Ce modèle EF consiste en un agglomérat cubique de 91 grains octaédriques dont le maillage et les orientations aléatoires ont été générés par le logiciel NEPER. La distribution uniforme des orientations granulaires est assurée par la fonction « rand() ANSI C ». La notion de localisation décrivant les incompatibilités entre les grains est absente du modèle. De plus, aucune loi d’homogénéisation n’est introduite. L’échantillon est un cube unitaire (1x1x1µm3) composé de 13824 éléments 3D linéaires
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(C3D8). Comme l’illustre la Figure 1.7, la face inférieure du polycristal est bloquée suivant l’axe , un des coins de cette face est encastré et le coin opposé sur cette même surface est bloqué suivant l’axe . On impose un déplacement uniforme sur la face supérieure du polycristal jusqu’à atteindre une déformation totale selon l’axe de 15%.
Figure 1.7 - Modèle EF de l’essai de traction sur VER polycristallin composé de 91 grains orientés aléatoirement (13824 éléments C3D8).
Afin d’obtenir la courbe de l’essai de traction simulé, on relève la réaction sur la face inférieure de l’échantillon en fonction du déplacement . On détermine alors la déformation et la contrainte à partir des formules suivantes :
ln 1 1.47
1 1.48
où est la longueur initiale du côté du cube (ici, 1 μm) et l’aire de la section initiale du cube (ici, 1 μm ). La Figure 1.8 montre la courbe expérimentale, la loi isotrope et la courbe de traction simulée à partir du modèle EF avec le vecteur-paramètres du « matériau virtuel » (1) défini au Tableau 1.14. On a ainsi une évaluation graphique du jeu de paramètres matériau.
Figure 1.8 - Courbes d’écrouissage de l’échantillon de nickel recuit : expérimentale (pointillés noirs), loi isotrope exponentielle (bleue), modèle EF de l’essai de traction sur VER polycristallin avec le « matériau virtuel » (1)
(Tableau 1.14) (orange).
La question du nombre de grains à intégrer dans un tel modèle EF censé être représentatif du comportement d’un matériau polycristallin s’est posée. L’impact du nombre de grains considéré dans l’agrégat polycristallin sur la réponse est donc étudié. Pour cela, cinq modèles EF de l’essai de traction sur agrégat polycristallin sont définis, composés respectivement de 9, 35, 91, 189 et 341 grains orientés aléatoirement (Tableau 1.15). L’indice indique le nombre de grains considéré dans l’agrégat polycristallin poly . Le nombre d’éléments par grain est constant d’un modèle à l’autre (256 éléments/grain). Les maillages des cinq agrégats polycristallins sont représentés en Figure 1.9. Les conditions aux limites appliquées aux cinq modèles sont identiques à celles présentées Figure 1.7. poly est l’agrégat polycristallin composé de 341 grains et est considéré comme celui de référence.
Agrégat polycristallin
poly poly poly poly poly
Nombre de grains 9 35 91 189 341
Tableau 1.15 – Nombre de grains considéré dans le modèle EF de l’essai de traction sur l’agrégat polycristallin poly .
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La simulation de l’essai de traction est réalisée sur les cinq agrégats polycristallins, où l’évolution de la contrainte est extraite (Figure 1.10a). Le vecteur-paramètres utilisé est celui définissant le « matériau virtuel » (1) (Tableau 1.14). L’erreur relative entre la contrainte (issu de la simulation avec le VER poly ) et la contrainte de référence est calculée en tout point et normée par rapport à la contrainte maximale atteinte pour la simulation de référence. La valeur absolue de la moyenne de l’erreur relative en fonction du nombre de grains des VER polycristallins poly (1.49) est reportée en Figure 1.10b. L’écart type est défini à l’équation (1.50). Bien que le VER poly présente une erreur très faible, un VER polycristallin contenant 9 grains ne peut pas être représentatif du comportement macroscopique de notre échantillon recuit. On remarque que la réponse du VER poly présente une erreur qui n’excède pas 5% pour 15% de déformation totale. Le VER poly permet donc un bon compromis entre temps de calcul et qualité de résultats, en gardant à l’esprit que le modèle est basé sur une hypothèse forte (notion de localisation et d’homogénéisation absentes du modèle).
