Torseurs versels

a 2. La table 2 de [20] ainsi que [21] nous permettait alors d’en conclure queα(S) = 1/2.

Pour calculerβ(S), on utilise [36, proposition 7.1.2], qui fournitβ(S) = 2 dans le cas consid´er´e dans cet article.

7.2. Torseurs versels. D’apr`es [32, proposition 8.3] ou [19, proposi-tion 2.1], l’ensemble des classes d’isomorphisme de torseurs versels au-dessus deSposs´edant au moins un point rationnel est fini, ce qui permet d’exhiber une partition finie de l’ensemble des points rationnels deS, index´ee par toute famille de repr´esentants de ces classes d’isomorphisme. En contraste avec [7], il est plus d´elicat dans le cas de cet article de d´eterminer explicitement un tel syst`eme de repr´esentants.

On consid`ere l’ensemble B=

β∈Z²×Z[∆]²

τ(β3) =β4,∃(β₃⁰, n)∈Z² tels que β3β4 =β₃⁰n avec p

β₁β₂β₃⁰ ∈Z etn∈N_Q[i]/Q(Z[i])

ainsi que le sous-ensemble B_M^Σ des β ∈ B pour lesquels il existe (ε,m) dansΣ×M tels que

β₁ =ε₁m₁, β₂=ε₂m₂, β₃⁰ =ε₃m₃.

Notons que l’ensemble B_M^Σ est infini. Pour β ∈ B, on note T_β le sous-ensemble constructible de A¹⁰

Q = Spec (Q[X_i, Y_i |0≤i≤4]) d´efini par les deux ´equations quadratiques

φ^β₁ =φ^β₂ = 0 invariantes sous le groupe de Galois G avec

φ^β₁ =a2β1(X₁²+Y₁²)−a1β2(X₂²+Y₂²)

−∆12

∆₃₄

a4β3 X₃²+Y₃²+∆(X₄²+Y₄²) + 2

√

∆(X3X4+Y3Y4) +a₃β₄ X₃²+Y₃²+∆(X₄²+Y₄²)−2√

∆(X₃X₄+Y₃Y₄)) , φ^β₂ =b₂β₁(X₁²+Y₁²)−b₁β₂(X₂²+Y₂²)

−∆₁₂

∆34

b₄β₃ X₃²+Y₃²+∆(X₄²+Y₄²) + 2√

∆(X₃X₄+Y₃Y₄) +b3β4 X₃²+Y₃²+∆(X₄²+Y₄²)−2

√

∆(X3X4+Y3Y4) , et les conditions

∀i6=j∈J0,2K

2, ((Xi, Yi),(Xj, Yj))6= ((0,0),(0,0)),

∀i∈J0,2K, ((Xi, Yi),(X3, Y3, X4, Y4))6= ((0,0),(0,0,0,0)).

D´efinissons `a pr´esent un morphismeπ_β :T_β →S. Pour ce faire, comme dans [7, section 4], il suffit de d´efinir un morphisme ˆπ_β :T_β → T_spl. Consid´erons alors une extension finie kde Qet ((xi, yi))0≤i≤4 dansT_β(k). Il existe alors un couple (u, v)∈k²\ {(0,0)}tel que

u= 1

∆₁₂ b₂β₁(x²₁+y₁²)−b₁β₂(x²₂+y²₂)

= 1

∆34

a₄β₃ x²₃+y₃²+∆(x²₄+y₄²) + 2√

∆(x₃x₄+y₃y₄) +a3β4 x²₃+y₃²+∆(x²₄+y₄²)−2

√

∆(x3x4+y3y4) et

v= 1

∆₁₂ a₂β₁(x²₁+y₁²)−a₁β₂(x²₂+y₂²)

= 1

∆34

b₄β₃ x²₃+y²₃+∆(x²₄+y₄²) + 2√

∆(x₃x₄+y₃y₄) +b3β4 x²₃+y₃²+∆(x²₄+y₄²)−2

√

∆(x3x4+y3y4)

tels que

F1(u, v) =β1(x²₁+y₁²), F2(u, v) =β2(x²₂+y²₂),

F₃(u, v) =β₃β₄[(x²₃−y₃²−∆(x²₄−y₄²))²+ (x₃y₃−∆y₃y₄)²].

On remarque en particulier que la quantit´e F₃(u, v)/(β₃β₄) est bien une somme de deux carr´es, mais une somme de deux carr´es particuli`ere puisqu’il s’agit d’une norme de L sur Q. On note alors αβ la racine carr´ee positive deβ<sub>1</sub>β<sub>2</sub>β<sub>3</sub><sup>0</sup> etn=z<sub>β</sub>z<sub>β</sub> et on consid`ere



















x+iy=z_βα_β(z0)²

4

Y

j=1

zj, x−iy=z_βα_β(z₀)²

4

Y

j=1

z_j, t=z₀z₀,

o`u l’on a pos´e z_j =x_j+iy_j pour j∈ {0,1,2} et

z₃= (x²₃−y²₃−∆(x²₄−y²₄)) +i(x₃y₃−∆y₃y₄).

