Exemple d’application : lois d’additions compl` etes en genre 2

SoitA

_k

une vari´et´e ab´elienne sur un corpsk, plong´ee dans un espace projectif_P

r

(k) :

ι: A ,−→_P

r

(k).

Rappelons qu’au chapitre2, nous avions not´eµla loi de groupe surA:

µ: ^A×A −→ A

(x, y) 7−→ x+y.

Surι(A), cette loi de groupe µsera alors donn´ee localement par des polynˆomes.

Notons k[X

₀

, . . . , X

_r

]/I

_X

l’anneau des fonctions r´eguli`eres sur ι(A). L’indice X dans I

_X

permet

de savoir dans quel « espace » l’id´eal doit ˆetre consid´er´e. L’anneau des fonctions r´eguli`eres sur le

pro-duitι(A)×ι(A) est

R:=k[X

0

, . . . , X

r

]/I

X

⊗k[Y

0

, . . . , Y

r

]/I

Y

'k[X

0

, . . . , X

r

, Y

0

. . . , Y

r

]/_(I

_X

_+I

_Y

₎.

D´efinition 5.5.1. Une loi d’additionpde bidegr´e(m, n)surι(A)⊂_P

r

est un ouvert non videU deA×A

etr+ 1polynˆomesp

i

appartenant `aR bihomog`ene de degr´emenX

0

, . . . , X

r

et de degr´enenY

0

, . . . , Y

r

et tels que pour tout(x, y)dansU k,

ι(µ(x, y)) =p

₀

(ι(x), ι(y)) :. . .:p

_r

(ι(x), ι(y)).

C’est `a dire que le diagramme suivant doit ˆetre commutatif

U ⊂A×A

µ



ι×ι

//_P

r

×_P

r (p₀,...,p_r)

A 

ι

//_P

r

D´efinition 5.5.2. Un ensemble de lois d’addition est ditk-complet si pour tout point deA×Ail existe

une loi d’addition d´efinie sur un ouvert contenant ce point.

Si cet ensemble est r´eduit `a une seule loi, on parle de loi d’addition k-compl`ete.

Lange et Ruppert [LR85] donnent une caract´erisation des lois et des ensembles de lois k-compl`etes.

En particulier ils montrent que le degr´e minimal d’une loi d’addition est (2,2). Par ailleurs, il n’existe pas

de loik-compl`ete, en effet dans [AKR11], il est prouv´e que pour qu’un ensemble de lois soitk-compl`etes

il doit contenir strictement plus deglois. Sur un corps non alg´ebriquement clos, il peut cependant exister

des loisk-compl`etes.

Exemple 5.5.3. Il existe des exemples de courbes elliptiques ayant une loi d’addition k-compl`ete : par

exemple les courbes d’Edwards [Edw07,BL07] ou les courbes hessiennes tordues [FJ10].

Pour les courbes d’Edwards, le mod`ele classique x

²

+y

²

= 1 +dx

²

y

²

est singulier. Avant de pouvoir

l’utiliser avec la th´eorie pr´ec´edente il faut consid´erer le plongement projectif normal associ´e [Koh11] :

X

₀²

+X

₁²

=X

₂²

+dX

₃²

, X

₀

X

₃

=X

₁

X

₂

.

L’addition classique sur la courbe d’Edwards devient alors

(X

0

, X

1

, X

2

, X

3

) + (Y

0

, Y

1

, Y

2

, Y

3

) =

X

₀²

Y

₀²

−d

²

X

₃²

Y

₃²

,(X

1

Y

2

+X

2

Y

1

) (X

0

Y

0

−dX

3

Y

3

),

(X

0

Y

3

−X

3

Y

0

) (X

0

Y

0

+dX

3

Y

3

),(X

1

Y

2

+X

2

Y

1

) (X

0

Y

3

−X

3

Y

0

)

.

Cette loi est de bidegr´e(2,2) et estk-compl`ete sidn’est pas un carr´e dansk.

Soitkun corps ayant un groupe de Galois absolu Gal(k/k) infini. Cette condition contient les corps finis

ou les corps de nombres et elle permet d’´eviter les corps alg´ebriquement clos. Arene, Kohel et Ritzenthaler

[AKR11] prouvent que pour toute vari´et´e ab´elienne surk, il existe un plongement projectif de la vari´et´e

et une loi d’addition k-compl`ete. Dans le cas de la dimension 1, ils montrent que le plongement peut

ˆ

etre le mod`ele de Weierstraß et que pour la dimension 2, il est possible d’utiliser les fonctions thˆeta de

niveau 4 (en supposant que le cardinal deksoit assez grand).

