Torsion d’une poutre cylindrique : th´ eorie de Saint-Venant

Saint-Venant¹⁶ a résolu le problème de la torsion des poutres cylindriques en adoptant le champ de déplacements (figure 46) :

u(x, y, z) =ω(y, z)dθ_x

– θ_x est la rotation suppos´ee petite de la section autour de l’axe ⃗x.

15. Gustav Robert Kirchhoﬀ (1824-1887).

16. Adh´emar Barr´e de Saint-Venant (1797-1886).

– ω(y, z) est la fonction de gauchissement.

Le champ de d´eplacements est la combinaison d’une rotation de la section droite autour du pointC appel´ecentre de torsion (oucentre de cisaillement) et du gauchissement de la section.

Figure 46 – Torsion d’une poutre cylindrique : champ de déplacements On en déduit les déformations :

γ_xy = ∂u Les composantes du tenseur des contraintes se r´eduisent donc `a :

[σ] =

La surface du cylindre est libre de toute contrainte. Si M est un point du contour et ⃗n de compo-santes (0, ny, nz) la normale ext´erieure, on a : est la constante de torsion de Saint-Venant.

Les contraintes sont ´egales `a : σxy = M t

Remarque : si la section est circulaire, la fonction de gauchissement est nulle et la constante de torsion se r´eduit `a :

J =Ip (5.49)

La fonction de gauchissementω(y, z) est solution de l’´equation :

∂²ω

∂y² +∂²ω

∂z² = 0 en tout point int´erieur (5.50) avec la condition :

σxyny+σxznz= ∂ω

∂y ny+∂ω

∂z nz−z ny+y nz= 0 en tout point du contour (5.51) 5.6 Contraintes dans une poutre

Consid´erons une section droite de centre de gravit´e G. Soienty etz les axes centraux principaux de la section. L’axex est l’axe neutre de la poutre.

Soit[

N T_y T_z Mt Mf_y Mf_z]

les eﬀorts int´erieurs qui s’exercent sur la section.

Figure 47 – Contraintes dans une section droite Au pointM(y, z), le tenseur des contraintes a pour expression :

[σ(M)] =



σxx σxy σxz

σ_xy 0 0 σ_xz 0 0



 (5.52)

La contrainte normaleσ_xx est ´egale `a : σxx= N

A +zMfy

I_y −yMfz

I_z (5.53)

o`uA est l’aire de la section droite etIy etIz (Iyz= 0) ses moments quadratiques.

Les contraintes tangentiellesσ_xyetσ_xzsont dues au moment de torsionMtet aux eﬀorts tranchantsT_y etTz.

Les contraintes principales sont les solutions de l’´equation : det



σxx−σn σxy σxz

σxy −σn 0 σ_xz 0 −σ_n



= 0 (5.54)

soit :

(σ_xx−σ_n) det

[−σ_n 0 0 −σ_n

]

−σ_xy det

[σ_xy σ_xz 0 −σ_n

]

+σ_xz det

[σ_xy σ_xz

−σ_n 0 ]

= 0 (5.55) d’où le polynôme caractéristique :

P(σn) =σ³_n−σxxσ²_n−(σ²_xy+σ²_xz)σn= 0 (5.56) On en d´eduit :

– les contraintes principales : σ₃= 0 , σ1

σ₂ }

= σxx

2 ±1 2

√σ²_xx+ 4τ² avec τ²=σ_xy² +σ_xz² (5.57)

Remarque : on a la relation :

σ2 ≤σ3= 0≤σ1 (5.58)

Figure 48 – Cercles de Mohr des contraintes – la contrainte ´equivalente de Rankine :

σ_R= 1 2

(|σ_xx|+√

σ_xx² + 4τ² )

(5.59) – la contrainte ´equivalente de Von Mises :

σ_VM =√

σ_xx² + 3τ² (5.60)

– la contrainte ´equivalente de Tresca :

σT =√

σ²_xx+ 4τ² (5.61)

6 D´ epouillement des rosettes d’extensom´ etrie

6.1 Principe

Une rosette d’extensométrie est un ensemble de trois jauges de déformation collées en un point M d’un solide et faisant entre elles un angle égal àφ(figure 49). Dans la pratique, l’angleφest égal à 45 ou 120 degrés. Soient⃗a,⃗bet⃗c les vecteurs unitaires portés par les jauges.