Alors x² +y² = t²F(u, v) et (x, y, t, u, v) ∈ T_spl(k), ce qui permet de d´efinir π_β.

Lemme7.3. Pour toutβ∈ B, la vari´et´eT_β ´equip´ee du morphismeπβ et de l’action naturelle deT_NS d´efinie de la mˆeme fa¸con que dans[7, section 4]

est un torseur versel pourS et S(Q) = G

β∈B^Σ_M

π_β(T_β(Q)).

D´emonstration. On utilisera les notations ∆ij = Res(Fi, Fj) et ∆43 =

−∆₃₄qui g´en´eralisent (2.1) et (7.1). En particulier,∆_ij =−∆_ji. D’apr`es [7, section 4] et en utilisant le formalisme d´evelopp´e dans [33, exemple 2.4.3], on sait que surQ, un anneau de Cox deS est donn´e par

(7.5)

R=Q[Z_i⁺, Z_i⁻|0≤i≤4]/(∆jkZ_i⁺Z_i⁻+∆kiZ_j⁺Z_j⁻+∆ijZ_k⁺Z_k⁻)1≤i<j<k≤4

o`u div(Z<sub>0</sub><sup>±</sup>) =E<sup>±</sup> et div(Z<sub>i</sub><sup>±</sup>) =D<sup>±</sup><sub>i</sub> pour i∈J1,4K. Plus pr´ecis´ement, (∆jkZ<sub>i</sub><sup>+</sup>Z<sub>i</sub><sup>−</sup>+∆kiZ<sub>j</sub><sup>+</sup>Z<sub>j</sub><sup>−</sup>+∆ijZ<sub>k</sub><sup>+</sup>Z<sub>k</sub><sup>−</sup>)1≤i<j<k≤4 = (P1,2,3, P1,2,4) o`u l’on notePi,j,k la forme quadratique∆jkZ_i⁺Z_i⁻+∆kiZ_j⁺Z_j⁻+∆ijZ_k⁺Z_k⁻. Consid´erons alors les variables invariantes sous G suivantes :

Xk= Z_k⁺+Z_k⁻

2 , Yk = Z_k⁺−Z_k⁻ 2i

pour k∈ {0,1,2} et

X₃ = Z₃⁺+Z₄⁺+Z₃⁻+Z₄⁻

4 , Y₃ = Z₃⁺−Z₃⁻+Z₄⁺−Z₄⁻

4i ,

X4 = Z₃⁺−Z₄⁺+Z₃⁻−Z₄⁻ 4√

∆ , Y4 = Z₃⁺+Z₄⁻−Z₃⁻−Z₄⁺ 4√

∆i .

Par exemple, lorsque a⁰₃ 6= 0, puisque

φ^(1,1,1,1)₁ =a⁰₃P1,2,4−a⁰₄P1,2,3, φ^(1,1,1,1)₂ = 1

a⁰₃(∆34P1,2,3+b⁰₃φ^(1,1,1,1)₁ ), une descente galoisienne garantit qu’un anneau de Cox pour S sur Q est donn´e par

R=Q[Xi, Yi |0≤i≤4]/(φ^(1,1,1,1)₁ , φ^(1,1,1,1)₂ ).

Par [36, corollaire 2.3.9], un torseur versel est unique `a twist pr`es par un

´

el´ement de H¹(Q,Pic(S

Q)). On peut alors montrer en adaptant la preuve de [33, proposition 2.69] ou en utilisant [16, th´eor`eme 7.1] que pour tout cocycle c∈H¹(Q,Pic(S

Q)), l’anneau de Cox tordu par cest de la forme R^c=Q[Xi, Yi|0≤i≤4]/(φ^β₁, φ^β₂)

pour un certain β∈ B.

Finalement, il reste `a ´etablir le dernier point:

S(Q) = G

β∈B_M^Σ

π_β(T_β(Q)).

Soit P ∈S(Q). Il existe alors un unique (y, z, t, u, v)∈Z⁴ tel que















(y, z, t) = (u, v) = 1, t >0,

F₁(u, v)≥0,

t²F1(u, v)F2(u, v)F3(u, v) =y²+z²,

et πspl((y, z, t, u, v)) = P avec πspl l’application πspl : T_spl → S d´efinie dans [7, d´efinition 4.1]. Lorsque F₁(u, v)F₂(u, v)F₃(u, v) > 0, il existe un unique triplet (ε₁, ε₂, ε₃)∈ {−1,+1}³ avec ε₁ = 1 tel queε₁ε₂ε₃ = 1 et

εiFi(u, v)>0.

