Méthode 3 : fonctions adimensionnelles

Depuis la fin des années 90, cette méthode est largement utilisée afin de tenter d’identifier les paramètres matériau de lois de comportement élasto-plastique en indentation. La méthode consiste dans un premier temps à établir une base de vecteur-observations à l’aide d’un modèle EF de l’essai en faisant varier le vecteur-paramètres . C’est ce qu’on appelle le criblage : on sonde l’espace des possibles de numériquement. Par la suite, le modèle de l’expérience est approché analytiquement par un modèle constitué d’autant d’équations que de paramètres matériau à identifier. La méthode est souvent utilisée sous le nom de méthode des fonctions adimensionnelles.

C’est en commençant à mieux comprendre et décrire l’allure des courbes d’indentation à l’aide de grandeurs physiques (module d’Young, dureté) et d’approches énergétiques (travail élastique et plastique) que l’idée de faire une analyse dimensionnelle de la courbe d’indentation est venue en 1998 à Cheng et Cheng (Cheng and Cheng, 1998a). Cette analyse permet de s’interroger sur la nature des informations contenues dans les mesures d’indentation instrumentée. Peut-on remonter à une relation contrainte-déformation à partir de la courbe d’indentation ? Si oui, comment opérer pour obtenir les paramètres matériau à partir de cet essai ? Que vaut une telle identification paramétrique en termes d’unicité et de stabilité ?

Cheng et Cheng (Cheng and Cheng, 1998a) suggèrent d’introduire des fonctions dépendantes des propriétés matériaux afin de caractériser la forme de la courbe d’indentation conique. La charge de la courbe d’un matériau élastique-parfaitement plastique étant dépendante des paramètres 〈 , , ; 〉, ils la décrivent à l’aide d’une fonctionnelle adimensionnelle Π , . est le module d’Young du matériau, sa limite d’élasticité, son coefficient de Poisson et la profondeur d’indentation. Pour identifier cette fonction Π, de nombreuses simulations EF de l’essai sont menées en faisant varier les trois paramètres matériau 〈 , , 〉. Ils concluent alors qu’il est possible de déduire l’un des trois paramètres à partir de la charge de la courbe si les deux autres sont connus. Mais les trois paramètres 〈 , , 〉 ne sont pas tous accessibles simultanément à partir de la charge seule. Cet exemple montre les prémices du problème d’unicité et de stabilité du vecteur- paramètres obtenu.

Par la suite de nombreuses études ont été menées afin d’améliorer la méthode. La plupart des matériaux d’étude furent des métaux et alliages (acier, alliage de zinc et d’aluminium, cuivre, or, plomb, argent, tungstène, titane, fer, nickel, zinc, aluminium), dont le comportement en sollicitation monotone peut être correctement modélisé par une loi de type puissance (2.19) paramétrée par

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〈 , , 〉. Dans ces études, la valeur de est en général comprise entre 0,25 et 0,35 et la plupart du temps fixée à 0,3 car considéré peu influant. Au fur et à mesure des travaux, quatre principales fonctions adimensionnelles ont été établies et approchées à l’aide de simulations EF afin de déterminer quatre fonctions de forme de la courbe d’indentation : la charge Π , la décharge Π , le rapport entre profondeurs résiduelle et maximale Π et le rapport entre travail plastique et total

Π (Z. S. Ma et al., 2012) : Π , 2.24 Π , 1 2.25 Π , 2.26 Π , 1 3 1 1 2.27

est le module d’Young, l’exposant de la loi puissance dans la définition de la décharge de la

courbe d’indentation : , est la courbure de charge et é la

raideur de contact à profondeur d’indentation maximale . Les différents paramètres intervenant dans la définition des fonctionnelles sont représentés sur la Figure 2.14.

Figure 2.14 - Courbe d'indentation et nomenclature associée (Casals and Alcalá, 2005).

Ces fonctions ont été utilisées dans de nombreuses études en indentation conique, Berkovich et sphérique sur ce type de matériau (Cheng and Cheng, 1998a, 1998b, 1999a, 1999b, 2004;

Giannakopoulos and Suresh, 1999; Venkatesh et al., 2000; Dao et al., 2001; Kucharski and Mròz, 2001; Tunvisut et al., 2002; Capehart and Cheng, 2003; Tho et al., 2004; Alkorta et al., 2005; Casals and Alcalá, 2005; Collin et al., 2007, 2010; Z. S. Ma et al., 2012). Cependant, il s’avère que ces quatre fonctions (2.24) à (2.27) ne sont pas indépendantes. En conséquence, l’unicité du jeu de paramètres solution 〈 , , 〉 est remise en question par Cheng et Cheng (Cheng and Cheng, 1999a), malgré la simplicité de la loi et le faible nombre de paramètres. L’utilisation de plusieurs indenteurs coniques avec différents angles d’ouverture Θ permet parfois de remédier au problème dans les études suivantes (Futakawa et al., 2001; Bucaille et al., 2003; DiCarlo et al., 2003; Chollacoop et al., 2003; Cao, 2004; Swaddiwudhipong et al., 2005; Wang et al., 2005; Luo and Lin, 2007; Lan and Venkatesh, 2007; Yan

et al., 2007; Le, 2008, 2009; Heinrich et al., 2009; Phadikar et al., 2013). En n’utilisant qu’un seul

indenteur conique, Cheng et Cheng (Cheng and Cheng, 1999a) montrent numériquement que des jeux de paramètres 〈 , , 〉 différents peuvent produire des courbes d’indentation indistaguables (Figure 2.15). Les courbes correspondant sont toutes différentes mais passent toutes par un même point de fonctionnement , , dépendant de l’indenteur utilisé.

Figure 2.15 - Courbes d’indentation conique (68°) identiques obtenues numériquement pour différents matériaux (Cheng and Cheng, 1999a). (a) Matériaux au comportement fortement élastique, (b) Matériaux au comportement

fortement plastique.

Pour remédier au problème d’unicité et de la stabilité de la solution, Ma et al. (Z. Ma et al., 2012) suggèrent de prendre en compte la courbe d’indentation mais aussi la topographie résiduelle. Ils introduisent une nouvelle fonction indépendante de celles déjà établies prenant en compte l’effet de bourrelet et d’enfoncement de la ligne de contact autour de l’empreinte d’indentation (Figure 2.16). Elle est définie comme étant le rapport entre l’aire résiduelle ∆ , due aux bourrelets et à l’enfoncement de la ligne de contact, et l’aire résiduelle totale (ou comme un taux de production de bourrelets) :

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Figure 2.16 - Définition de l’aire résiduelle ∆A due aux bourrelets et aux enoncements de la ligne de contact autour de l’empreinte (Z. S. Ma et al., 2012).

Ils utilisent trois fonctions indépendantes Π (2.24), Π (2.27), Π (2.28) pour identifier les trois paramètres 〈 , , 〉. Le problème direct sécrit :

〈 , ,∆ 〉 , , 2.29

La loi matériau identifiée reste simple avec peu de paramètres. Pour des lois plus complexes, on peut imaginer utiliser les mêmes fonctions Π , Π , Π en faisant varier également l’angle d’ouverture Θ de l’indenteur conique utilisé.