Les modeles a Prol Operationnel Poissonnien Homogene

Introduction et proprietes

Le prol operationnel Poissonnien homogene (POPH) est une modelisation simple mais assez generale du prol d'utilisation d'un logiciel.

Dans cette modelisation, les sollicitations du logiciel sont supposees arriver d'une facon homogene dans le temps. Les entrees sollicitees sont supposees independantes entre elles, independantes des instants de sollicitation et de m^eme loi de probabiliteQ sur E.

Remarque {

On reprend ci-dessous la terminologie et les denitions de la section 1.2.

Denition { 1.18

Le prol operationnel est dit

Poissonnien homogene

quand :

- Le processus de sollicitation temporel est un processus de Poisson homogene d'in-tensite .

- Les variables aleatoires entrees sollicitees Z

i sont independantes entre elles, inde-pendantes des instants de sollicitation et de m^eme loi de probabiliteQ sur E.

Soler [94] donne un theoreme permettant de specier les proprietes mathematiques du processus de defaillance sous les hypotheses d'un POPH :

Theoreme { 1.19

Pour un POPH avec corrections instantanees, il existe un processus

de Markov =fi g

i1 constitue de v.a.r. positives telles que, conditionnellement a fi=

 i

g

i1, les temps inter-defaillancesX

i sont des v.a.r. independantes de lois exponentielles de parametres respectifs  i. On a donc : 8i1 , sachanti= i , X i Exp( i): On a par ailleurs : 8i1 , i = Q(F C i,1):

Remarque {

Les v.a.r. i denies au theoreme precedent seront dans la suite appelees

variables taux de defaillance

.

Gaudoin [36] montre que les variables taux de defaillance i verient les equations sui-vantes :

Theoreme { 1.20

Dans unPOPHavec corrections instantanees, il existe deux suites de

v.a.r.(a

i)i1 (taux de bonne correction) et(b

i)i1 (taux de mauvaise correction) a valeurs dans [0;1], telles que les taux de defaillancefi

g

i1 verient les equations :

8i>1; i = (1,a i ,b i)i,1 +b i :

30

Preuve {

En general, une correction peut ^etre en partie de bonne qualite et en partie

de mauvaise qualite. Ceci revient a dire que lai



eme correction enleve une partieAi de la faute totaleFCi,1, mais en rajoute de nouvelles fautes representees par une partie Bi de FCi,1 : complementaire de FCi,1 dans l'ensemble des donnees d'entree E.

La faute totale apres lai 

eme correction est donc :

FCi = (FCi,1

,Ai)[Bi ouAi 2FCi,1 et Bi 2FCi,1 :

On conclut alors que :

Q(FCi) =Q(FCi,1),Q(Ai) +Q(Bi):

Le taux de bonne correction ai est donne par l'equation :

Q(Ai) =aiQ(FCi,1) Comme Ai FCi,1, on a alors ai 2[0;1].

Le taux de mauvaise correction bi est donne par l'equation :

Q(Bi) =biQ(FCi,1) La v.a.r. bi est a valeurs dans [0;1] car Bi FCi,1. On obtient nalement l'equation :

Q(FCi) = (1,ai,bi)Q(FCi,1) +bi:

En multipliant les deux membres de la formule precedente paret en utilisant le theoreme 1.19 on obtient le resultat enonce. tu

On decrit ci-dessous quelques modeles se basant sur les hypotheses du POPH.

Le modele a double taux de correction deterministe

Dans ce modele note MDTCD, Gaudoin [36] suppose, pour simplier, que les taux de correction (ai)i1 et (bi)i1 sont constants et deterministes :

8i1,ai =a et bi =b:

Le premier taux de defaillance 1 est suppose aussi deterministe. Les taux de defaillance successifs figi1 sont alors des quantites deterministes notees figi1 et denies par :

( 

1 = 

1.4 Quelques modeles classiques de abilite des logiciels

31

Les temps inter-defaillances fX i

g

i1 sont alors des v.a.r. independantes de lois exponen-tielles de parametres respectifs f

i g

i1.