Le fait queF1(u, v)F2(u, v)F3(u, v) soit une somme de deux carr´es implique que, lorsquep≡3 (mod 4), on a

νp(F1(u, v)F2(u, v)F3(u, v)) =νp(F1(u, v)) +νp(F2(u, v)) +νp(F3(u, v))

≡0 (mod 2).

On pose alors

m1 = Y

p≡3 (mod 4) νp(F1(u,v))≡1 (mod 2)

p, m2 = Y

p≡3 (mod 4) νp(F2(u,v))≡1 (mod 2)

p, m3= Y

p≡3 (mod 4) νp(F3(u,v))≡1 (mod 2)

p,

de sorte que m_i|F_i(u, v). On en d´eduit que si p|m₁, une seule des deux valeurs νp(F2(u, v)) et νp(F3(u, v)) est impaire. Donc p|m1 et p|m2 par exemple, et puisque (u, v) = 1, cela implique quep|∆⁽³⁾₁₂, si bien que

m1|[∆⁽³⁾₁₂, ∆⁽³⁾₁₃], m2|[∆⁽³⁾₁₂, ∆⁽³⁾₂₃], m3|[∆⁽³⁾₁₃, ∆⁽³⁾₂₃], (mi, mj)|∆⁽³⁾_ij , et

ν_p

F_i(u, v) m_i

≡0 (mod 2)

pour tous les nombres premiers p ≡ 3 (mod 4). De plus, m1m2m3 est un carr´e. Si par exempleF₁(u, v) = 0, on noteε₁m₁ l’unique entier sans facteur carr´e tel que ε₁ε₂ε₃m₁m₂m₃ soit un carr´e.

On introduit alors β₁ =ε₁m₁ etβ₂ =ε₂m₂. On noteg le plus petit di-viseur deF₃(u, v) tel queε₃F₃(u, v)/gsoit une norme deL. N´ecessairement, en posant β₃⁰ =ε3m3, on a β₃⁰ |g et on peut ´ecrire g =β⁰₃n. Par d´efinition de β₃⁰, on constate alors que n est une norme sur Q[i]. De plus, g est une norme surK, on peut donc ´ecrire g =β₃β₄ =β⁰₃navec τ(β₃) =β₄. Ainsi, β∈ B^Σ_M et (y, z, t, u, v)∈πˆ_β(T_β). On peut montrer queβest unique comme dans la preuve de [7, proposition 4.7].

En notantX_β le sous-sch´ema de A⁸_Q= Spec(Q[X_i, Y_i|1≤i≤4]) d´efini par les ´equationsφ^β₁ etφ^β₂, on constate donc que T_β =X_β×A²_Q. En notant X_β^◦le compl´ementaire de l’origine dansX_β, on a alors un isomorphisme entre l’intersection compl`ete de A¹⁰_Q \ {0}donn´ee par les ´equations

F₁(u, v) =β₁(X₁²+Y₁²), F₂(u, v) =β₂(X₂²+Y₂²), F₃(u, v) =β₃β₄

X₃²−Y₃²−∆(X₄²−Y₄²)2

+ (X₃Y₃−∆X₄Y₄)² , et le sch´ema X_β^◦. Or, lors de la preuve de la conjecture de Manin, on s’est ramen´e `a un probl`eme de comptage sur certaines vari´et´es de la forme (2.4)

Fi(u, v) =βi(X_i²+Y_i²).

On n’a par cons´equent pas utilis´e une descente sur les torseurs versels mais sur des torseurs d’un type diff´erent que l’on explicite dans la section suivante lors de notre preuve de la conjecture de Manin. Cette description facilitera grandement le traitement de la constante afin d’´etablir que celle-ci corre-spond `a la pr´ediction de Peyre. De plus, il apparaˆıt difficilea priori d’obtenir un syst`eme de repr´esentants des classes d’isomorphisme de torseurs versels

et de d´ecrire pr´ecis´ement les ensembles du type π_β(T_β(Q)). En effet, pour ce faire, il faut caract´eriser les normes de l’extension biquadratique L.

Il est `a noter plus g´en´eralement que dans les cas des articles [7], [6] et [8], le mˆeme type de calculs fournissent que le seul cas de la conjecture de Manin pour les surfaces de Chˆatelet o`u l’on utilise une m´ethode de descente sur les torseurs versels est celui pour lequelFest scind´e. Dans tous les autres cas, on utilise une descente sur des torseurs d’un type diff´erent dont la construction est analogue `a celle de la section qui suit.

7.3. Les torseurs utilis´es dans la preuve de la conjecture de

Dans le document D´emonstration du Th´eor`eme 2.1 (Page 46-51)