Propri´ et´ es - YvesDebard ´Elasticit´e

U_x V_x W_x U_y V_y W_y Uz Vz Wz



 (A.19)

B Valeurs propres et vecteurs propres d’une matrice sym´ etrique ` a coeﬃcients r´ eels

Soit [S] une matrice symétrique à coefficients réels de dimensionn.

B.1 D´eﬁnitions

λi est valeur propre de la matrice [S] si :

[S]{u_i}=λ_i{u_i} , {u_i} ̸={0} (B.1) o`u{ui} est le vecteur propre associ´e que nous choisirons unitaire :{ui}^T{ui}= 1.

L’´equation (B.1) peut s’´ecrire :

([S]−λi[ I ]){ui}={0} , {ui} ̸={0} (B.2) où [ I ] est la matrice unité de dimension n. Cette ´equation n’a de solution autre que la solution triviale{ui}={0}que si et seulement si la matrice [S]−λi[ I ] est singulière : les valeurs propres sont les solutions de l’équation polynomiale de degrén à coefficients réels :

P(λi) = det([S]−λi[ I ]) = 0 (B.3)

La matrice [S] a donc n valeurs propres réelles ou imaginaires conjuguées. P(λ_i) est le polynôme caractéristique de la matrice [S].

B.2 Propri´et´es

Les principales propriétés des valeurs propres et des vecteurs propres sont : – Les nvaleurs propres sont réelles distinctes ou non.

Soitλ_iune valeur propre imaginaire et{u_i}le vecteur propre associé. La matrice [S] étant réelle, λ^∗_i imaginaire conjugué deλi est valeur propre. Le vecteur propre associé {u^∗_i} est imaginaire conjugué de {u_i}. On a :

[S]{ui}=λi{ui} , [S]{u^∗_i}=λ^∗_i {u^∗_i} (B.4) Multiplions la première de ces deux équations par {u^∗_i}^T et la deuxième par{u_i}^T. Il vient :

{u^∗_i}^T[S]{ui}=λi{u^∗_i}^T{ui} (B.5) {u_i}^T[S]{u^∗_i}=λ^∗_i {u_i}^T{u^∗_i}=λ^∗_i {u^∗_i}^T{u_i}

={u^∗_i}^T[S]{u_i} (la matrice [S] est sym´etrique) (B.6)

d’o`u :

0 = (λ_i−λ^∗_i){u^∗_i}^T{u_i} (B.7) Si{ui} ̸={0}, on en d´eduitλi =λ^∗_i : la valeur propre λi est r´eelle.

– Si deux valeurs propres λ_i etλ_j sont distinctes, les vecteurs propres associ´es {u_i} et{u_j} sont orthogonaux.

En eﬀet, on a :

[S]{ui}=λi{ui} , [S]{uj}=λj{uj} (B.8) Multiplions la première de ces deux équations par{u_j}^T et la deuxième par{u_i}^T. Il vient :

{u_j}^T[S]{u_i}=λ_i{u_j}^T{u_i} (B.9) {ui}^T[S]{uj}=λj{ui}^T{uj}=λj{uj}^T{ui}

={uj}^T[S]{ui} (la matrice [S] est sym´etrique) (B.10) d’o`u :

0 = (λ_i−λ_j){u_j}^T{u_i} (B.11) Siλi ̸=λj, on en d´eduit {uj}^T{ui}= 0 : les vecteurs{ui} et{uj}sont orthogonaux.

– On peut toujours trouver un ensemble de n vecteurs orthogonaux{u₁}, . . . ,{u_n} tels que :

[S] [U] = [U] [Λ] (B.12)

o`u

[U] =[

{u₁} {u₂} . . . {u_n}]

, [U]^T[U] = [U] [U]^T= [ I ] (B.13) et

[Λ] =







λ1 0

λ₂ . ..

