPH conduit alors, non pas a une analyse bayesienne, mais a un
modele
de Filtrage Optimal
discret non lineaire ou le vecteur des observations est constituedes v.a.r. X
i. Les variables d'etat sont les v.a.r. taux de defaillance i. Dans ce modele de Filtrage, les equations des observations sont :
8in , conditionnellement a i=
i on a X i
Exp(
i): (3.20) Les equations decrivant l'evolution du systeme sont :
8in , conditionnellement a i,1= i,1 , i i( i j i,1): (3.21) Comme dans l'approche bayesienne, i(
i j
i,1) designe ici aussi la densite de la loi de probabilite de la v.a.r. i conditionnellement a i,1=
i,1.
L'estimation ou la prediction des variables d'etat au vu des observations se fait ensuite par l'utilisation de la formule de Bayes (cf. par exemple Jazwinski [46]).
L'estimation des parametres
i dans la modelisation bayesienne exponentielle, et le ltrage et la prediction des variables i au vu des observations des v.a.r. X
i dans l'approche Filtrage s'e ectuent en utilisant les m^emes outils.
On a en e et deux justi cations et deux terminologies di erentes pour un m^eme modele. On se placera dans la suite de ce chapitre dans le cadre de la modelisation bayesienne exponentielle.
Remarque {
Notons que la theorie du Filtrage Optimal a deja ete utilisee pour3.5 Modelisation exponentielle a taux de defaillance markoviens
107
Singpurwalla et Soyer [89] supposent par exemple que les temps inter-defaillances sont des v.a.r. de lois log-normales, ils obtiennent ainsi un modele de ltrage gaussien.
Chen et Singpurwalla [16] choisissent des lois Gamma pour les v.a.r. Xi et des lois Beta
pour les variables d'etat i. Ils obtiennent ainsi un modele de ltrage non gaussien pour lequel les estimateurs a posteriori ont des expressions explicites.
3.5.2 Evaluation bayesienne de la abilite
Les expressions des estimateurs bayesiens des di erents attributs de la abilite donnees dans la sous-section 3.4.3 se simpli ent lorsqu'on ajoute l'hypothese markovienneHBEM3. Ces simpli cations sont decrites ci-dessous.
Estimation des taux de defaillance
Sous l'hypothese HBEM3 la densite de la loi a priori du vecteur (n) s'ecrit n(1;:::;n) = n(n
jn,1) :::2(2
j1)1(1): (3.22)
Notation {
Par abus de notation, la densite de la loi a priori de la v.a.r. 1 sera notee1(1
j0), c'est-a-dire :
1(1
j0)1(1):
La formule (3.6) de la densite de la loi a posteriori de (n) se reecrit :
f (n) jx (n)(1;:::;n) = Q n i=1[ie, i x ii(i ji,1)] R IR n + Q n i=1[ie,ixii(i ji,1)]d1:::dn : (3.23) Les densites des lois a posteriori marginales des v.a.r. j sont donnees pour tout j n
par : f j jx (n)(j) =Z IR n,1 + f (n) jx (n)(1;:::;n) d1:::dj,1dj+1:::dn: (3.24) On en deduit les expressions des estimateurs de Bayes des parametres taux de defaillances
1;:::;n : ^ j(X1;:::;Xn) = R IR n + j Q n i=1[ie, i X ii(i ji,1)]d1:::dn R IR n + Q n i=1[ie, i X ii(i ji,1)]d1:::dn : (3.25)
Prediction du taux de defaillance n+1
Pour predire le taux de defaillance futur
n+1 on doit reecrire la formule (3.12) de la densite de la loi a posteriori de n+1. Pour ce faire on utilise le resultat suivant :
Proposition { 3.14 Dans une modelisation bayesienne exponentielle markovienne, la v.a.r.n+1 est, conditionnellement a n, independante des v.a.r.X