Dans le cas des courbes hyperelliptiques de genre 2, nous allons chercher une loi de bidegr´e (2,2) qui

soit k-compl`ete en utilisant la construction due `a Arene, Kohel et Ritzenthaler. La caract´erisation de

[LR85, lemme 2.1] des lois d’additions sur une vari´et´eAest la suivante : H

⁰

(A×A,M

m,n

) est isomorphe

(l’isomorphisme ´etant explicite) en tant qu’espace vectoriel aux lois de bidegr´e (m, n) o`u M

m,n

est un

fibr´e sur A×Aassoci´e au fibr´eL surA (qui d´etermine le plongement de Adans_P

r

). Dans le cas o`u L

est sym´etrique nous avonsM2

,2

=δ

^∗

Lavecδl’application

δ: ^A×A −→ A

(x, y) 7−→ x−y.

SoitCune courbe de la formey

2

=f(x) avecf de degr´e 5 sur un corps finikde taille au moins ´egale

`

a 7. Supposons Jac

_k

(C) plong´ee dans_P

15

(k) `a l’aide des fonctions thˆeta de niveau (2,2) (c’est `a dire que

les thˆeta constantes doivent appartenir `a k).

SoitK/k une extension de degr´e 2 dek et soit x

0

∈K n’appartenant pas `a k et tel que f(x

0

) ne soit

pas un carr´e dansK. Soienty

0

∈L tels quey

2

0

=f(x

0

). Le corpsL est donc une extension quadratique

deK. NotonsP

0

= (x

0

, y

0

) le point deC(L) correspondant. Posonsα

0

=P

0

+P

π

0

−2P

_∞

∈Jac

L

(C) o`uπ

est le Frobenius (´el´evation `a la puissanceq= #k). Les conjugu´es sous l’action de Gal(L/k) deα

0

sont

α

0

= P

0

+P

₀^π

−2P

∞

, α

1

= P

₀^π

+ι(P

0

)−2P

∞

,

α

2

= ι(P

0

) +ι(P

0

)

^π

−2P

∞

α

3

= ι(P

0

)

^π

+P

0

−2P

∞

o`uιd´esigne l’involution hyperelliptiqueι((x, y)) = (x,−y). Posons T

α_i

Θ les translat´es du diviseur Θ par

lesα

i

et soitDleur somme :

D= T

α₀

Θ + T

α₁

Θ + T

α₂

Θ + T

α₃

Θ.

Le diviseur D est un diviseur sur la vari´et´e ab´elienne Jac

k

(C) (il faut v´erifier qu’il est invariant sous

l’action de Gal(L/k)) mais il ne poss`ede aucun point rationnel (c’est-`a-dire qu’aucun point de Jac

_k

(C)

n’appartient `a D). Par ailleurs ce diviseur est ample et sym´etrique.

Combin´e avec un r´esultat de [AKR11], ceci d´emontre qu’il existe une loik-compl`eteP de bidegr´e (2,2)

pour le plongement de Jac

_k

(C) dans _P

15

(k) donn´e par les thˆeta de niveau (2,2). Formellement il faut

consid´erer le plongement associ´e `a L(4Θ) et le loiP est telle que son ensemble de non-d´efinition (surk)

soitδ

^∗

D.

Remarque 5.5.4. La construction pr´ec´edente peut ˆetre adapt´ee pour d’autres types de corps, par exemple

les corps hilbertiens (voir [AKR11]).

Pour simplifier la pr´esentation, nous consid`erons les fonctions thˆeta sur le corps de base _C. Les

r´esultats suivants s’´etendent directement aux sous corps de_Cet par le principe de Lefschetz aux corps de

caract´eristique 0. Pour d’autres types de corps (et en particulier les corps finis), il faut utiliser la th´eorie

alg´ebrique des fonctions thˆeta. Cependant les preuves restent facilement adaptables dans ce nouveau

formalisme.

Reprenons les r´esultats de la section 3.2.1. Les lois de Baily P

a,b

(lois d’addition en niveau (2,2))

sont d´efinies pour tousaetb dans

¹₂

_Z

^g

/_Z

^g

par

A×A ⊂ _A

^4g

×_A

^4g

−→ A⊂_A

^4g

θ[

^a_b

] (2z,Ω)

a,b

, θ[

^a_b

] (2z

⁰

,Ω)

a,b

7−→ θ[

^a_b

] (2(z−z

⁰

),Ω)θ[

^a_b

] (2(z+z

⁰

),Ω)

a,b

o`u a et b appartiennent `a

¹₂

_Z

^g

/_Z

^g

. Pour calculer l’application pr´ec´edente, nous utilisons les formules

suivantes :

θ[

^a_b

] (2(z−z

⁰

),Ω)θ[

a b

] (2(z+z

⁰

),Ω) = ¹

θ

^a3 b3

(0,Ω)θ

^a4 b4

(0,Ω)

1

2

g

×

× ^X

α,β∈¹₂

Z

^g/

Z

^g

θ^h

^A+a1+α B+b₁+β

i

(2z,Ω)θ^h

^−A+a2+α −B+b₂+β

i

(2z,Ω)θ^h

^−A+a3+α −B+b₃+β

i

(2z

⁰

,Ω)θ^h

^−A+a4+α −B+b₄+β

i

(2z

⁰

,Ω)