∆ | | max 1 max 1.49 1 4 ∆ ∆ 9; 35; 91; 189; 341 1.50
Figure 1.10 – (a) impact du nombre de grains considéré dans le VER polycristallin sur la réponse . (b) Ecart relatif entre la contrainte issue de la simulation et la référence pour chaque VER polycristallin.
Le recalage du modèle EF est utilisé pour finaliser l’estimation du paramètre . La valeur optimale minimisant l’écart entre la loi isotrope exponentielle et le résultat du modèle EF est alors recherchée par dichotomie sur l’intervalle déterminé ∆ (Tableau 1.14) pour chaque « matériau virtuel ». Les résultats sont présentés dans le Tableau 1.16.
Elasticité Viscosité Ecrouissage Matériau virtuel
MPa. s⁄ MPa MPa
8 7 26,7 16 100 0 0 0 0 0 1,3 1 248 GPa 89 1 1 1 1 1 1,4 2 1 45 1 1 1 1 20 3 153 GPa 1 1 45 1 1 1 20,5 4 1 1 1 89 1 1 20 5 116 GPa 1 1 1 1 23 1 10 6 1 1 1 1 1 45 20 7
Tableau 1.16 - Définitions des sept « matériaux virtuels » issues du protocole numérique. Résultats de recalage du modèle de l’essai de traction sur VER polycristallin.
Il est important de comprendre qu’avec cette stratégie, chaque « matériau virtuel » a été défini au travers des paramètres matériau , , , , , , , , , , , , , , dans le but d’obtenir une réponse du modèle EF de l’essai de traction sur VER polycristallin proche de celui de l’écrouissage de l’échantillon de nickel recuit. Les résultats du modèle EF sont superposés en Figure 1.11 afin de juger la qualité de l’estimation faite des paramètres matériau choisis.
Figure 1.11 - Courbes d’écrouissage de l’échantillon de nickel recuit : expérimentale (pointillés noirs), loi isotrope exponentielle (bleue), modèle EF de l’essai de traction sur VER polycristallin avec les
« matériaux virtuels » (1)-(7) (Tableau 1.16). (a) 15%, (b) 5%.
On remarque que les résultats du modèle EF sont en accords avec la réponse expérimentale jusqu’à 5% de déformation, puis commencent à diverger. Ceci est supposé provenir de l’absence totale des notions d’homogénéisation et d’interaction entre grains voisins dans le modèle EF de l’essai de traction sur VER polycristallin. En conséquence, les réponses numériques sont sous-estimées en grandes transformations. Mais d’un point de vue macroscopique, la déformation plastique représentative en indentation Berkovich est très souvent évaluée autour de 3,3% de déformation plastique (Dao et al., 2001).
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1.5. Conclusions
La description des interactions des dislocations de la forêt présente la complexité de l’écrouissage de la matière à l’échelle du grain.
La modélisation de la plasticité monocristalline proposée par Méric-Cailletaud est adoptée et détaillée. Les difficultés d’identification des paramètres de cette loi, et des termes de la matrice d’interaction en particulier, sont présentées.
Un protocole d’estimation des paramètres associés à la loi de Méric-Cailletaud est établi. Il permet de définir des « matériaux virtuels » monocristallins dont le comportement macroscopique est proche des échantillons d’études en termes de contraintes et de déformations macroscopiques.
Pour aborder le problème d’identification des paramètres associés à la loi de Méric-Cailletaud, on propose d’enrichir l’information expérimentale par des essais de nanoindentation. L’analyse d’identifiabilité des paramètres basée sur l’exploitation des résultats des essais de nanoindentation est inédite. Cette technique présente des atouts intéressants : une sollicitation directe de la matière à l’échelle du grain et une activation simultanée d’un grand nombre de systèmes de glissement.