Figure 49 – Rosette d’extensom´etrie

Soient⃗k le vecteur unitaire normal en M à la surface, dirigé vers l’extérieur du solide et {M;⃗ı, ⃗ȷ, ⃗k} le repère orthonormé tel que⃗ı=⃗a.

La direction⃗k est direction principale et, en l’absence de pression extérieure, la contrainte principale correspondante est nulle : enM l’état de contrainte est plan. Le tenseur des contraintes et le tenseur des déformations ont pour expression dans le repère{M;⃗ı, ⃗ȷ, ⃗k} :

avec les relations de comportement (en l’absence de gradient thermique) : σ_xx= E

oùE etν sont les caractéristiques élastiques du matériau.

La mesure de l’allongement unitaire dans les trois directions⃗a,⃗bet⃗c :

εa=ε(M, ⃗a) , ε_b=ε(M,⃗b) , εc=ε(M, ⃗c) (6.3) donne trois équations qui, ajoutées aux quatre relations (6.2), permet la détermination de l’état de déformation (4 inconnues) et de l’état de contrainte (3 inconnues) en M.

Les composantes des vecteurs⃗a,⃗b et⃗csont : {a}=

L’allongement unitaire enM dans les trois directions⃗a,⃗bet⃗c est égal à (équation 2.77) :

ε(M, ⃗n=⃗a,⃗b, ⃗c) ={n}^T[ε(M)]{n}=n²_xε_xx+n²_yε_yy+n_xn_yγ_xy (6.5)

– les composantes ε_xx,ε_yy etγ_xy du tenseur des d´eformations :











ε_xx=ε_a

εyy= εa(2 cos²(φ)−1) + 2ε_b(1−2 cos²(φ)) +εc

2 sin²(φ)

γxy = εa(1−4 cos²(φ)) + 4 cos²(φ)εb−εc

2 cos(φ) sin(φ)

(6.7)

– les composantes du tenseur des contraintes et la d´eformation εzz (´equation 6.2) – les contraintes principales :

σ₁ σ2

}

= σ_xx+σ_yy

2 ±1

√

(σ_xx−σ_yy)²+ 4σ_xy² , σ₃ =σ_zz = 0 (6.8) – les d´eformations principales :

ε1 = 1

E(σ1−ν σ2) , ε2 = 1

E (σ2−ν σ1) , ε3=εzz =−ν

E (σ1+σ2) (6.9) – la position angulaireθ₁ de la direction principale⃗n₁ par rapport `a l’axe⃗ı=⃗a:

tanθ1 = σ1−σxx

σxy

= 2ε1−εxx

γxy

(6.10)

6.2 Rosette `a 45 degr´es

Figure 50 – Rosette à 45 degrés L’équation (6.6) se réduit à :









ε_a=ε_xx ε_b= 1

2ε_xx+ 1

2ε_yy+1 2γ_xy ε_c=ε_yy

(6.11)

d’o`u

ε_xx =ε_a , ε_yy =ε_c , γ_xy = 2ε_b−ε_a−ε_c (6.12) et

εzz =− ν

1−ν(εa+εc) (6.13)

6.3 Rosette `a 120 degr´es

Figure 51– Rosette à 120 degrés L’équation (6.6) se réduit à :











ε_a=ε_xx ε_b = 1

4ε_xx+3 4ε_yy−

√3 4 γ_xy ε_c= 1

4ε_xx+3 4ε_yy+

√3 4 γ_xy

(6.14)

d’o`u

εxx =εa , εyy = 1

3(2ε_b+ 2εc−εa) , γxy = 2

√3(εc−ε_b) (6.15) et

εzz =−2 3

1−ν (εa+εb+εc) (6.16)

6.4 Remarque : utilisation du cercle de Mohr des d´eformations

Les facettes⃗a,⃗bet⃗cappartiennent `a la famille de facettes passant par la direction principale⃗n3 =⃗k.