(5.4)

o`ua

3

, a

4

, b

3

, b

4

sont choisis dans

¹₂

_Z

^g

/_Z

^g

de telle sorte que les thˆeta constantes ne soient pas nulles et que

A= ^a+a+a

³

^+a

⁴

2 ^{, B=}

b+b+b

3

+b

4

2

appartiennent `a

¹₂

_Z

^g

/_Z

^g

. La propri´et´e 3.2.1 montre que l’´equation 5.4 est ind´ependante du choix des

´el´ementsa

3

, a

4

, b

3

, b

4

. La diff´erence entre deux ´equations provenant de choix diff´erents appartient en fait

`

a l’id´eal de la vari´et´e (engendr´e par les ´equations de Riemann3.1.13) et est donc nulle pour tousz, z

⁰

.

Ces lois sont clairement de bidegr´e (2,2). Leur domaine de non-d´efinition est constitu´e par le lieux de

pointsz, z

⁰

tels queθ[

^a_b

] (2(z−z

⁰

),Ω) = 0. D’apr`es la propri´et´e3.1.22c’est donc le diviseurδ

^∗

T

_K+Ωa+b

Θ.

Lemme 5.5.5. Les lois de Baily sont lin´eairement ind´ependantes.

Une preuve ´el´ementaire sur_Cde ce lemme est la suivante.

D´emonstration. Supposons qu’il existe des coefficientsλ

a,b

tels que

X

a,b∈1

2Z^g/_Zg

λ

a,b

P

a,b

= 0.

C’est-`a-dire que pour tous vecteursz, z

⁰

de_C

g

,

X

a,b∈1

2Z^g/_Zg

λ

a,b

P

a,b

(z, z

⁰

) = 0.

En particulier pourz

⁰

= 0 et en consid´erant la coordonn´eea,b, nous obtenons

X

a,b∈1

2Z^g/Z^g

λ

a,b

θ[

^a_b

] (2z,Ω)θ[

^a_b

] (2z,Ω) = 0.

Comme il existe une coordonn´eea,btelle queθ[

a

b

] (2z,Ω) soit non nulle, nous avons que pour toutz,

X

a,b∈1

2Z^g/_Zg

λ

a,b

θ[

^a_b

] (2z,Ω) = 0.

Le th´eor`eme3.1.10implique alors que les λ

_a,b

sont tous nuls.

Lemme 5.5.6. Les lois de Baily forment une base des lois d’addition de bidegr´e(2,2).

D´emonstration. Les lois d’addition de bidegr´e (2,2) forme un espace vectoriel isomorphe `a

H

⁰

(A×A,M2

,2

) = H

⁰

(A×A, δ

^∗

L)'δ

^∗

H

⁰

(A,L).

La dimension de ce dernier espace est de 4

g

car le plongement est dans _P

4^g−1

. Or le lemme pr´ec´edent

montre que les 4

g

lois de Baily forment une famille libre, c’est donc une base.

Nous allons exprimer la loi P cherch´ee comme combinaison lin´eaire des loisP

i

:

P= ^X

a,b∈¹₂

Z

^g/

Z

^g

λ

a,b

P

a,b

.

Par abus de notation, siD etD

⁰

correspondent aux vecteursz etz

⁰

de_C

g

, nous notonsP(z, z

⁰

) au lieu

deP(D, D

⁰

). Avec la d´efinition pr´ec´edente des lois de Baily nous avons alors pour tous vecteursz,z

⁰

et

toutes coordonn´ees (a,b)

ρ

z,z0

θ[

^a_b

] (2(z+z

⁰

),Ω) = ^X

a,b∈¹₂

Z

^g/

Z

^g

λ

a,b

θ[

^a_b

] (2(z−z

⁰

),Ω)θ[

^a_b

] (2(z+z

⁰

),Ω)

o`uρ

z,z0

est un facteur projectif d´ependant uniquement dez,z

⁰

et ´evidement deP. Il existe une coordonn´ee

non nulle et nous avons donc la relation

ρ

z,z0

= ^X

a,b∈¹₂

Z

^g/

Z

^g

λ

a,b

θ[

^a_b

] (2(z−z

⁰

),Ω).

La loi P n’est pas d´efinie pour les points deA×A du type (D, O

_A

) o`u D ∈ D. Pour ces points nous

avonsP(D, O

_A

) = (0)

_a,b

qui n’est donc pas un point_P

15

. Pour un tel point, posonsz un vecteur de_C

g

correspondant `a D, nous obtenons

0 = ^X

a,b∈¹₂

Z

^g/

Z

^g

λ

_a,b

θ[

^a_b

] (2z,Ω). (5.5)

Lemme 5.5.7. Les coefficients λ

a,b

correspondants aux lois P

a,b

impaires (c’est-`a-dire les lois pour

lesquelles(−1)

4^tab

=−1) sont nuls.

