Sur l’identification des paramètres de la loi de Méric‐ Cailletaud

Depuis le développement des lois de plasticité monocristallines, des études d’identification paramétriques ont été menées afin de mieux appréhender le comportement des matériaux à l’échelle du grain (Méric et al., 1994; Fivel et al., 1998b; Gérard, 2008; Gérard et al., 2009, 2013; Guilhem, 2011; Schwartz, 2011; Zambaldi et al., 2012, 2015; Guery, 2014; Tasan et al., 2014b, 2014a). Mais la détermination expérimentale des coefficients d’interaction reste toujours un défi.

Certains paramètres matériau peuvent être a priori estimés en se référant à la littérature (matrice de rigidité), par observation de la microstructure (densité de dislocation) ou par des essais mécaniques simples (viscosité). L’accès à d’autres paramètres peut être difficile expérimentalement et/ou trop coûteux. Dans le cas de la plasticité monocristalline, les difficultés d’identification résultent de la complexité des mécanismes lors de l’écoulement de la matière à l’échelle du grain et du nombre de paramètres constituant les lois de comportement. L’identification paramétrique par méthode inverse peut permettre de pallier ces problèmes.

Ce paragraphe donne tout d’abord les notions de base de l’analyse d’identifiabilité et établit une notation généralisée du problème. Par la suite, deux techniques d’identification paramétrique de la loi de M-C, développées par Gérard et al. (Gérard, 2008 ; Gérard et al., 2009) et Guery et al. (Guery, 2014), sont détaillées.

1.3.1. Notion d’identifiabilité paramétrique

Les paramètres matériau ne sont pas toujours directement accessibles par des mesures expérimentales. L’élaboration d’un modèle de l’expérience, intégrant les lois de comportement du matériau, devient nécessaire. Il permet de reproduire par simulation les tendances des observations expérimentales, c’est le problème direct qui s’écrit formellement :

1.37

〈 ; 〉 est le vecteur-observations. Il résulte de la concaténation des vecteurs et qui sont respectivement la réponse du modèle et la sollicitation imposée. 〈 〉 est composé de

réponses observées 1; , chacune de taille 1; . Le vecteur 〈 ; ; … 〉

est composé de toutes les données du problème direct, entre autres des composantes du vecteur- paramètres de la loi matériau considérée.

Le problème direct sous-entend la connaissance de . La confrontation directe de données expérimentales et numériques peut permettre d’apprécier le vecteur choisi. Si on suppose qu’il existe au moins une solution du problème inverse, on peut alors imaginer ajuster les réponses numériques sur celles expérimentales en modifiant les composantes de . Mais cette méthode peut vite devenir chronophage suivant le nombre de paramètres matériau et l’approche utilisée pour choisir les jeux de paramètres candidats afin d’adapter la réponse aux données expérimentales.

24

L’analyse inverse prend alors tout son sens. L’identification paramétrique est un problème inverse : pour une observation , il faut inverser le modèle expérience pour remonter à :

1.38

1.3.2. Etudes récentes

Les récents travaux de Gérard et al. (Gérard, 2008 ; Gérard et al., 2009) et Guery et al. (Guery, 2014) présentent deux techniques d’identification des paramètres du modèle de Méric-Cailletaud, dont les composantes de la matrice d’interaction . Celles-ci sont commentées afin de se rendre compte de leurs limites et de situer les contributions que cette thèse apporte sur le sujet.

Tout d’abord, ces deux études se basent sur la méthode de recalage de modèle EF de l’essai de traction sur éprouvette polycristalline. Pour estimer les paramètres de la loi de M-C, le modèle inverse est reformulé à l’aide d’une fonction coût à minimiser représentant l’écart entre un vecteur- observations et les mesures expérimentales (cette méthode est détaillée dans le chapitre suivant).