En utilisant la repr´esentation de Mohr des d´eformations (§2.8.5), on a :





εa=d+r cos(2θ1) ε_b =d+r cos(2 (θ₁−φ)) ε_c=d+r cos(2 (θ₁−2φ))

(6.17)

o`u :

d= (ε₁+ε₂)/2 , r = 1

2(ε₁−ε₂) (6.18)

Ces trois équations permettent le calcul ded,r etθ₁, puisε₁=d+r et ε₂ =d−r : Rosette à 45 degrés: les équations (6.17) s’écrivent :





ε_a=d+r cos(2θ₁)

ε_b =d+r cos(2 (θ₁−π/4)) =d+r sin(2θ₁) εc=d+r cos(2 (θ1−π/2)) =d−r cos(2θ1)

(6.19)

d’o`u :

d= (ε_a+ε_c)/2 , r cos(2θ₁) =ε_a−d , r sin(2θ₁) =ε_b−d (6.20)

Figure 52 – Cercle de Mohr : rosette à 45 degrés Rosette à 120 degrés: les équations (6.17) s’écrivent :





ε_a =d+r cos(2θ₁)

ε_b =d+r cos(2 (θ₁−2π/3)) =d−r cos(2θ₁)/2−√

3r sin(2θ₁)/2 ε_c=d+r cos(2 (θ₁−4π/3)) =d−r cos(2θ₁)/2 +√

3r sin(2θ₁)/2

(6.21)

d’o`u :

d= (εa+ε_b+εc)/3 (6.22a)

r cos(2θ₁) =ε_a−d , r sin(2θ₁) = (ε_c−ε_b)/√

3 (6.22b)

Figure 53 – Cercle de Mohr : rosette `a 120 degr´es

A Produit scalaire, produit vectoriel et produit mixte

A.1 Produit scalaire

On appelle produit scalaire des deux vecteurs non nulsU⃗ etV⃗ (figure 54) le nombre réel noté U⃗ ·V⃗ défini par :

U⃗ ·V⃗ =∥U⃗∥ ∥V⃗∥cosU ⃗⃗dV (A.1) SiU⃗ ouV⃗ est nul, U⃗ ·V⃗ = 0.

Figure 54 – Produit scalaire des vecteurs U⃗ et V⃗

Si le produit scalaire de deux vecteurs non nuls est nul, ces deux vecteurs sont orthogonaux.

Figure 55 – Projection d’un vecteur sur un axe

SoientV⃗ un vecteur quelconque et⃗nun vecteur unitaire (ﬁgure 55). La projection deV⃗ sur la droite ∆ port´ee par⃗nest le vecteur :

V⃗_n=V_n⃗n avec V_n=⃗n·V⃗ (A.2) SoientU⃗,V⃗,W⃗ trois vecteurs etλun nombre r´eel. On a :

U⃗ ·V⃗ =V⃗ ·U⃗ (A.3)

U⃗ ·(V⃗ +W⃗ ) =U⃗ ·V⃗ +U⃗ ·W⃗ (A.4)

U⃗ ·(λ ⃗V) =λ(U⃗ ·V⃗) (A.5)

Si{U}^T={U_x, U_y, U_z}^Tet{V}^T={V_x, V_y, V_z}^Tsont respectivement les composantes des vecteursU⃗ etV⃗ dans le rep`ere orthonorm´e {⃗ı, ⃗ȷ, ⃗k}, on a :