D´emonstration. Remarquons que siD appartient `a D alors il en est de mˆeme deι(D) (par contre ι(D)

n’appartient pas au mˆeme T

α_i

Θ queD). En comparant l’´equation5.5pourDetι(D) nous obtenons que

0 = ^X

a,b∈1

2Zg /Zg (−1)4tab₌₋₁

λ

a,b

θ[

^a_b

] (2z,Ω).

Par ailleurs, cette ´equation est aussi valide pourz = 0 car les fonctions sont impaires. Nous avons donc

obtenu une ´equation lin´eaire valide surD ∪{0}. Comme le plongement deAconsid´er´e est associ´e `aL(4Θ),

cette ´equation est alors valide sur tout A. Comme les fonctions thˆeta sont lin´eairement ind´ependantes,

les coefficients de la relation lin´eaire doivent ˆetre nuls.

Remarquons finalement que P n’est d´efinie qu’`a un facteur pr`es par le diviseurD, nous cherchons

donc `a obtenir les λ

a,b

`a un facteur projectif pr`es. Pour tout point D de D nous avons les relations

suivantes entre lesλ

a,b

:

0 = ^X

a,b∈1

2^Zg /Zg (−1)4tab₌₁

λ

a,b

θ[

^a_b

] (2z,Ω). (5.6)

Chaque point de Dfournira donc une relation entre les λ

_a,b

. Les lois de Baily ´etant g´en´eratrices, et la

loiP ´etant« d´efinie» parD, nous avons suffisamment de relations pour obtenir lesλ

_a,b

(`a un facteur

projectif pr`es).

En pratique, les ´el´ements D de T

α_i

Θ s’expriment facilement en coordonn´ees de Mumford : ils sont

du type D = (P −P

_∞

) +α

i

o`u P est un point de la courbe C. Grˆace aux morphismes (section 5.3),

nous pouvons alors calculer les coordonn´ees thˆeta de niveau (2,2) correspondant `a D pour obtenir des

relations5.6. Nous obtenons un syst`eme lin´eaire de rang 9 (il y a 10 inconnues projectives).

En pratique, nous prenons un i au hasard puis un ´el´ement D de Θ

αi

. Le syst`eme obtenu est presque

toujours de rang 9 apr`es avoir g´en´er´e 9 ´equations. Pour trouver un ´el´ement non nul du noyau, nous

pouvons alors utiliser les m´ethodes classiques d’alg`ebre lin´eaire.

Nous avons remarqu´e qu’avec uniquement des points toujours dans le mˆeme Θ

α_i

alors le rang du

syst`eme sera strictement inf´erieur `a 9. Cela est coh´erent avec la th´eorie : le fibr´eLqui d´efinit le plongement

est associ´e `aD. Or il existe plusieurs diviseursDayant les propri´et´es demand´ees et partageant une mˆeme

composante Θ

α_i

.

Les calculs pratiques (utilisant les morphismes de_AVIsogenies) sont relativement efficaces.

Cepen-dant, pour des corps de taille cryptographique, le calcul peut prendre quelques minutes.

Th´eoriquement, cette m´ethode est valide sur des corps de fonctions, et nous pourrions obtenir une formule

rationnelle pour lesλ

_a,b

en fonction des param`etres de la courbe et des ´el´ementsx

₀

, y

₀

. Nous avons les

param`etres suivants :

– la courbe hyperelliptique est d´efinie par ses trois invariants de Rosenhain (λ, µ, ν).

– Les thˆeta constantes de niveau (2,2) associ´ee `a la courbe doivent ˆetre rationnelles.

– Un point x

0

appartenenant `a une extension quadratique du corps de base (mais pas au corps de

base) et tel quef(x

0

) ne soit pas un carr´e.

– Une racine carr´eey

0

def(x

0

).

Il faut ensuite g´en´erer des pointsP au hasard en coordonn´ee de Mumford pour r´esoudre le syst`eme. Le

corps de fonction consid´er´ee serait donc de degr´e de transcendance sup´erieure ou ´egal `a 4. Par ailleurs il

derait n´ecessaire de prendre des extensions alg´ebriques de degr´e

– 2

¹³

pour que les theta constantes soient rationnelles,

– 2 pour d´efinir le corpsK auquel appartiendrax

₀

,

– 2 pour construirey

₀

.

soit une extension alg´ebrique de degr´e totale 2

15

. Les calculs sont donc inapplicables en pratique.

Une autre solution pourrait ˆetre de calculer lesλ

_a,b

pour un certain nombre de courbes et d’utiliser des

m´ethodes d’interpolations pour reconnaˆıtre des fractions rationnelles. Cependant, le nombre de variables

(3 invariants de Rosenhain et les coordonn´ees (x

0

, y

0

)) et le degr´e de ces fractions sont trop ´elev´es pour

esp´erer pouvoir faire les calculs.