Les dierents parametres de ce modele peuvent ^etre estimes par la methode du maximum de vraisemblance.

Remarque {

On peut remarquer que l'hypothese selon laquelle les taux de mauvaise

correction b

i sont constants n'est pas realiste. En eet elle signie que la taille des fautes introduites par les corrections augmente au fur et a mesure qu'on ameliore le logiciel. Il est beaucoup plus realiste de considerer un modele ou les taux de mauvaise correction sont decroissants.

Le Modele Proportionnel Deterministe (MPD

)

Dans la modelisation precedente on a suppose que l'eet des corrections est double. On peut simplier ces hypotheses en supposant que l'eet d'une correction est soit bon soit mauvais. On n'aura ainsi qu'un seul taux de correction.

Sous cette hypothese, il est facile de prouver (cf. [36]) que les taux de defaillance fi g

i1

verient l'equation suivante :

8i1, i+1= i

i (1.1)

ou 1 et (

i)i1 sont des v.a.r. positives independantes.

Parmi les modeles decrits par l'equation (1.1) et appeles

modeles proportionnels

, on peut citer le modele geometrique de Moranda [74], appele aussi Modele Proportionnel Deterministe (MPD) par Gaudoin et Soler [40].

Dans ce modele, les variables (

i)i1 sont supposees deterministes et constantes, plus precisement on a :

8i1 , i =e

, ;

ou  est un parametre deterministe.

La variable taux de defaillance 1 est aussi supposee deterministe et notee , de telle sorte que la suite des taux de defaillance fi

g

i1 est une suite de quantites deterministes notees f

i g

i1. Cette suite est denie par les equations :

8i1 ,  i =e ,  i,1 =e ,(i,1) :

Denition { 1.21

On appelle

Modele Proportionnel Deterministe

de parametres

 2 IR+ et  2 IR, le modele de abilite des logiciels deni par l'hypothese selon laquelle les v.a.r. temps inter-defaillances X

i sont independantes et de lois exponentielles :

8i1 , X i

Exp(e

32

Le parametre  represente alors la qualite, supposee constante, des dierentes corrections eectuees. Si les corrections sont de bonne qualite, on aura >0 ; la suite des taux de defaillance a alors une decroissance geometrique.

Le deuxieme parametre de ce modele  est un parametre d'echelle representant le taux de defaillance initial.

Dans ce modele on suppose que la proportion de fautes supprimees a chaque correction est proportionnelle a la taille de l'ensemble des fautes. S'il y a croissance de abilite, la taille de l'ensemble des fautes va decro^tre ainsi que l'eet des corrections.

Apres observation de n temps inter-defaillances x 1

;:::;x

n, les estimations de maximum de vraisemblance de  et sont donnees par les equations suivantes :

8 > > > < > > > : ^ = n P n i=1 e , ^ (i,1) x i P n i=1(n,2i+1)e , ^ (i,1) x i = 0

Gaudoin et Soler [40] donnent un certain nombre de proprietes statistiques de ces estima-teurs.

Le Modele Proportionnel Lognormal (MPL)

Gaudoin, Lavergne et Soler [38] proposent un modele generalisant le MPD. Ils supposent que les qualites des corrections successives sont des variables aleatoires fi

g

i1 indepen-dantes. En supposant que l'equipe de correcteurs a une maniere de corriger assez reguliere, ils proposent un modele ou les v.a.r. fi

g

i1 sont de lois normales.

Denition { 1.22

Le

Modele Proportionnel Lognormal

de parametres  2 IR+,

 2IR et  2

2IR+ est le modele ou les v.a.r. temps inter-defaillances X

i sont de lois :

X i

Exp(i)

ou :

 Le premier taux de defaillance est deterministe :

1 =

 pour i2, les taux de defaillancei sont des v.a.r. donnees par les equations :

i+1=e ,

i i

les i sont des v.a.r. independantes de m^eme loi N(; 2).

1.5 Application des modeles

33

Dans le document Outils statistiques pour la construction et le choix de modèles en fiabilité des logiciels (Page 33-37)