Tores complexes

Etant donn´ee une vari´et´e ab´elienne sur un corps fini _F

_q

avec q = p

e

, nous pouvons relever la vari´et´e

sur une extension alg´ebriqueK de_Q

_p

puis la plonger dans_C

_p

et utiliser le principe de Lefschetz. Nous

obtenons alors des r´esultats sur le relev´e de la vari´et´e dansK et par r´eduction moduloPles r´esultats se

transportent sur la vari´et´e originale sur_F

_q

. Ce principe de demonstration est applicable pour les vari´et´es

ordinaires. Il faut cependant faire attention `a avoir de bonnes propri´et´es de r´eduction modulop.

Par ailleurs, la majorit´e des r´esultats de cette th`ese sont applicables sur des corps de fonctions.

De ce fait nous pouvons consid´erer que les param`etres des courbes ou les coordonn´ees des points sont

des param`etres formels. Il faut cependant faire attention au fait que les corps de fonctions ne sont pas

obligatoirement parfaits.

2.3.2 Tores complexes

Cette section est bas´ee sur le chapitre 4 de [CS86] ´ecrit par Rosen.

Un tore complexe de dimensiong est le quotient de_C

g

par un r´eseau Λ. Il est clair que_C

g

/Λ est une

vari´et´e analytique compacte. Soit Λ

1

et Λ

2

deux r´eseaux de_C

g

. Siα∈Mat

_g×g

(_C) est telle queαΛ

1

⊂Λ

2

alors la multiplication parα,

φ

α

:

C

^g

/Λ

1

−→ _C

g

/Λ

2

z 7−→ αz mod Λ

2

,

est une application holomorphe entre les deux tores. Ce sont en fait les seules pr´eservant 0.

Propri´et´e 2.3.1. L’application

{α∈Mat

_g

(_C) αΛ

₁

⊂Λ

2}

−→ {φ: _C

g

/Λ

₁

→_C

g

/Λ

₂

holomorphe et telle queφ(0) = 0}

α 7−→ φ

_α

est une bijection.

L’´equivalent de la polarisation pour les tores est fourni par l’existence d’une forme hermitienne

particu-li`ere. Pr´ecisons la convention que nous utilisons pour les formes hermitiennes : ce sont des applicationsH

de_C

^g

×_C

g

dans_Cqui sont_C-lin´eaires par rapport `a la premi`ere variable et telle queH(x, y) =H(y, x^¯ ).

De ce fait elles sont anti-lin´eaires par rapport `a la deuxi`eme variable.

Une forme hermitienne H se d´ecompose en une partie r´eelle et une partie imaginaire : pour tout

vecteurs x, y de _C

^g

, nous avons H(x, y) = E(ix, v) +iE(x, y) o`u E = =(H) est une forme bilin´eaire

altern´ee `a valeurs r´eelles. Pour toutx, y, nous avons la relationE(ix, iy) =E(x, y).

D´efinition 2.3.2. SoitT =_C

^g

/Λ un tore et soit H une forme hermitienne sur ce tore. On dit que H

est une forme de Riemann si sa partie imaginaireE==(H) v´erifie E(Λ,Λ)⊂_Z.

Un tore est polaris´e s’il existe une forme de Riemann H non d´eg´en´er´ee dessus. Il est principalement

polaris´e si de plusPf(=(H)) = 1(o`uPf est le pfaffien).

Demander que Pf(=(H)) = 1 implique que E ==(H) est non d´eg´en´er´ee. On parle alors de forme

symplectique.

Matrice des p´eriodes

Pour tout r´eseau Λ ⊂ _C

g

, il existe une base de Λ sur _R constitu´ee de 2g vecteurs. Nous pouvons

´

ecrire le r´eseau Λ comme Λ = P_Z

2g

o`u P est une matrice de Mat

_g×2g

(_C). Dans le cas o`u le tore est

principalement polaris´e, la matrice P peut ˆetre choisie comme ´etant la base dans laquelle la matrice

deE==(H) est :

J :=

0 Id

g

−Id

_g

0

.

Streng [Str10, II.4.1] donne un algorithme permettant de transformer une base quelconque du r´eseau en

une base symplectique. Par d´efinition,E(P x, P y) =

t

xJ y. Lang [Lan72, chapitre 8] prouve que la matrice

P v´erifie des conditions suppl´ementaires suivantes appel´ees conditions de Riemann :

P J

^−1t

P = 0, 2i( ¯P J

^−1t

P)

⁻¹

>0

o`u >0 signifie que la matrice hermitienne est d´efinie positive. En fait la forme de Riemann est, sur la

base canonique de_C

^g

,

H(u, v) =

^t

u 2i( ¯P J

^−1t

P)

⁻¹

¯v.