Donnons un exemple de loi compl`ete sur la courbe

y

²

=f(x) =x

⁵

+ 5782x

⁴

+ 2517x

³

+ 2312x

²

+ 9402x

d´efinie sur le corps_F

10007

. Les thˆeta constantes (non nulles) associ´ees `a cette courbe sont (avec la num´

e-rotation de Dupont) :

θ

₀

= 1, θ

₁

= 7727, θ

₂

= 678, θ

₃

= 5242, θ

₄

= 3926,

θ

6

= 7092, θ

8

= 5628, θ

9

= 3666, θ

12

= 7556, θ

15

= 904.

Posons alors

K=F

10007

[X]/X

2

+ 1'_F

₁₀₀₀₇2

.

Soitx

0

= 8310+2164√

−1, le pointx

0

,^pf(x

0

)est alors un point de la courbeC(_F

₁₀₀₀₇4

) n’appartenant

pas `a la courbeC(_F

100072

). Les coefficientsλ

i

(avec la notation de Dupont) non nuls sont alors `a un facteur

pr`es

λ

0

= 1, λ

1

= 1940, λ

2

= 9380, λ

3

= 6924, λ

4

= 5155,

λ

6

= 1278, λ

8

= 7239, λ

9

= 6859, λ

12

= 1761, λ

15

= 5891.

Ce calcul a pris une vingtaine de secondes. Nous pouvons v´erifier que la loi est _F

10007

-compl`ete. Cette

v´erification exhaustive prend par contre plusieurs jours. Pour r´eduire le temps de calcul, nous avons utilis´e

le fait que d’apr`es [LR85, proposition 2.2], pour tout diviseur D de Jac(C) (_F

10007

), nous devons avoir

Chapitre 6

Formules `a la Thomae

Soit C : y

2

= ^Q2

_i=1^g+1

(x−a

i

) une courbe hyperelliptique. La formule de Thomae (introduite au

th´eor`eme3.1.19) exprime les puissances 4-i`emes des thˆeta constantes de niveau (2,2) de la familleF

(2,2)

(ou de mani`ere ´equivalente, les carr´es des thˆeta constantes de niveau 2 de la familleF

(2,2)2

) en fonction

des param`etres de la courbe.

Nous souhaitons obtenir les thˆeta constantes de niveau n(premier avec la caract´eristique de corps)

associ´ees `a un plongement de la jacobienne de la courbe hyperelliptique dans l’espace projectif_P

^ng−1

(_C).

C’est-`a-dire que nous n’avons pas besoin des valeurs exactes des fonctions thˆeta ´evalu´ees en 0 mais celles

de certains quotients. La formule de Thomae se r´e´ecrit de la mani`ere suivante : soit un sous-ensembleS

de{1, . . . ,2g+ 1} ∪ {∞}

θ[η

_{U ◦S}

]

θ[0]

4

=







(−1)

#(U \S) Q i∈U j /∈U (ai−aj) Q i∈S j /∈S (a_i−aj)

si #S∈ {g, g+ 1},

0 sinon.

Des preuves de ce cas particulier sont donn´ees dans [Zar28, EF08]. Rappelons que, au signe pr`es, les

fonctions thˆeta associ´ees `aS et `aS

c

(o`u le compl´ementaire est pris dans {1, . . . ,2g+ 1} ∪ {∞}) sont les

mˆemes.

Il existe diff´erents type de g´en´eralisation de la formule de Thomae. Par exemple des formules `a la

Thomae (c’est-`a-dire donnant les thˆeta constantes de niveaunen fonction des param`etres de la courbe)

ont ´et´e d´ecouvertes pour d’autres types de courbes. La principale m´ethode pour obtenir ces formules

consiste `a utiliser la g´eom´etrie des courbes par rapport `a un certain entier n pour obtenir les thˆeta

constantes de niveaun. De ce fait l’entier nest d´eterminer par la forme de la courbe. Dans notre cas,

nous nous int´eressons au cas de courbes hyperelliptiques (de genre quelconque) mais nous voulons faire

varier le niveau des thˆeta constantes.

Nous commen¸cons par pr´esenter une m´ethode analytique. Cette m´ethode permet de retrouver les

for-mules de Thomae pour le niveau (2,2) et couvre le genre 1. Dans la section6.2, nous expliquons comment

extraire les racines de fa¸con `a obtenir les vraies valeurs des thˆeta constantes. Pour le genre sup´erieur,

nous n’avons pas r´eussi `a conclure par la m´ethode analytique. Dans la section6.3, nous proposons une

autre m´ethode qui n´ecessite d’utiliser les fonctions de niveau (2,2).

6.1 M´ethode analytique

6.1.1 Id´ee g´en´erale

Rappelons que l’application d’Abel-Jacobi a ´et´e d´efinie par

u:

(

Jac(C) −→ _C

g

/Λ

_Ω

Pn

_i

P

_i

7−→ P R

P_i

o`u Ω est la matrice des p´eriodes de la courbes. Nous supposons le polynˆomef de degr´e impair et nous

donnons un ordre `a ses 2g+ 1 racines

f(x) =

2g+1

Y

i=1

(x−a

_i

)

Nous notonsK la constante de Riemann introduite en2.3.16:

K= Ωη

_U⁰

+η

_U⁰⁰

=u ^X

l∈U

(a

l

,0)−(g+ 1)P

_∞

!

t

η

_U⁰

=

1

2^,

1

2^{, . . . ,}

1

2

,

^t

η

_U⁰⁰

=

g

2^,

g−1

2 ^{, . . . ,}

1

2

.