U⃗ ·V⃗ =U_xV_x+U_yV_y+U_zV_z ={U}^T{V}={V}^T{U} (A.6) Remarque : la norme du vecteurU⃗ est ´egale `a :

∥U⃗∥=

√U⃗ ·U⃗ =

√

U_x²+U_y²+U_z² =

√{U}^T{U} ≥0 (A.7)

A.2 Produit vectoriel

Figure 56 – Produit vectoriel des vecteurs U⃗ et V⃗

On appelle produit vectoriel des deux vecteurs non nuls U⃗ et V⃗ (figure 56) le vecteur noté U⃗ ∧V⃗ défini par :

U⃗ ∧V⃗ =A ⃗n (A.8)

tel que :

– ⃗n est unitaire (∥⃗n∥= 1) et perpendiculaire aux vecteurs U⃗ etV⃗. – ⃗n forme avec les vecteursU⃗ etV⃗ un tri`edre direct.

– A est l’aire du parall´elogramme construit surU⃗ etV⃗.

Remarque :

∥U⃗ ∧V⃗∥=∥U⃗∥ ∥V⃗∥ |sinU ⃗⃗dV| (A.9)

SiU⃗ ouV⃗ est nul, U⃗ ∧V⃗ =⃗0.

Si le produit vectoriel de deux vecteurs non nuls est nul, ces deux vecteurs sont colin´eaires.

Soient U⃗,V⃗,W⃗ trois vecteurs etλun nombre r´eel. On a :

U⃗ ∧V⃗ =−V⃗ ∧U⃗ (A.10)

U⃗ ∧(V⃗ +W⃗ ) =U⃗ ∧V⃗ +U⃗ ∧W⃗ (A.11)

U⃗ ∧(λ ⃗V) =λ(U⃗ ∧V⃗) (A.12)

On en d´eduit :

U⃗ ∧(λ ⃗U) =⃗0 (A.13)

Si{U}^T ={Ux, Uy, Uz}^Tet{V}^T ={Vx, Vy, Vz}^Tsont respectivement les composantes des vecteursU⃗ etV⃗ dans le rep`ere orthonorm´e {⃗ı, ⃗ȷ, ⃗k}, on a :

{U} ∧ {V}=



 Ux

U_y U_z



∧



 Vx

V_y V_z



=





UyVz−UzVy

U_zV_x−U_xV_z U_xV_y−U_yV_x



 (A.14)

A.3 Produit mixte

On appelle produit mixte des trois vecteurs non nulsU⃗,V⃗ etW⃗ le scalaire noté (U , ⃗⃗ V , ⃗W) défini par : (U , ⃗⃗ V , ⃗W) =U⃗ ·(V⃗ ∧W⃗ ) (A.15)

Figure 57 – Produit mixte des vecteurs U⃗, V⃗ etW⃗

Si le trièdre formé par les vecteurs U⃗, V⃗ et W⃗ (figure 57) est direct, le produit mixte est égal au volume du parallélépipède construit sur ces vecteurs.

Les principales propri´et´es du produit mixte sont :

(U , ⃗⃗ V , ⃗W) =U⃗ ·(V⃗ ∧W⃗ ) = (U⃗ ∧V⃗)·W⃗ (A.16) (U , ⃗⃗ V , ⃗W) = (V , ⃗⃗ W , ⃗U) = (W , ⃗⃗ U , ⃗V) (A.17) (U , ⃗⃗ V , ⃗W) =−(V , ⃗⃗ U , ⃗W) =−(U , ⃗⃗ W , ⃗V) (A.18)

Si{U}^T ={Ux, Uy, Uz}^T,{V}^T ={Vx, Vy, Vz}^T et{W}^T ={Wx, Wy, Wz}^T sont respectivement les composantes des vecteursU⃗,V⃗ etW⃗ dans le rep`ere orthonorm´e {⃗ı, ⃗ȷ, ⃗k}, on a :

(U , ⃗⃗ V , ⃗W) = det[

{U} {V} {W}]

= det



U_x V_x W_x U_y V_y W_y Uz Vz Wz



 (A.19)

B Valeurs propres et vecteurs propres d’une matrice sym´ etrique ` a coeﬃcients r´ eels

Soit [S] une matrice symétrique à coefficients réels de dimensionn.