1 ;:::;X n. On a donc : f n+1 j n ;x (n)( n+1) = n+1( n+1 j n): (3.26)
Preuve { Ce resultat resulte directement des hypotheses H
BEM1 et H BEM3. En e et si on pose : Y 1 (1 ;:::;n,1),Y 2 n, Y 3 n+1 etZ X (n) ; les hypotheses H BEM1 et H BEM3 impliquent que : conditionnellement a Y 2,Y 3 est independante de Y 1, conditionnellement a (Y 1 ;Y 2),Z est independante de Y 3. En considerant les densites des variables aleatoiresY
1,Y 2,Y
3 etZ par rapport aux mesures de Lebesgue associees, il resulte des deux hypotheses precedentes que :
f Y1;Y2;Y3;Z(y 1 ;y 2 ;y 3 ;z) =f Y1;Y2(y 1 ;y 2)f Y3jy2(y 3)f Zjy1;y2(z) en integrant les deux termes de l'equation precedente par rapport a y
1 on obtient : f Y 2 ;Y 3 ;Z(y 2 ;y 3 ;z) =f Y 3 jy 2(y 3) Z IR n,1 + f Y 1 ;Y 2(y 1 ;y 2)f Zjy 1 ;y 2(z)dy 1
et en integrant par rapport a y 3 : f Y 2 ;Z(y 2 ;z) =Z IR n,1 + f Y 1 ;Y 2(y 1 ;y 2)f Zjy 1 ;y 2(z)dy 1 : Finalement on a : f Y3jy2;z(y 3) = f Y 2 ;Y 3 ;Z(y 2 ;y 3 ;z) f Y2;Z(y 2 ;z) = f Y 3 jy 2(y 3)
d'ou le resultat enonce. tu
3.5 Modelisation exponentielle a taux de defaillance markoviens
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Proposition { 3.15
La loi a posteriori du taux de defaillance n+1 est donnee par sadensite : f n+1 jx(n)(n+1) = R IR n + n+1(n+1 jn) Q ni=1[ie ,ixii(iji,1)]d 1 :::dn R IR n + Q ni=1[ie ,ixii(iji,1)]d 1 :::dn (3.27)
Preuve {
Le resultat decoule directement de l'ecriture de la densite de la loi a posterioride n+1 sous la forme suivante :
f n+1 jx(n)(n+1) =Z IR + f n+1 jx(n);n(n+1)f n jx(n)(n)dn tu
On peut alors predire le taux de defaillancen+1 apres lan
eme correction en prenant par exemple l'esperance a posteriori de n+1 :
^ n+1(x 1 ;:::;xn) = Z IR+ n+1 f n+1 jx(n)(n+1)dn+1 :
Loi predictive du prochain temps inter-defaillances
Comme on l'a vu dans la sous-section 3.4.3, l'approche bayesienne permet de predire le prochain temps inter-defaillances en utilisant la loi predictive de Xn+1, c'est-a-dire sa loi de probabilite conditionnellement a X
(n)=x (n).
Proposition { 3.16
Lorsqu'on suppose que les taux de defaillance sont markoviens, ladensite de la loi predicitive de Xn+1 s'ecrit :
fXn+1jx(n)(xn+1) = R IR n+1 + Qn+1 i=1 [ie ,ixii(iji,1)]d 1 :::dn+1 R IR n + Q ni=1[ie ,ixii(iji,1)]d 1 :::dn : (3.28)
Preuve {
Cette densite est donnee par :fXn+1jx(n)(xn+1) =Z IR + fXn+1jx(n);n+1(xn+1)f n+1jx(n)(n+1)dn+1 :
Les hypotheses HBEM1 et HBEM2 permettent d'ecrire :
fXn+1
jx(n);n+1(xn+1) =n+1 e
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on utilise en n la formule (3.27) de la densite de la loi a posteriori de n+1 pour obtenir le resultat enonce.
tu
A partir de la densite de la loi predictive on obtient l'expression du MTTF a posteriori :
Proposition { 3.17
Dans la modelisation bayesienne exponentielle a taux de defaillancemarkoviens, le MTTF a posteriori est donne par : E(Xn+1 jx(n)) = R IR n+1 + ,1 n+1n+1(n+1 jn)Q n i=1[ie, i x ii(i ji,1)]d1:::dn+1 R IR n + Q n i=1[ie, i x ii(i ji,1)]d1:::dn : (3.29) Avant de presenter quelques methodes numeriques permettant de calculer les di erentes estimations bayesiennes presentees ci-dessus, on donne dans les deux sous-sections sui-vantes des exemples d'a priori markoviens particuliers permettant d'aner l'analyse ge-nerale precedente.