Topographies résiduelles

On détermine la sensibilité du vecteur-réponses 〈 〉, composé de la

topographie résiduelle issue du modèle EF, aux paramètres . Afin de faciliter la confrontation des données, tous les résultats de topographies, présentés initialement sous formes matricielles (matrices carrées 256x256), sont redéfinis sous formes vectorielles (vecteurs colonnes 65536x1) en suivant le schéma de la Figure 4.16. Chaque composante de la matrice définissant la topographie est incluse dans un vecteur en suivant le contour de celle-ci par incrémentation jusqu’en son centre. On note les points A, B et C, trois points particuliers de la topographie.

Figure 4.16 - Redéfinition vectorielle d’une topographie. Les composantes de la matrice sont inclues dans un vecteur en suivant son contour par incrémentation jusqu’en son centre (trajet rouge). A, B et C sont trois points

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Pour l’étude de sensibilité, le vecteur-réponses est défini de sorte que le fond de l’empreinte soit le zéro de la topographie (Figure 4.17) :

1 4.3

ainsi défini, attribue un poids maximal aux bourrelets pour le calcul de sensibilité. Cela permet également de limiter l’impact de la mauvaise définition du centre de l’empreinte sur le calcul de sensibilité.

Figure 4.17 – Définition du vecteur-réponses pour le calcul de sensibilité. Exemple sur le profil D-D de la Figure 4.16.

La topographie est enregistrée en 256 256 points . Comme pour les courbes

d’indentation, les topographies issues de la simulation nominale et des simulations où les termes ont été perturbés, sont quasi-identiques (non montrées ici).

La confrontation des topographies perturbées à celle nominale permet de déterminer l’évolution des vecteurs de sensibilité d’après les équations (2.35) à (2.39) :

̅

̅

1

max √ 4.4

Les vecteurs de sensibilité de aux paramètres sont présentés en Figure 4.18a. La Figure 4.18b montre la norme euclidienne des vecteurs de sensibilité, définie par :

̅

̅

Comme pour la courbe d’indentation, la topographie est sensible à tous les paramètres et , , et sont ceux qui l’affectent le plus. Viennent ensuite les termes de la matrice d’interaction restants. Le rapport entre la norme du vecteur de sensibilité au paramètre (le plus influent) et (le moins influent) est d’environ 8,4.On remarque de fortes perturbations sur tous les vecteurs de sensibilité à partir d’environ 5. 10 points de mesure. Les mesures collectées au-delà correspondent à la sensibilité au centre de l’empreinte et sont donc peu utilisables. D’ailleurs, les mesures expérimentales du centre de l’empreinte par AFM, non plus, ne sont pas vraiment exploitables. En effet, l’AFM étant utilisé en mode non-contact, le fond de l’empreinte ne peut pas être mesuré.

Figure 4.18 - (a) Vecteurs de sensibilité de la topographie aux paramètres . (b) Norme euclidienne des vecteurs de sensibilité. Les points A, B et C sont définis en Figure 4.16.

L’impact de la troncature d’information au niveau des topographies sur la norme des vecteurs de sensibilité aux paramètres est alors examiné. La Figure 4.19 présente la norme des vecteurs de sensibilité des topographies aux paramètres lorsque la topographie est entière (256 256 pxl ), lorsqu’elle est tronquée d’un carré de 25 25 pxl en son centre, de 50 50 pxl , de 75 75 pxl , de 100 100 pxl , de 125 125 pxl et de 150 150 pxl . La troncature est de forme carrée car plus facile à définir. Il serait intéressant d’observer les résultats avec une troncature triangulaire se superposant à l’empreinte de l’indenteur Berkovich. L’ordre d’influence des paramètres sur la topographie est relativement identique quelle que soit la troncature opérée. Cependant, la norme des vecteurs de sensibilité en est très affectée. Elle diminue drastiquement jusqu’à une troncature atteignant la taille d’un carré de 125 125 pxl . Avec une telle troncature, le centre de l’empreinte est entièrement recouvré et la topographie comporte alors 50160 points de mesure, seuil à partir duquel on commence à apercevoir des perturbations sur les vecteurs de sensibilité. C’est le signe que la prise en compte du centre de l’empreinte sur les topographies affecte artificiellement la sensibilité des résultats aux paramètres. D’un autre côté, il faut donc faire attention à ne pas négliger trop d’informations pour ne pas être dans le bruit de mesure des topographies résiduelles.

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Figure 4.19 - Norme euclidienne des vecteurs de sensibilité de la topographie aux paramètres ̅ lorsque la topographie est entière puis tronquée au centre de 25 25 pxl , 50 50 pxl , 75 75 pxl , 100 100 pxl ,

125 125 pxl et 150 150 pxl .

On reporte en Figure 4.20 les résultats des vecteurs de sensibilité aux paramètres de la topographie tronquée de 125 125 pxl . Le rapport entre la norme du vecteur de sensibilité au paramètre (le plus influent) et (le moins influent) est d’environ 12,9.

Figure 4.20 - (a) Vecteurs de sensibilité aux paramètres ̅ de la topographie tronquée de 125 125 pxl . (b) Norme euclidienne des vecteurs de sensibilité. Les points A et B sont définis en Figure 4.16.

Ainsi, en tronquant de façon judicieuse les mesures à disposition, il est possible de s’affranchir des problèmes numériques mais aussi de diminuer le nombre de points de mesure et donc de diminuer le temps de traitement des données. L’influence du coefficient de frottement sur la topographie en bord d’empreinte peut également être négligée. On se rend compte que la moindre perturbation sur le vecteur-réponses issu du modèle EF peut se répercuter de façon non négligeable sur l’évaluation de sa sensibilité aux paramètres considérés. Quantité d’informations ne rime donc pas forcément avec qualité d’informations en calcul de sensibilité.

L’indice d’identifiabilité proposé au Chapitre 2.4 permet de quantifier l’identifiabilité d’un jeu de paramètres matériau à partir du calcul des vecteurs de sensibilité autour d’un jeu de paramètres. Il prend en compte les problèmes de la multi-colinéarité des vecteurs de sensibilité et le problème de différences des normes qui viennent d’être mises en avant.