7. La constante de Peyre
7.6. Fin de la preuve de la conjecture de Peyre
1 +χ(p) p
1−χ(p) p
−2
c1×V2(ε,m)V3(m) avec
c1 =X
d∈D
µ(d)r0(d)ϕ†(d) d
X
d,d0∈D3 d=d1d2d3,d0i|∆jk
µ(d01d02)µ(d03)V1(d,d0).
On a ici utilis´e la d´ecomposition en produit eul´erien π
8 =Y
p
1 +χ(p) p
1−χ(p) p
−2
.
La strat´egie pour conclure `a la validation de la conjecture de Peyre est alors, suivant [8, section 9.5], de d´ecomposer c0(ε,m) sous la forme
c0(ε,m) = 2πY
p
cp(ε,m)
et d’´etablir que cp(ε,m) =ωp(ε,m) pour tout nombre premier p.
7.6. Fin de la preuve de la conjecture de Peyre. On posec2(ε,m)
=V2(ε,m) de sorte quec2(ε,m) =ω2(ε,m). Dans le casp≡1 (mod 4), on pose δ0i=νp(d0i) et
N10 =ν1+δ1+δ20 +δ03,
N1 = max{N10, κ4+κ2+κ02, κ4+κ3+κ03, κ4+κ04, κ5+κ05}, N20 =ν2+δ2+δ10 +δ03,
N2 = max{N20, κ4+κ1+κ01, κ4+κ3+κ03, κ4+κ04, κ5+κ05}, N30 =ν3+δ3+δ10 +δ02,
N3 = max{N30, κ4+κ1+κ01, κ4+κ2+κ02, κ4+κ04}.
Puisquer0(p) = 2 et par d´efinition deϕ†, on a alors cp(ε,m) =
1− 1
p2
X
0≤δ≤1
− 2 p+ 1
δ
X
0≤δ1,δ2,δ3≤1 δ1+δ2+δ3=δ
fp(δ)
avec
Il s’agit `a pr´esent de remonter la formule d’´eclatement du Lemme 6.2 utilis´ee dans le passage aux torseurs. On distingue selon la congruence dep modulo 4. On commence par le casp≡1 (mod 4) et on ´etudie la quantit´e
Pour ce faire, on ne consid`ere dans un premier temps que la quantit´e fp0(δ,δ0) = X
On raisonne comme dans [8, section 9.5] et on utilise, pour a et b entiers naturels, la formule
X
κ,κ0≥0 κ+κ0≤min{a,b}
0≤κ0≤1
(−1)κ0
zκ = 1
zmin{a,b}.
On commence par se placer dans le cas d’un nombre premierp≡1 (mod 4) qui divise tous les r´esultants ∆ij. On obtient alors l’´egalit´e
fp0(δ,δ0) = X
ν∈N3
(ν1+ 1)(ν2+ 1)(ν3+ 1)ρ†(pN10, pN20, pN30;F1, F2, F3) C(δ, N10, N20, N30)2min{δ01+δ20,N10,N20,N30}p2(N10+N20+N30+1), o`u
C(δ, N10, N20, N30) = (3/8)min{δ,N10,N20,N30}2min{δ,N20,N30}+min{δ,N10,N30}+min{δ,N20,N30} et, lorsque (a1, a2, a3)∈N3,
ρ†(pa1, pa2, pa3;F1, F2, F3) = #
(u, v)∈(Z/pa1+a2+a3+1Z)2
paikFi(u, v), p-(u, v)
. Il reste `a voir sur quelsδ0 = (δ10, δ02, δ30) on somme. D’apr`es (7.15), on somme sur les triplets suivants:
(0,0,0), (0,0,1), (1,0,1), (0,1,1), (1,0,0), (0,1,0), si bien que
fp(δ) = X
ν∈N3
ρ†(pN100, pN200, pN300;F1, F2, F3)
C(δ, N100, N200, N300)p2(N100+N200+N300+1) (ν1+ 1)(ν2+ 1)(ν3+ 1)
−ν1ν2(ν3+ 1) +12ν1ν3(ν2−1) +12ν2ν3(ν1−1)
−12ν2ν3(ν1+ 1)−12ν1ν3(ν2+ 1)
= X
ν∈N3
(ν1+ν2+ν3+ 1) ρ†(pN100, pN200, pN300;F1, F2, F3) C(δ, N100, N200, N300)p2(N100+N200+N300+1),
avecNi00 =νi+δi. En remarquant que pourNi00fix´es, il y aC(δ, N100, N200, N300) tripletsδtels queNi00=νi+δi, on peut conclure exactement comme dans [8, section 9.5] que l’on obtient la quantit´e ad´equate.
Sans ˆetre compl`etement exhaustif, on traite ensuite un cas ´eloquent dont l’adaptation aux cas restants ne pose aucune difficult´e. Tout d’abord, on se place dans un cas o`u νp(∆12) = 0. Supposons alors par exemple queνp(∆13) = 0 et νp(∆23)≥1. Dans ce cas de figure, on a clairement
min{δ01+δ20, νp(∆12), N10, N20, N30}
= min{δ, νp(∆12), νp(∆13), νp(∆23), N10, N20, N30)}= 0,
et un examen des conditions sur lesδ0 dans la formule (7.15) montre que la somme sur les δ0 porte sur les triplets (0,0,0) et (1,0,0), si bien que
fp(δ) = X
ν∈N3
ρ†(pN10, pN20, pN30;F1, F2, F3) C0(δ, N10, N20, N30)p2(N10+N20+N30+1)
× (ν1+ 1)(ν2+ 1)(ν3+ 1)−ν2ν3(ν1+ 1) , o`u
C0(δ, N10, N20, N30) = 2min{δ,N20,N30}+min{δ,N10,N30}+min{δ,N20,N30}.
Mais, le fait que p ne divise ni ∆12 ni ∆13 implique que n´ecessairement ν1ν2 =ν1ν3= 0, de sorte que
(ν1+ 1)(ν2+ 1)(ν3+ 1)−ν2ν3(ν1+ 1) =ν1+ν2+ν3+ 1 +ν1ν2+ν1ν3
=ν1+ν2+ν3+ 1, et on peut `a nouveau conclure comme dans [8, section 9.5].
Pour finir, dans le cas p≡3 (mod 4), on a g(µ) = X
ν∈N3
ρ†(p2ν1+µ1, p2ν2+µ2, p2ν3+µ3;F1, F2, F3) p2(2ν1+2ν2+2ν3+1) ,
que l’on traite comme dans [8, section 9.5]. Cela permet finalement de con-clure `a l’´egalit´e
c0 = X
ε∈Σ m∈M
ω∞(ε,m)Y
p
ωp(ε,m) et ach`eve la preuve du fait que c0 =cS.
Remerciements. L’auteur tient ici `a exprimer toute sa gratitude `a son directeur de th`ese R´egis de la Bret`eche pour ses conseils, son soutien et ses relectures tout au long de ce travail, ainsi qu’`a Tim Browning, Cyril Demarche, Ulrich Derenthal, Dan Loughran, Emmanuel Peyre et Marta Pieropan pour de nombreuses discussions ´eclairantes.
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Kevin Destagnol
Institut de Math´ematiques de Jussieu-Paris Rive Gauche UMR 7586
Universit´e Paris Diderot-Paris 7 Case postale 6052
Bˆatiment Sophie Germain 75205 Paris Cedex 13, France E-mail: kevin.destagnol@imj-prg.fr
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