B.1 D´eﬁnitions

λi est valeur propre de la matrice [S] si :

[S]{u_i}=λ_i{u_i} , {u_i} ̸={0} (B.1) o`u{ui} est le vecteur propre associ´e que nous choisirons unitaire :{ui}^T{ui}= 1.

L’´equation (B.1) peut s’´ecrire :

([S]−λi[ I ]){ui}={0} , {ui} ̸={0} (B.2) où [ I ] est la matrice unité de dimension n. Cette ´equation n’a de solution autre que la solution triviale{ui}={0}que si et seulement si la matrice [S]−λi[ I ] est singulière : les valeurs propres sont les solutions de l’équation polynomiale de degrén à coefficients réels :

P(λi) = det([S]−λi[ I ]) = 0 (B.3)

La matrice [S] a donc n valeurs propres réelles ou imaginaires conjuguées. P(λ_i) est le polynôme caractéristique de la matrice [S].

B.2 Propri´et´es

Les principales propriétés des valeurs propres et des vecteurs propres sont : – Les nvaleurs propres sont réelles distinctes ou non.

Soitλ_iune valeur propre imaginaire et{u_i}le vecteur propre associé. La matrice [S] étant réelle, λ^∗_i imaginaire conjugué deλi est valeur propre. Le vecteur propre associé {u^∗_i} est imaginaire conjugué de {u_i}. On a :

[S]{ui}=λi{ui} , [S]{u^∗_i}=λ^∗_i {u^∗_i} (B.4) Multiplions la première de ces deux équations par {u^∗_i}^T et la deuxième par{u_i}^T. Il vient :

{u^∗_i}^T[S]{ui}=λi{u^∗_i}^T{ui} (B.5) {u_i}^T[S]{u^∗_i}=λ^∗_i {u_i}^T{u^∗_i}=λ^∗_i {u^∗_i}^T{u_i}

={u^∗_i}^T[S]{u_i} (la matrice [S] est sym´etrique) (B.6)

d’o`u :

0 = (λ_i−λ^∗_i){u^∗_i}^T{u_i} (B.7) Si{ui} ̸={0}, on en d´eduitλi =λ^∗_i : la valeur propre λi est r´eelle.

– Si deux valeurs propres λ_i etλ_j sont distinctes, les vecteurs propres associ´es {u_i} et{u_j} sont orthogonaux.

En eﬀet, on a :

[S]{ui}=λi{ui} , [S]{uj}=λj{uj} (B.8) Multiplions la première de ces deux équations par{u_j}^T et la deuxième par{u_i}^T. Il vient :

{u_j}^T[S]{u_i}=λ_i{u_j}^T{u_i} (B.9) {ui}^T[S]{uj}=λj{ui}^T{uj}=λj{uj}^T{ui}

={uj}^T[S]{ui} (la matrice [S] est sym´etrique) (B.10) d’o`u :

0 = (λ_i−λ_j){u_j}^T{u_i} (B.11) Siλi ̸=λj, on en d´eduit {uj}^T{ui}= 0 : les vecteurs{ui} et{uj}sont orthogonaux.

– On peut toujours trouver un ensemble de n vecteurs orthogonaux{u₁}, . . . ,{u_n} tels que :

[S] [U] = [U] [Λ] (B.12)

o`u

[U] =[

{u₁} {u₂} . . . {u_n}]

, [U]^T[U] = [U] [U]^T= [ I ] (B.13) et

[Λ] =







λ1 0

λ₂ . ..

