Le traitement endoscopique :

A busca de uma identidade entre os movimen- tos terrestre e celeste constitui-se num dos mais importantes momentos da História do Pensamento Cientifico. Ele nos leva ao núcleo e ao coroamento do trabalho de Newton. Apesar da enorme relevância e dos frutíferos avanços colhidos das descobertas de Galileo para a Física, ele nada diz sobre qual a causa para o processo de incremento da velocidade durante a queda livre.

No entanto, o desenvolvimento de uma Dinâmica exigia uma explicação para a causa física.

Kepler

Nesta busca Kepler (1571-1630) admite que

alguma espécie de força ou “emanação” devia provir do sol que os guiava em suas órbitas. Posteriormente, altera sua explicação para forças magnéticas originárias do sol.

1. Em que difere a concepção de força de Kepler com a de Newton?

Embora a concepção de força de Kepler não se revelasse correta, a idéia de que existia uma força única que controla os movimentos de todos os planetas ficou para a posteridade. Outro cientista que muito contribuiu para esta- belecer esta relação,destaca-se Christiann Huygens (1629-95), Filósofo Natural,de nacionalidade holandesa e membro consagra- do da Academia Francesa de Ciência. Huygens havia demonstrado que, de acordo com o conceito de Inércia, deveria existir, para qualquer corpo em MCU, uma força resultante (arrancando-a de seu curso inercial) dirigida para o centro de um círculo.

Tal força produziria uma a aceleração, dada por , onde V é a velocidade do corpo e R é o raio de sua órbita.

Newton sabia, entretanto, até onde seu con- temporâneo e rival tinha chegado pois, a seus olhos, a questão central permanecia sem resposta, ou seja: como a força centrípeta se relaciona com variação do momentum num certo intervalo de tempo.

Para um claro entendimento destas questões, é oportuno relembrar a definição e a discussão estabelecida por Newton a respeito da Força Centrípeta.

Desde sua época de estudante universitário, Newton vinha tentando descobrir uma difer- ente e engenhosa maneira de provar matemati- camente a força centrípeta que chegasse aos mesmos resultados obtidos por Huygens. Na época em que escreveu o “Principia” a

força centrípeta havia se convertido num con- ceito de extrema importância para suas idéias a respeito do movimento planetário. Tanto que, ao exemplificar, por exemplo, alguns tipos de forças, Newton preferiu se preocupar em definir apenas a força centrípeta, da seguinte maneira:

“Uma força centrípeta é aquela devido a qual os corpos são atraídos ou impelidos, ou de alguma maneira tendem para um ponto como para um centro.”

Newton apresenta como exemplo o movimen- to de uma pedra presa por um barbante posta a girar pela mão de uma pessoa.

A força centrípeta é fornecida pela tensão do barbante. Caso a corda arrebente, a pedra sai pela tangente exatamente no ponto onde o barbante arrebentou. Entretanto, para os seus propósitos, Newton menciona o exemplo da Lua, onde a atração gravitacional da Terra sobre a Lua fornece a força centrípeta necessária para mantê-la em órbita.

1. Outro exemplo da presença da força centrípe- ta para a explicação do movimento curvilíneo, ocorre quando carro realiza uma curva.

No caso de uma curva plana, a força centrípe-

ta é fornecida pela força de atrito entre os pneus e a pista.

Ainda assim, a força de atrito é incapaz de manter, por exemplo, um carro de corrida presa a curva se a pista estiver molhada. Para evitar que o carro venha a se desgov- ernar, os engenheiros para aumentar a segu- rança, inclinam a curva para dentro. A incli- nação da estrada é escolhida de tal modo que, obedecendo-se à velocidade escalar para qual foi projetada, não haja necessidade de o carro ter atrito com o piso para efetuar a curva. Demonstre que este ângulo de inclinação é

dado por .

2. No caso do movimento em loop, tal como acontece com os movimentos numa montanha russa ou nas exibições no Globo da Morte, para que seus ocupantes se divirtam com segurança ao passar pelo ponto mais alto, demonstre que a velocidade mínima que o motociclista deve ter para passar pelo ponto mais alto da trajetória, de modo que a moto não desgrude do Globo da Morte é dada por

.