0 λ_n





 (B.14)

– La somme des valeurs propres est ´egale `a la trace de la matrice [S] :

λ1+λ2+· · ·+λn= tr [S] (B.15) – Le produit des valeurs propres est ´egal au d´eterminant de la matrice [S] :

λ1λ2 · · · λn= det [S] (B.16) B.3 D´ecomposition spectrale

La matrice [S] s’´ecrit en fonction des valeurs propres et des vecteurs propres : [S] = [U] [Λ] [U]^T=

∑n i=1

λi{ui}{ui}^T ,

∑n i=1

{ui}{ui}^T= [ I ] (B.17) Remarque : la matrice [S]^p :

[S]^p= [S][S]. . .[S]

| {z }

pfois

(B.18)

a les mˆemes vecteurs propres que la matrice [S] :

B.4 Valeurs et vecteurs propres d’une matrice sym´etrique de dimension deux

Consid´erons la matrice sym´etrique [S] : [S] =

[Sxx Sxy

Sxy Syy

]

, ( [S]^T = [S] ) (B.21)

Les valeurs propresS_n=1,2 et les vecteurs propres {n} sont les solutions de l’´equation : [S]{n}=S_n{n} , Cette ´equation n’a de solution autre que la solution triviale nx =ny = 0 que si et seulement si :

det

[Sxx−Sn Sxy

Sxy Syy−Sn

]

= 0 (B.24)

d’o`u l’´equation polynomiale enS_n :

S_n² −(S_xx+S_yy)

et les valeurs propres :

S₁ Les vecteurs propres associ´es sont :

{n1}= Remarque : les deux directions principales sont orthogonales :

|θ1−θ2 |= π

2 , tanθ1 tanθ2 =−1 (B.29)

C D´ epouillement des rosettes d’extensom´ etrie : programme Scilab 5.3.1

// D´e p o u i l l e m e n t d ’ une r o s e t t e d ’ e x t e n s o m ´e t r i e // a n g l e de l a r o s e t t e : 4 5 , 60 ou 120 d e g r ´e s p h i =45

i f p h i ˜ = [ 4 5 , 6 0 , 1 2 0 ]

then halt( ’ p h i d o i t ê t r e é g a l à 4 5 , 60 ou 120 d e g r é s ’ ) end

// m a t´e r i a u

E=210000 // module de Young

nu =0.27 // c o e f f i c i e n t de P o i s s o n // a l l o n g e m e n t s u n i t a i r e s mesur´es e p s a =−100E−6

e p s b=−450E−6 e p s c =400E−6

// c a l c u l d e s d ´e f o r m a t i o n s e x x , e y y , e z z e t g x y // l ’ a x e x e s t l ’ a x e de l a j a u g e a

r p h i=p h i∗%pi / 1 8 0 ; // a n g l e en r a d i a n s c=cos( r p h i ) ; s=s i n( r p h i ) ;

exx=e p s a ;

eyy=( e p s a∗( 2∗c ˆ2−1)+2∗e p s b∗(1−2∗c ˆ 2 )+e p s c ) / ( 2∗s ˆ 2 ) ; gxy=( e p s a∗(1−4∗c ˆ 2 ) +4∗c ˆ2∗epsb−e p s c ) / ( 2∗s∗c ) ;

e z z=−nu∗( exx+eyy ) /(1−nu ) ;

// c a l c u l d e s c o n t r a i n t e s s x x , s y y e t s x y c=E/(1−nu ˆ 2 ) ;

sxx=c∗( exx+nu∗eyy ) ; syy=c∗( eyy+nu∗exx ) ;

G=E/2/(1+ nu ) ; // module d ’ ´e l a s t i c i t ´e t r a n s v e r s a l sxy=G∗gxy ;