NotonsKle diviseurP

l∈U

(a

l

,0)−(g+ 1)P

_∞

de Jac(C). Ainsi, nous avonsK=u(K). Par abus de

nota-tions, les fonctions thˆeta ´etant toujours associ´ees `a la matrice Ω, nous ´ecrivonsθ[e](z) au lieu deθ[e](z,Ω).

Pour tout entiern, nous nous int´eressons aux thˆeta constantes de niveaunde la familleF

(n,n)n

:

θ[

^a_b

] (0)

ⁿ

a, b∈

_n¹

Z

^g

/_Z

g

.

Rappelons que la formule3.17permet alors de calculer projectivement les thˆeta constantes de niveaun

des autres bases.

Pour tout ´el´ementα∈_C

g

et tout vecteurede

1

n

Z

^2g

, la fonction

C

^g

−→ _P

1

(_C)

z 7−→

θ[e] (z+α)

θ(z+α)

n

est invariante sous l’action de Λ

Ω

et induit donc en une fonction de_C

g

/Λ

Ω

dans_C. Nous pouvons alors

la composer avec l’application d’Abel-Jacobi :

D´efinition 6.1.1. SoitD un ´el´ement de Jac(C). Soit un entier n >1 et soiteun vecteur de

1

n

Z

^2g

. La

fonction

q:







Jac(C) −→ _P

1

(_C)

δ 7−→

θ[e] (u(δ)−u(D)− K)

θ(u(δ)−u(D)− K)

n

est bien d´efinie et est analytique.

Nous notons q

_e

(·;D) pour pr´eciser la d´ependance deqen D ete. Pour obtenir une puissance de la

thˆeta constante qui nous int´eresse, nous voulons calculer

q

e

(D+K;D) =

θ[e] (0)

θ(0)

n

.

Supposons que la caract´eristiqueecorresponde `a un diviseurE∈Jac(C), c’est-`a-dire que nous supposons

queu(E) = Ωe

⁰

+e

⁰⁰

. D’apr`es3.1.22, la fonctionq

e

(· ;D) a pour diviseur nT

D−E

Θ−nT

D

Θ. D’apr`es

[Ser56], il existe une fraction rationnelle que nous notonsR qui a le mˆeme diviseur queq. De ce fait, il

existe une constanteB (par rapport `aδ mais pouvant d´ependre deD ete) telle que

q

e

(δ;D) =B

e

(D)R

e

(δ;D)

o`u nous avons pr´ecis´e la d´ependance par rapport aux param`etres eet D. En utilisant la propri´et´e3.1.2

et la parit´e de la fonction thˆeta de Riemann, nous pouvons montrer que

q

e

(δ−E;D)q

e

(−δ;−D) = exp 2iπn

^t

e

⁰

e

⁰⁰

.

Nous obtenons donc

B

e

(D)B

e

(−D) = ^{exp (2iπn}

t

e

0

e

00

)

R

e

(δ−E;D)R

e

(−δ;−D)^.

Si D est un diviseur de 2-torsion, nous obtenons le carr´e deB. En particulier, pourD =O, nous avons

le lemme

Lemme 6.1.2. Avec les notation pr´ec´edentes,

θ[e] (0)

θ(0)

2n

=q

_e

(K; 0)

²

= exp 2iπ2n

^t

e

⁰

e

⁰⁰

R

_e

(K;O)

R

e

(K−E;O)

o`u Rest une fraction rationnelle sur Jac(C)de diviseur nT

E

Θ−nΘ.

La partie difficile est de construire la fractionR. Ce r´esultat est atteint dans la section 6.1.2pour le

genre 1 et dans la section6.1.3pour le niveau (2,2).

La m´ethode propos´ee par Riemann [Rie57, p. 154-155] consiste `a ´etudier la restriction de la fonction

qpr´ec´edente sur la courbeC: y

2

=f(x) vue comme une surface de Riemann compacte. Pour distinguer

les deux fonctions nous la notonsq

0

:

q

⁰

:







C −→ _P

¹

(_C)

δ 7−→

θ[e] (u(δ)−u(D)− K)

θ(u(δ)−u(D)− K)

n

.