Newton, entretanto, para deixar bastante clara seu conceito de força centrípeta, apresenta outro exemplo em que, dependendo da direção e da intensidade da velocidade inicial de uma bala de canhão, a órbita exata é uma cônica: um círculo, uma elipse, uma hipérbole ou uma parábola:

de uma montanha pela força da pólvora com uma velocidade dada em direção paralela ao horizonte, se move ao longo de uma curva ate cair no solo a uma distancia de duas milhas, se não existisse a resistência do ar e se a sua velocidade se duplicas- se ou se decuplicasse, recorreria uma distancia dupla ou dez vezes maior. E aumentando a veloci- dade poderíamos aumentar a distancia quanto quiséssemos, e diminuir a curvatura da linha que poderia descrever, de modo que por último pode- ria cair a distancia de 10, 30 ou 90 graus, ou ainda poderia dar uma volta ao redor da terra antes de cair, ou, finalmente, podia não voltar jamais a cair a terra, mas que se moveria para os espaços celesti- ais e prosseguiria seu movimento in infinitum.”

É impressionante a atualidade desta reflexão especulativa de Newton tendo em vista as via- gens espaciais a partir do século XX. Perceba que o único requisito necessário para que um satélite entre em órbita ao redor da Terra é que o satélite tenha uma velocidade inicial mínima

de lançamento dada por , onde R é o

raio do planeta de onde o satélite esta sendo lançado. Caso contrario, o satélite cairá de volta ao solo ao longo de uma parábola ou escapará da Terra ao longo de uma trajetória hiperbólica, se perdendo na imensidão do uni- verso. A velocidade de escape é dada por . No caso da Terra esta velocidade é de aproximadamente 11Km/s.

1. Deduza a expressão para a força de atração gravitacional para manter a Lua em MCU em torno da Terra.

2. Consiga duas apostilas e as coloque uma sobre a outra e, em seguida, as apóie sobre a palma da sua mão. Em seguida, movimente-as verticalmente para cima, a partir do repouso. Admita que cada apostila tenha em media 500g e que a aceleração tenha sido de 1,0m/s2_.

a) Qual a intensidade da força que a palma da mão exerceu sobre a apostila que está em contato com ela.

b) Qual a intensidade da força que uma apos- tila exerce sobre a outra.

3. Uma pessoa está pescando com uma linha que pode suportar no máximo 40N. Ela fisga um peixe de 2Kg que pode exercer uma força de 60N durante alguns segundos. Qual a acel- eração mínima com que ela deve soltar a linha, durante esse intervalo de tempo, para que a linha não arrebente?

4. Suponha que você esteja dirigindo tranquila- mente seu carro numa pista reta, a uma veloci- dade de 100km/h, quando inesperadamente vê outro carro cruzar sua frente. Você então pi- sa com toda força no freio travando as rodas, fazendo o carro deslizar cerca de 10 m na pista até parar. Desprezando os demais fontes de atrito qual o coeficiente de atrito entre o pneus do carro e a pista?

5. A figura representa uma mola presa a um bloco de massa M. Quando a mola é esticada, seu comprimento varia de Xcm, e o bloco adquire uma aceleração a. qual será a aceler- ação que essa mesma mola produzirá num corpo de massa igual a 2M, quando seu com- primento variar 2 Xcm?

6. No gráfico abaixo está representado a veloci- dade escalar de uma partícula em função do tempo, que se desloca numa trajetória retilínea. A partir do gráfico V=f(t), construa o gráfico da força resultante em função do tempo que atua sobre a partícula.

7. Um bloco B de 20 Kg esta apoiado sobre uma placa P de 60 Kg, que encontra-se em repouso sobre uma superfície horizontal sem atrito. Os valores dos coeficiente de atrito estático e cinético entre B e P são, respectivamente 0,4 e 0,3. Qual a aceleração do bloco ao ser aplica- do uma força horizontal de 120N?

8. Um professor, comumente, ao apagar a lousa pressiona o apagador de 0,1Kg contra o qua- dro. Admitindo-se que ele exerça uma força perpendicular de 5N e que o coeficiente de atri- to cinético seja de 0,4. Qual a intensidade da força de atrito quando o apagador é movido horizontalmente.