// t e n s e u r d e s c o n t r a i n t e s

sigma =[ sxx , sxy , 0 ; sxy , syy , 0 ; 0 , 0 , 0 ] // c o n t r a i n t e s p r i n c i p a l e s

d = 0 . 5∗( sxx+syy ) ;

r =0.5∗sqrt( ( sxx−syy ) ˆ2+4∗sxy ˆ 2 ) ; s i g 1=d+r

s i g 2=d−r s i g 3 =0

// a n g l e en d e g r ´e s de l a d i r e c t i o n p r i n c i p a l e n1 a v e c l a j a u g e a t 1=atan( ( s i g 1−sxx ) / sxy )∗180/ %pi

// t e n s e u r d e s d ´e f o r m a t i o n s

e p s i l o n =[ exx , 1 / 2∗gxy , 0 ; 1 / 2∗gxy , eyy , 0 ; 0 , 0 , e z z ] // d ´e f o r m a t i o n s p r i n c i p a l e s

e p s 1 =( s i g 1−nu∗s i g 2 ) /E e p s 2 =( s i g 2−nu∗s i g 1 ) /E e p s 3=e z z

// d´e f o r m a t i o n v o l u m i q u e dV/V epsV=trace( e p s i l o n )

// c o n t r a i n t e s de Von Mises e t T r es c a Von Mises=sqrt( s i g 1 ˆ2+ s i g 2 ˆ2−s i g 1∗s i g 2 ) T r e s c a=max( s i g 1 , s i g 2 , 0 )−min( s i g 1 , s i g 2 , 0 ) // c i s a i l l e m e n t maximal

tau max =0.5∗T r e s c a

// é n e r g i e de dé f o r m a t i o n p a r u n i t é de volume en MPa e n e r g i e = 0 . 5∗( sxx∗exx+syy∗eyy+sxy∗gxy )

// ou

e n e r g i e =0.5∗trace( sigma∗e p s i l o n )

// é n e r g i e de dé f o r m a t i o n p a r u n i t é de volume en J/m3 e n e r g i e=e n e r g i e∗1 e6

// ´e d i t i o n s =====================================================

p r i n t f( ’\n\n R o s e t t e d ’ ’ e x t e n s o m é t r i e à %3d d e g r é s\n\n ’ , p h i ) ; p r i n t f( ’ Module de Young : %8 . 0 f MPa\n\n ’ ,E)

p r i n t f( ’ C o e f f i c i e n t de P o i s s o n : %5 . 2 f\n\n ’ , nu )

p r i n t f( ’ Mesures : e p s a = %5 . 0 f E−6 , e p s b = %5 . 0 f E−6 , e p s c = %5 . 0 f E−6\n\n ’ , e p s a∗1E6 , e p s b∗1E6 , e p s c∗1E6 )

p r i n t f( ’ D´e f o r m a t i o n s p r i n c i p a l e s : e p s 1 = %5 . 0 f E−6 , e p s 2 = %5 . 0 f E−6 , e p s 3

= %5 . 0 f E−6\n\n ’ , e p s 1∗1E6 , e p s 2∗1E6 , e p s 3∗1E6 )

p r i n t f( ’ D´e f o r m a t i o n v o l u m i q u e : epsV = %5 . 0 f E−6\n\n ’ , epsV∗1E6 )

p r i n t f( ’ C o n t r a i n t e s p r i n c i p a l e s : s i g 1 = %5 . 2 f MPa , s i g 2 = %5 . 2 f MPa , s i g 3 = 0\n\n ’ , s i g 1 , s i g 2 )

p r i n t f( ’ Angle de l a d i r e c t i o n p r i n c i p a l e n1 a v e c l a j a u g e a : %5 . 2 f d e g r ´e s\n\n ’ , t 1 )

p r i n t f( ’ C o n t r a i n t e s de Von M i s e s = %5 . 2 f MPa\n\n ’ , Von Mises ) p r i n t f( ’ C o n t r a i n t e s de T r e s c a = %5 . 2 f MPa\n\n ’ , T r e s c a )

p r i n t f( ’ É n e r g i e de dé f o r m a t i o n par u n i t é de volume : %6 . 0 f J /m3\n\n ’ , e n e r g i e )

R´ ef´ erences

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