0 λ_n





 (B.14)

– La somme des valeurs propres est ´egale `a la trace de la matrice [S] :

λ1+λ2+· · ·+λn= tr [S] (B.15) – Le produit des valeurs propres est ´egal au d´eterminant de la matrice [S] :

λ1λ2 · · · λn= det [S] (B.16) B.3 D´ecomposition spectrale

La matrice [S] s’´ecrit en fonction des valeurs propres et des vecteurs propres : [S] = [U] [Λ] [U]^T=

∑n i=1

λi{ui}{ui}^T ,

∑n i=1

{ui}{ui}^T= [ I ] (B.17) Remarque : la matrice [S]^p :

[S]^p= [S][S]. . .[S]

| {z }

pfois

(B.18)

a les mˆemes vecteurs propres que la matrice [S] :

B.4 Valeurs et vecteurs propres d’une matrice sym´etrique de dimension deux

Consid´erons la matrice sym´etrique [S] : [S] =

[Sxx Sxy

Sxy Syy

]

, ( [S]^T = [S] ) (B.21)

Les valeurs propresS_n=1,2 et les vecteurs propres {n} sont les solutions de l’´equation : [S]{n}=S_n{n} , Cette ´equation n’a de solution autre que la solution triviale nx =ny = 0 que si et seulement si :

det

[Sxx−Sn Sxy

Sxy Syy−Sn

]

= 0 (B.24)

d’o`u l’´equation polynomiale enS_n :

S_n² −(S_xx+S_yy)

et les valeurs propres :

S₁ Les vecteurs propres associ´es sont :

{n1}= Remarque : les deux directions principales sont orthogonales :

|θ1−θ2 |= π

2 , tanθ1 tanθ2 =−1 (B.29)

C D´ epouillement des rosettes d’extensom´ etrie : programme Scilab 5.3.1

// D´e p o u i l l e m e n t d ’ une r o s e t t e d ’ e x t e n s o m ´e t r i e // a n g l e de l a r o s e t t e : 4 5 , 60 ou 120 d e g r ´e s p h i =45

i f p h i ˜ = [ 4 5 , 6 0 , 1 2 0 ]

then halt( ’ p h i d o i t ê t r e é g a l à 4 5 , 60 ou 120 d e g r é s ’ ) end

// m a t´e r i a u

E=210000 // module de Young

nu =0.27 // c o e f f i c i e n t de P o i s s o n // a l l o n g e m e n t s u n i t a i r e s mesur´es e p s a =−100E−6

e p s b=−450E−6 e p s c =400E−6

// c a l c u l d e s d ´e f o r m a t i o n s e x x , e y y , e z z e t g x y // l ’ a x e x e s t l ’ a x e de l a j a u g e a

r p h i=p h i∗%pi / 1 8 0 ; // a n g l e en r a d i a n s c=cos( r p h i ) ; s=s i n( r p h i ) ;

exx=e p s a ;

eyy=( e p s a∗( 2∗c ˆ2−1)+2∗e p s b∗(1−2∗c ˆ 2 )+e p s c ) / ( 2∗s ˆ 2 ) ; gxy=( e p s a∗(1−4∗c ˆ 2 ) +4∗c ˆ2∗epsb−e p s c ) / ( 2∗s∗c ) ;

e z z=−nu∗( exx+eyy ) /(1−nu ) ;

// c a l c u l d e s c o n t r a i n t e s s x x , s y y e t s x y c=E/(1−nu ˆ 2 ) ;

sxx=c∗( exx+nu∗eyy ) ; syy=c∗( eyy+nu∗exx ) ;

G=E/2/(1+ nu ) ; // module d ’ ´e l a s t i c i t ´e t r a n s v e r s a l sxy=G∗gxy ;