9. Uma caixa vazia, pesando 10N é colocada sobre uma superfície horizontal. Ao ser aplicada uma força horizontal ela começa a se mover quando a intensidade da força atinge 5N. Todavia, quando a caixa está cheia de areia ela só começa a se mover quando a intensidade da força atinge 50N. Qual a quantidade de areia? 10. Suponha que você, ao acabar de comer,

empurra seu prato sobre uma mesa horizontal com uma certa velocidade inicial, e que ele desliza aproximadamente 1m sobre a mesa até parar. Se a massa do prato for duplicada e você voltasse a repetir a “falta de educação” com a mesma velocidade inicial, qual a distan- cia que o prato deslizaria até parar?

11. Ao sair para sua tradicional pescaria, seu

Aroldinho atrelou a sua camionete de massa M um vagão de massa 2M. Considerando o coe- ficiente de atrito estático igual a µ, qual a máx- ima aceleração que ele pode imprimir ao sis- tema para que as rodas não deslizem. (Considere a pista horizontal e todos as demais fontes de atrito desprezíveis)

1.4A TERCEIRA LEI

Indubitavelmente, esta foi a mais engenhosa contribuição de Newton no seu empenho de axiomatizar Mecânica.

Este axioma, freqüentemente referido como a Lei da Ação e Reação, estabelece que durante a interação entre dois corpos, as forças ocor- rem sempre aos pares na Natureza.

Assim, se um corpo A exerce uma força sobre um corpo B, este corpo B exerce uma força de mesma intensidade, mas de sentido oposta, sobre o corpo A.

Como exemplo, Newton cita os seguintes casos:“Se você pressiona uma pedra com seu dedo, seu dedo também é pressionado pela pedra. Se um cavalo arrasta uma pedra amarra- da com uma corda, o cavalo (se me permite a expressão) será igualmente arrastado para a pedra; porque a corda estendida, por seu próprio esforço para desenrolar-se, atrairá o cavalo, e obstruirá o progresso de um como promove o do outro”

No exemplo do cavalo, Newton parece sugerir que o cavalo não arrasta a pedra. A falácia envolvida nesta argumentação ilustra bem a dificuldade usual para se entender a Lei da Ação e da Reação. Comumente, está baseada na desatenção quanto ao isolamento dos cor- pos envolvido no problema.

1. Há milhões de anos atrás, quando os bichos falavam, um fazendeiro “pediu” para um cavalo puxar sua carroça, mas o cavalo recusou lhe atender. Em sua defesa, se apoiou na 3ª Lei de Newton: “se eu puxar a carroça, a carroça vai me puxar igualmente para trás. Desse modo nunca nos movimentaremos. Além disso, jamais poderei exercer uma força tão intensa sobre a carroça que ela não possa exercer sobre mim. Portanto, sinto muito, mas não posso atender seu pedido. Estou impedido pela lei da Física de iniciar o movimento da carroça”.

Baseados nos seus conhecimentos das Leis de Newton, que conselhos você daria ao fazen- deiro para que ele se defenda destes argumen- tos e convença o cavalo a puxar a carroça?

Em seus acréscimos, após a 3ª Lei, Newton comenta o caso de mais de uma força atuar sobre o corpo, Ele estabelece, através da Regra do Paralelogramo, os efeitos de diversas forças agin- do simultaneamente sobre uma partícula. Como já foi visto, uma característica de grande importân- cia, implícita na Regra do Paralelogramo, é o esta- belecimento da independência dos efeitos de cada força ao atuarem conjuntamente.

É o que ocorre, por exemplo, no caso de um corpo suspenso por uma corda. Sobre o corpo atuam duas forças, o peso e a força exercida pela corda. Se a corda for cortada, esta força desaparece, mas o peso continua agindo fazen- do com que o corpo caia com uma aceleração.