Posons P = (P

1

, P

2

) avec P

1

et P

2

dans Mat

g×g

(_C), les matrices P

i

sont inversibles car elles sont

compos´ees degvecteurs lin´eairement ind´ependants. En consid´erant l’application

C

^g

−→ _C

g

z 7−→ P

₂⁻¹

z

Le toreC

g

/Λ est isomorphe `a _C

g

/Λ

_Ω

o`u Λ

_Ω

= Ω_Z

g

+_Z

g

avec Ω =P

₂⁻¹

P

₁

∈GL(g,_C). Les relations de

Riemann imposent les conditions suivantes sur Ω :

t

Ω = Ω, =(Ω)>0.

D´efinition 2.3.3. L’ensemble des matrices deGL(g,_C) sym´etriques et de partie imaginaire d´efinie

po-sitive est appel´e espace de Siegel et est not´e H

g

.

Action du groupe symplectique

Un autre choix de base symplectique produit, en g´en´eral, une matrice Ω

⁰

de H

g

diff´erente de Ω.

Explicitons ce qui se passe : soitP

⁰

= (P

₁⁰

, P

₂⁰

) une autre base symplectique du r´eseau telle que E ait

la mˆeme matrice J dans cette nouvelle base, il existe une matriceγ de GL

2g

(_Z) telle queP

⁰

=P

t

γ (la

transpos´ee permettant d’avoir une action `a gauche). La matrice deEdans la nouvelle base est alorsγJ

t

γ.

Or par hypoth`ese, celle-ci est ´egale `a J doncγ appartient au groupe symplectique Sp(2g,_Z) o`u

Sp(2g,_Z) =

γ∈GL

2g

(_Z), γJ

^t

γ=J

Posons

γ=

A B

C D

A, B, C, D∈Mat

_g×g

(_Z).

L’´equationP

⁰

=P

t

γimplique que

P

₁⁰

=P

1^t

A+P

2^t

B, P

₂⁰

=P

1^t

C+P

2^t

D.

Revenons sur le lien entre les matrices Ω et Ω

⁰

. Nous avons

Ω

⁰

=

^t

Ω

⁰

=

^t

P

₁^0t

P

₂⁰⁻¹

=

^t

(P

1^t

A+P

2^t

B)

^t

(P

1^t

C+P

2^t

D)

⁻¹

= (A

^t

P

₁

+B

^t

P

₂

)(C

^t

P

₁

+D

^t

P

₂

)

⁻¹

= (A

^t

P

1^t

P

₂⁻¹

+B)

^t

P

2^t

P

₂⁻¹

(C

^t

P

1^t

P

₂⁻¹

+D)

⁻¹

= (A

^t

Ω +B)(C

^t

Ω +D)

⁻¹

Ω

⁰

= (AΩ +B)(CΩ +D)

⁻¹

Avant d’´etudier l’action de Sp(2g,_Z) sur les ´el´ements deH

g

, donnons quelques propri´et´es du groupe

symplectique :

Lemme 2.3.4.

γ∈Sp(2g,_Z)⇐⇒γ

⁻¹

∈Sp(2g,_Z)⇐⇒

t

γ∈Sp(2g,_Z)

Soitγ=

A B

C D

∈Mat

_2g×2g

(_Z), nous avons les ´equivalences suivantes

γ∈Sp(2g,_Z) ⇐⇒

t

AC et

^t

DB sont sym´etriques

t

AD−

t

CB= Id

⇐⇒

A

t

B etD

t

C sont sym´etriques

A

t

D−B

t

C= Id

Par ailleurs siγ=

A B

C D

appartient `aSp(2g,_Z)alors la matriceγ

⁻1

est donn´ee par

γ

⁻¹

=

t

D −

t

B

−

t

C

t

A

.

D´emonstration. La matriceγappartient `a Sp(2g,_Z) si et seulement siγJ

t

γ=J. En multipliant `a gauche

parγ

⁻1

et `a droite par

t

γ

⁻1

nous obtenons l’´equation J = γ

⁻1

J

t

γ

⁻1

qui montre queγ

⁻1

appartient

`

a Sp(2g,_Z). Quand nous prennons l’inverse de cette derni`ere ´equation nous obtenons −J =

t

γ(−J)

t

(

t

γ)

ce qui montre que

t

γ appartient aussi `a Sp(2g,_Z).

Pour montrer la deuxi`eme assertion du lemme, il suffit de calculer le produit de matrices

A B

C D

J

t

A

t

C

t

B

t

D

=

A

t

B−B

t

A A

t

D−B

t

C

−D

t

A+C

t

B C

t

D−D

t

C

Cette matrice doit ˆetre ´egale `aJet donc nous obtenons la premi`ere ´equivalence. Pour montrer la deuxi`eme,

nous appliquons cette ´equivalence `a

t

γ au lieu deγ. Grˆace `a ces relations, nous v´erifions que

A B

C D

t

D −

t

B

−

t

C

t

A

=

t

D −

t

B

−

t

C

t

A

A B

C D

= Id

_2g

d’o`u la forme deγ

⁻1

.