// t e n s e u r d e s c o n t r a i n t e s

sigma =[ sxx , sxy , 0 ; sxy , syy , 0 ; 0 , 0 , 0 ] // c o n t r a i n t e s p r i n c i p a l e s

d = 0 . 5∗( sxx+syy ) ;

r =0.5∗sqrt( ( sxx−syy ) ˆ2+4∗sxy ˆ 2 ) ; s i g 1=d+r

s i g 2=d−r s i g 3 =0

// a n g l e en d e g r ´e s de l a d i r e c t i o n p r i n c i p a l e n1 a v e c l a j a u g e a t 1=atan( ( s i g 1−sxx ) / sxy )∗180/ %pi

// t e n s e u r d e s d ´e f o r m a t i o n s

e p s i l o n =[ exx , 1 / 2∗gxy , 0 ; 1 / 2∗gxy , eyy , 0 ; 0 , 0 , e z z ] // d ´e f o r m a t i o n s p r i n c i p a l e s

e p s 1 =( s i g 1−nu∗s i g 2 ) /E e p s 2 =( s i g 2−nu∗s i g 1 ) /E e p s 3=e z z

// d´e f o r m a t i o n v o l u m i q u e dV/V epsV=trace( e p s i l o n )

// c o n t r a i n t e s de Von Mises e t T r es c a Von Mises=sqrt( s i g 1 ˆ2+ s i g 2 ˆ2−s i g 1∗s i g 2 ) T r e s c a=max( s i g 1 , s i g 2 , 0 )−min( s i g 1 , s i g 2 , 0 ) // c i s a i l l e m e n t maximal

tau max =0.5∗T r e s c a

// é n e r g i e de dé f o r m a t i o n p a r u n i t é de volume en MPa e n e r g i e = 0 . 5∗( sxx∗exx+syy∗eyy+sxy∗gxy )

// ou

e n e r g i e =0.5∗trace( sigma∗e p s i l o n )

// é n e r g i e de dé f o r m a t i o n p a r u n i t é de volume en J/m3 e n e r g i e=e n e r g i e∗1 e6

// ´e d i t i o n s =====================================================

p r i n t f( ’\n\n R o s e t t e d ’ ’ e x t e n s o m é t r i e à %3d d e g r é s\n\n ’ , p h i ) ; p r i n t f( ’ Module de Young : %8 . 0 f MPa\n\n ’ ,E)

p r i n t f( ’ C o e f f i c i e n t de P o i s s o n : %5 . 2 f\n\n ’ , nu )

p r i n t f( ’ Mesures : e p s a = %5 . 0 f E−6 , e p s b = %5 . 0 f E−6 , e p s c = %5 . 0 f E−6\n\n ’ , e p s a∗1E6 , e p s b∗1E6 , e p s c∗1E6 )

p r i n t f( ’ D´e f o r m a t i o n s p r i n c i p a l e s : e p s 1 = %5 . 0 f E−6 , e p s 2 = %5 . 0 f E−6 , e p s 3

= %5 . 0 f E−6\n\n ’ , e p s 1∗1E6 , e p s 2∗1E6 , e p s 3∗1E6 )

p r i n t f( ’ D´e f o r m a t i o n v o l u m i q u e : epsV = %5 . 0 f E−6\n\n ’ , epsV∗1E6 )

p r i n t f( ’ C o n t r a i n t e s p r i n c i p a l e s : s i g 1 = %5 . 2 f MPa , s i g 2 = %5 . 2 f MPa , s i g 3 = 0\n\n ’ , s i g 1 , s i g 2 )

p r i n t f( ’ Angle de l a d i r e c t i o n p r i n c i p a l e n1 a v e c l a j a u g e a : %5 . 2 f d e g r ´e s\n\n ’ , t 1 )

p r i n t f( ’ C o n t r a i n t e s de Von M i s e s = %5 . 2 f MPa\n\n ’ , Von Mises ) p r i n t f( ’ C o n t r a i n t e s de T r e s c a = %5 . 2 f MPa\n\n ’ , T r e s c a )

p r i n t f( ’ É n e r g i e de dé f o r m a t i o n par u n i t é de volume : %6 . 0 f J /m3\n\n ’ , e n e r g i e )

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