Durant leurs essais de traction, Gérard et al. (Gérard, 2008 ; Gérard et al., 2009) relèvent les courbes macroscopiques dans différentes conditions : traction simple, précontrainte en cisaillement puis traction. L’intérêt de pré-contraindre ou non les échantillons se porte sur l’activation des différents systèmes de glissement et leurs interactions. Guery et al. (Guery, 2014), quant à eux, relèvent les efforts macroscopiques et les champs de déplacement à l’échelle de la microstructure, mesurés par corrélation d’images, subis par l’éprouvette polycristalline durant les essais de traction in-

situ. Le Tableau 1.8 récapitule en détail les processus d’identification de ces deux études.

Un point important est à souligner : bien que ces essais soient simples à mettre en œuvre, ils ne fournissent généralement pas assez d’informations pour la bonne identification de tous les paramètres de la loi de M-C. Même si Gérard et al. ont accès à la majorité des paramètres de la loi d’écrouissage isotrope, certains termes de la matrice d’interaction ne sont pas identifiables. La démonstration de l’identifiabilité du vecteur-paramètres à partir du vecteur-observations semble donc être un passage important avant de valider l’identification. Cependant, cette notion est trop souvent inexistante dans les études.

Guery et al. identifient un jeu de coefficients , , , , , après le calcul de leur identifiabilité. La précision de la méthode inverse utilisée est donc quantifiée dans ce cas. Malgré ce travail minutieux, les écarts entre mesures expérimentales et numériques persistent. Plusieurs voies sont alors envisageables : améliorer la modélisation du problème avec d’autres hypothèses, modifier les lois de comportement (perspectives de Guery) ou complexifier les essais expérimentaux.

L’essai de nanoindentation présente des points forts pour l’identification paramétrique. Tout d’abord, comme l’essai de traction, il est très simple à mettre en œuvre. De plus, le champ de contraintes généré lors de la pénétration de l’indenteur dans le matériau fait de lui un essai plus complexe et assimilable à un essai monotone à chargement multiaxial. On peut supposer sans trop

prendre de risque que l’essai de nanoindentation active un grand nombre de systèmes de glissement simultanément. Enfin, il permet une mesure mécanique directe à l’échelle intragranulaire sans interaction des grains voisins. Ce qui n’est pas le cas pour les deux études mises en avant, dans lesquelles la transition d’échelle du monocristal vers le polycristal doit être prise en compte par des lois d’homogénéisation. L’indentation instrumentée offre donc des perspectives séduisantes pour l’identification des paramètres des lois régissant la plasticité à l’échelle intragranulaire.

26 1 (Ledbetter, 1985) 3 (Tabourot et al., 1997)

2 (Guilhem, 2011)

Lois

monocristallines M-C (Cailletaud, 1987; Méric et al., 1991; Méric and Cailletaud, 1991) Variables d’état

ou associées

Ecrouissage isotrope et

écrouissage cinématique Ecrouissage isotrope

Paramètres fixés , , , cinématique: , , , fixés Identification paramétri que Paramètr es à identifier , , , , , , Mesure s expérimentales Courbe de traction in situ macroscopique à

5.10 _à Courbe _{10 (traction simple, cisaillement} de traction macroscopique puis traction à 45°, cisaillement puis traction à

0°) Mesure de champs de

déplacement par corrélation d’images numériques

Mesure

s nu

mériqu

es

Mesure de champs par EF 2D

Pré-

identification

Courbe issue de la règle en

(Cailletaud et Pilvin, 1994) et du modèle de Berveiller-Zaoui (Berveiller et Zaoui, 1978)

Validation et ajustement

Courbe de traction EF sur agrégat de 200 grains

Méthode inverse

Recalage de modèle EF à partir des mesures de champs

Pré-

identification

Recalage de modèle analytique à partir des courbes

Validation et ajustement

Recalage de modèle EF à partir des courbes

Références (Guery, 2014) (Gérard, 2008 ; Gérard et al., 2009)