1. Duas forças de 3N e 4N atuam perpendicular- mente sobre um corpo de 1 Kg. Determine a aceleração do corpo?

2. Demonstre que: “Num sistema isolado de forças externas, o momento linear de qualquer

sistema é conservado” isto é, a quantidade de

movimento de qualquer sistema é constante. 3. Uma das mais interessante aplicação da Lei da

Ação e Reação é o sistema de propulsão de um foguete. Um foguete ejeta numa direção uma massa de gás em altíssima velocidade, e é acelerado de pela reação na direção oposta. Considere a velocidade dos gases em relação ao foguete sendo Vr e (v – Vr) em relação a

Terra e admita que em vez do foguete emitir continuamente gás sobre um determinado período de tempo, o gás seja emitido que nem as balas de uma arma de fogo.

a) Mostre a relação que existe entre massa ini- cial (m0) e a massa final mfdo foguete, para

que sua velocidade passe de v0à vf.

b) Determine a velocidade do foguete em função do tempo e da massa.

4. Diz o dito popular que: “toda ação corre- sponde uma reação”. Se assim fosse, a reação anularia a ação e não existiria movimento. Enuncie corretamente o Principio da ação e Reação e discuta a afirmação anterior.

5. Durante uma aula o professor solicitou ao aluno que identificasse as forças de ação e reação existentes num livro em repouso sobre a mesa. O aluno respondeu que: “o peso e a normal constituem um par ação-reação pois, as intensidades destas são forças são iguais em módulos”. Comente a resposta do aluno.

6. A figura abaixo representa as forças atuantes sobre um corpo suspenso por fio. Identifique as forças que constituem um par ação-reação.

Um objeto, inicialmente em repouso, explode em duas partes, A e B, com massas M e 3M, respectivamente. Num determinado instante t, após a explosão, a parte B está a 6,0 m do local da explosão. Nestas circunstancias, qual a distancia entre A e B no instante t?

1.5QUAL A VERDADEIRA MEDIDA DE UMA

FORÇA?

Durante séculos, o modelo de explicação pa- ra os fenômenos naturais se baseou na idéia de FORÇA, pois parecia intuitivamente corre- ta a concepção de que um corpo é dotado de certa “alma”, “Virtudes”, “Potências” ou “Prin- cípios Ativos”.

Ainda hoje é bastante ouvir-se expressões do tipo; “fulano tem força”; “a força do amor”; “casa de força” etc. Assim, a primeira vista, a idéia de que também existe no Universo uma “força”, uma espécie de constituinte imaterial parece ser uma idéia bastante simples, até auto-evidente.

Perseguindo historicamente na busca da essência do conceito de energia verifica-se que desde o século XVII, os cientistas procu- ravam refinar a nossa conhecidíssima noção de força que, comumente, associamos ao esforço muscular de puxar ou de empurrar. Na época de Newton uma questão que, por exemplo, era bastante debatido dizia respeito sobre o que é Força? Procurava-se saber porque é que quando a força é impressa ao corpo ela o impede de continuar seu estado de repouso ou de MRU ? Como medi-la? etc. Para muitos a equação F = m.a parece bas- tante simples, ou seja: tem-se a impressão de que a equação F = m.a é uma definição de força, de modo que conhecendo a massa de um objeto, e medindo a sua aceleração, a força externa aplicada pode ser encontrada. A princi- pio, conhecendo-se a força que atua sobre a partícula, a abordagem newtoniana é suficiente para descrever seu movimento. Através da Segunda Lei, podemos obter a aceleração e, por integração, encontrar a velocidade e a posição. Tudo parece ser muito simples, não é verdade?! Parece não existir neste tratamento

qualquer problema. Porem, para os físicos, o essencial não reside na aplicação matemática da força, expresso por F = m.a, mas no signifi- cado físico da Força, pois na Física o que inter- essa é interação entre sistemas.

Nestes casos, as abordagens Lagrangeana e o Hamiltoniana tornam-se mais eficaz pois, ao invés de empregar o conceito de FORÇA, uti- liza-se o conceito de ENERGIA como conceito fundamental.

Para que possamos obter um entendimento da relação existente entre força e movimento apre- sentaremos uma breve visão histórica de como as controvertidas questões mencionadas acima geraram, a partir do século XVII, o refinamento conceitual de Força que resultaram no desen- volvimento do conceito de Energia.

1.6UMA QUASE HISTÓRIA DA EVOLUÇÃO DO