Cette fonction est encore bien d´efinie et est analytique. Pour ´etudier ses z´eros et ses pˆoles, nous devons

supposer queD est de poidsg: posons alors D=D

1

+. . .+D

g

−gP

_∞

. Pour obtenir la thˆeta constante

cherch´ee, nous voulons alors ´evaluer la fonction enδ= (a

1

,0) etD

i

= (a

2i+1

,0). Soit

F =F

₁

+. . .+F

_g

−gP

_∞

le diviseur r´eduit dans la classe deD−E. D’apr`es3.1.23, le diviseur deq

⁰

est alorsnF−nD (c’est-`a-dire

que les points du support deD sont des pˆoles de degr´ende la fonction et que ceux du diviseur r´eduitF

sont ses z´eros et sont ´egalement d’ordren). Il existe une fraction rationnelle que nous notonsR

⁰

qui a le

mˆeme diviseur queq. De ce fait, il existe une constanteB

⁰

telle que

q

⁰_e

(δ;D) =B

⁰_e

(D)R

⁰_e

(δ;D).

Cette fois,R

⁰

est une fraction rationnelle en (x, y) les coordonn´ees des points sur la courbe. La fractionR

⁰

est facilement constructible avec l’algorithme de Cantor. Par contre nous ne pouvons plus appliquer la

m´ethode pr´ec´edente pour calculer B

⁰

car δ−E n’est pas un point de C. Dans [Zar28, p. 324], Zariski

propose d’exprimer

q

_e⁰

(F

1

;δ, ι(F

2

), . . . , ι(F

g

))

en fonction deq

⁰_e

(δ, D). L’´equation obtenue est

q

⁰_e

(F

1

;δ, ι(F

2

), . . . , ι(F

g

))q

_e⁰

(δ;D

1

, . . . , D

g

) = exp 2iπn

^t

e

⁰

e

⁰⁰

et donc

B

_e⁰

(δ, ι(F

₂

), . . . , ι(F

_g

))B

⁰_e

(D

₁

, . . . , D

_g

) = ^{exp (2iπn}

t

e

⁰

e

⁰⁰

)

R

0 e

(δ, ι(F

2

), . . . , ι(F

g

))R

0 e

(D

1

, . . . , D

g

)^.

SiB

⁰

ne d´epend pas des pointsD

_i

, nous pouvons alors calculerB

⁰2

. De mˆeme, siB

⁰

ne d´epend que d’un

seulD

_i

, il est possible de modifier la preuve pr´ec´edente pour obtenir une expression deB

⁰2

. Th´

eorique-ment, il est possible de modifierR

⁰

pour supprimer la d´ependance de B

⁰

en lesD

i

. Nous connaissons les

z´eros et pˆoles de q

⁰

en toutes les variables mais le probl`eme est que lors de la construction de R

⁰

, des

pˆoles et z´eros«parasites »sont cr´e´es.

6.1.2 Genre 1

Dans le cas du genre 1, nous identifions la courbe avec sa jacobienne. La fraction rationnelle R est

facilement constructible. Rappelons qu’elle a pour diviseurn ι(E)−nP

_∞

o`uE est un point den-torsion

et o`u ι est l’involution hyperelliptique. De plus, nous devons l’´evaluer en le diviseur ρ(K)−ρ(K−E)

o`uρ(D) d´esigne le diviseur r´eduit dans la classe d’un diviseur D.

Ceci peut se faire avec le mˆeme type d’algorithme que celui utilis´e pour le couplage de Tate en

faisant attention au fait que nous n’avons pas le droit de prendre un autre diviseur dans la classe

de ρ(K)−ρ(K−E). En effet le r´esultat doit ˆetre exact et non pas modulo une racine de l’unit´e. Si

le support deρ(K)−ρ(K−E) n’est pas disjoint des supports deρ(k ι(E)−kP

_∞

) pour tout 1≤k≤n,

il faut travailler dans le corps de fonctions de la courbe.

Soitkun corps et soitEla courbe elliptiquey

²

=x(x−1)(x−λ) o`uλ∈k. Supposons num´erot´ees les

racines dans l’ordre suivant{0, λ,1}. Sikse plonge dans_C, nous avons queE(_C)'_C/(ω_Z+_Z) avecω

dans le demi-plan de Poincar´eH1. Nous pouvons supposer que le point (0,0) s’envoie sur le pointω/2,

le point (1,0) sur 1/2 et le point (λ,0) surω/2 + 1/2.

Supposons que notre corps n’est pas canoniquement plong´e dans _C. Dans le cas des niveaux impairs,

nous pouvons choisir n’importe quelle base symplectique de lan-torsion de_C/ω_Z+_Zpour l’image d’une

base symplectique de lan-torsion de la courbe. Dans le cas des niveaux pairs, nous ne pouvons pas faire

un choix quelconque. En effet, nous avons d´ej`a fix´e l’image des points de 2-torsion et le choix doit ˆetre

compatible. Si le corps de base vient avec un plongement dans _C, il faut rajouter les conditions sur le

couplage de Weil (page 31). En effet, la valeur du couplage de Weil de points de la base symplectique

doit correspondre `a la racine de l’unit´e exp(2iπ/n).

Dans le cas des niveaux (n, n) pairs, le groupe Γ

n

fixe les puissancesn-i`emes des thˆeta constantes mais

seul Γ

n,2n

fixe leurs puissances 2n-i`emes. De ce fait, il est possible de prendre certaines racines carr´ees

(voir la section6.2).