D´efinition 2.3.5. Le groupeSp(2g,_Z)agit surH

g

par

Sp(2g,_Z)× H

g

−→ H

g

A B

C D

, Ω 7−→ γ.Ω = (AΩ +B)(CΩ +D)

−1

On peut v´erifier que cette action est bien d´efinie. En particulier, il faut montrer queγ.Ω appartient

bien `a H

_g

.

Quand nous consid´erons seulement l’action de Sp(2g,_Z) sur le demi-espace de Siegel, nous voyons

que−Id

2g

agit trivialement (ceci n’est plus le cas si nous rajoutons l’action sur_C

g

). Nous avons alors le

th´eor`eme suivant

Th´eor`eme 2.3.6. L’ensemble des classes de vari´et´es ab´eliennes principalement polaris´ees de dimensiong

modulo isomorphismes est en bijection avecPSp(2g,_Z)\H

g

.

Soient Ω

1

et Ω

2

deux repr´esentants de la mˆeme classe de PSp(2g,_Z)\H

g

. Les tores_C

^g

/Λ

Ω₁

et_C

^g

/Λ

Ω₂

sont isomorphes. Il doit donc, d’apr`es la propri´et´e 2.3.1, exister une matrice α ∈ GL

g

(_C) telle que

l’isomorphisme soit donn´e par la multiplication parα. Un rapide calcul permet de trouverαet montre

la propri´et´e suivante.

Propri´et´e 2.3.7. SoientΩ

₁

etΩ

₂

deux matrices deH

g

correspondant `a des tores (principalement

pola-ris´es) isomorphes. Il existe alors une matriceγ=

A B

C D

deSp(2g,_Z)telle que

γ.Ω

₁

:= (AΩ

₁

+B)(CΩ

₂

+D)

⁻¹

= Ω

₂

.

L’isomorphisme entre les deux tores ´etant donn´e par

C

^g

/_Ω

₁

_Z

g

+_Z

^g

−→ C

^g

/_Ω

₂

_Z

g

+_Z

^g

z 7−→ γ.

Ω₁

z:=

t

(CΩ

1

+D)

⁻1

z= (−Ω

2

C+A)z

Quand cela est clair par le contexte, nous ´ecrivonsγ.z au lieu deγ.

_Ω1

z.

Si nous d´ecomposonsz∈_C

g

/Ω

1

Z

^g

+_Z

g

enz= Ω

1

a+bo`uaetb appartiennent `a _R

g

, nous avons

γ.z=γ.(Ω

1

a+b) = (γ.Ω

1

) (Da−Cb) + (−Ba+Ab) = Ω

2

(Da−Cb) + (−Ba+Ab)

Cette d´ecomposition est utile pour ´etudier l’action sur les points den-torsion du tore.

Sous-groupes du groupe symplectique

Nous allons souvent nous int´eresser `a des classes particuli`eres d’isomorphismes. Commen¸cons par

d´efinir les groupes de congruences suivants.

D´efinition 2.3.8. Pourn≥1, posons

Γ

0

(n) =

A B

C D

∈Sp(2g, z), C≡0 modn

Γ

_n

=

A B

C D

∈Sp(2g, z), B ≡C≡0 modn, A≡D≡Id

_g

modn

Γ

n,2n

=

A B

C D

∈Γ

n

, diag

^t

AC≡diag

^t

DB≡0 mod 2n

Avec les notations de la propri´et´e2.3.7, nous avons pour touta, b∈_C

g

γ.(Ω

₁

a+b) = (Ab−Ba) + Ω

₂

(−Cb+Da) mod Λ

_Ω2

.

Toute matrice de Γ

₀

(n) laisse globalement invariant le sous-groupe symplectique

1

n

Z

^g

/_Z

g

des points de

n-torsion du tore. Il y a en fait une bijection entre Γ

0

(n)\H

g

et les classes d’´equivalence de paires (A, K

₁

)

o`uAest une vari´et´e ab´elienne principalement polaris´ee et o`u il existe K

₂

tel que

A[n] =K

1

⊕K

2

soit une d´ecomposition symplectique de la n-torsion. Les classes d’´equivalences (A, K

1

) sont prises

mo-dulo la relation d’´equivalence suivante : (A, K

1

) est ´equivalent `a (A

⁰

, K

₁⁰

) si et seulement s’il existe un

isomorphisme deA versA

⁰

envoyantK

1

surK

₁⁰

.

Soit xet y deux points den-torsion. Posons x= Ωa+b et y = Ωc+davec a, b, c, d appartennant

`

a

1 n

Z

^g

/_Z

g

. D´efinissons alors

˜

e

_n

(x, y) = exp −2iπn(

^t

ad−

^t

bc)

.

Le groupe Γ(n) correspond `a l’ensemble des isomorphismes qui fixent les points de n-torsion. De plus, le

couplage ˜e

n

de n’importe quelle paire d’´el´ements den-torsion reste inchang´e.

Dans la suite, il sera alors utile de consid´erer les sous-groupes suivants.

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