Formules pourn= 3

Les formules pour le niveau 3 et le genre 1 ont ´et´e d´ej`a obtenues par Thomae [Tho73] en utilisant a

priori une m´ethode diff´erente. SoitP

3

= (x

3

, y

3

) un point g´en´erique de 3-torsion. La coordonn´eex

3

est

racine du polynˆome :

3X

⁴

−4(λ+ 1)X

³

+ 6λX

²

−λ

²

.

Comme 2 et 3 sont premiers entre eux, nous pouvons supposer queP

3

s’envoie sur n’importe quel point

de 3-torsion du tore _C/(ω_Z+_Z) quitte `a modifier ω par l’action de Sp(2,_Z). Supposons par exemple

que P

3

s’envoie sur le point ω/3. Nous avons alors les thˆeta constantes suivantes correspondant `a P

3

et 2P

3

:

θ

^1/₀³

(0, ω)

θ(0, ω)

!

6

= ³

4^x

2 3

−

λ+¹

4

x

₃

+^λ

2 ⁼

λ(λ−1)

3x

2 3

+ 2(λ−2)x

3

−λ

2

θ

2/3 0

(0, ω)

θ(0, ω)

!6

= ^θ

1/3 0

(0, ω)

θ(0, ω)

!6

.

SoitQ

3

= (x

⁰₃

, y

₃⁰

) un autre point de 3-torsion tel que le couplage de Weile

3

(P

3

, Q

3

) soit une racine

primitive 3-i`eme de l’unit´e. Si le corps est canoniquement plong´e dans _C, il faut supposer ´egalement que

cette racine est exp(2iπ/3). La coordonn´eex

⁰₃

du pointQ

3

est une racine du polynˆome :

(λ−1)X

³

− 3x

³₃

−(4λ+ 1)x

²₃

+ (2λ−1)x

₃

+ (5λ−4)

X

²

Nous avons alors

θ

0 1/3

(0, ω)

θ(0, ω)

!

6

= ³

4^x

02 3

−

λ+¹

4

x

⁰₃

+^λ

2 ⁼

λ(λ−1)

3x

⁰2 3

+ 2(λ−2)x

⁰₃

−λ

2

,

θ

₂⁰_/3

(0, ω)

θ(0, ω)

!

6

= ^θ

0 1/3

(0, ω)

θ(0, ω)

!

6

,





θ^h

¹₁^/_/³₃

ⁱ(0, ω)

θ(0, ω)





6

= 9(2λ−1)x

²₃

x

⁰₃²

−6(4λ

²

−λ+ 1)(x

3

+x

⁰₃

)x

3

x

⁰₃

+ 4(8λ

³

−9λ+ 8)x

3

x

⁰₃

−4(λ−2)(4λ

²

+ 3λ−4)(x

₃

+x

⁰₃

) +λ(38λ

²

−65λ+ 32) y

₃

y

₃⁰

16λ

2

(λ−1)

2

+³

8^(x

2 3

+x

⁰₃²

)−^{4λ+ 1}

8 ^(x

³

^+x

0 3

) +^λ−1

2

exp

2iπ

3

,





θ^h

²₂^/_/³₃

ⁱ(0, ω)

θ(0, ω)





6

=





θ^h

¹₁^/_/³₃

ⁱ(0, ω)

θ(0, ω)





6

,





θ^h

¹₂^/_/³₃

ⁱ(0, ω)

θ(0, ω)





6

= 9(2λ−1)x

²₃

x

⁰₃²

−6(4λ

²

−λ+ 1)(x

3

+x

⁰₃

)x

3

x

⁰₃

+ 4(8λ

³

−9λ+ 8)x

3

x

⁰₃

−4(λ−2)(4λ

²

+ 3λ−4)(x

₃

+x

⁰₃

) +λ(38λ

²

−65λ+ 32) y

₃

y

₃⁰

16λ

2

(λ−1)

2

−³

8^(x

2 3

+x

⁰₃²

) +^{4λ+ 1}

8 ^(x

³

^+x

0 3

)−^λ−1

2

exp

2iπ

3

,





θ^h

²₁^/_/³₃

ⁱ(0, ω)

θ(0, ω)





6

=





θ^h

¹₂^/_/³₃

ⁱ(0, ω)

θ(0, ω)





6

.

6.1.3 Niveau (2,2) pour le genre g

Soiteune caract´eristique de niveau (2,2). Nous pouvons ´ecriree=η

_{U ◦S}

o`uS⊂ {1, . . . ,2g+ 1}. De

plus nous pouvons faire l’hypoth`ese que le cardinal de S est congru `a g+ 1 modulo 2. Nous cherchons

alors une fraction rationnelleRayant pour diviseur

2 T

P

l∈U ◦S(al,0)−#(U ◦S)P∞

Θ−2Θ

et nous voulons ´evaluerRen les deux points

Dans le document Applications des fonctions thêta à la cryptographie sur courbes hyperelliptiques. (Page 150-161)