Comme je l’ai déjà introduit (brièvement) dans la partie 3, la reconstruction tomo- graphique s’opère en 2 principales étapes. La première consiste à reconstruire la phase à partir des mesures provenant de chaque direction d’analyse dans le volume au dessus du télescope. On reconstruit alors les perturbations de phase en altitude, couche à couche. La deuxième étape consiste à isoler les phases reconstruites de chaque couche dans la ou les directions d’intérêt puis à projeter la phase turbulente à corriger sur un (LTAO-MOAO) ou plusieurs miroirs déformables (MCAO). Je vais m’intéresser par la suite uniquement à la prédiction tomographique dans le cas de la MOAO avec un seul miroir déformable dans la pupille par direction d’intérêt. Je me place volontairement dans un cas statique, sans prédiction temporelle du front d’onde. Cette dernière remarque s’applique sur toute la suite de cette thèse sauf mention contraire.
6.1.1 Principe de la reconstruction tomographique
En boucle ouverte, l’analyseur de surface d’onde mesure toute la turbulence (entendons par là aucune correction) et non le résidu de correction comme dans le cas de la boucle fermée. On note α = {αi} l’ensemble des i directions d’analyse dont le nombre dépend
directement du nombre d’étoiles guides utilisées afin de sonder la turbulence et L = {Lj}
l’ensemble des j couches turbulentes. Le vecteur de mesures m = {mαi}, disponible à
un instant t donné, est composé de la concaténation des mesures multi-directionnelles de chaque analyseur de surface d’onde.
L’approche classique (Gavel 2004 [29], Gavel et al. 2005 [30], Neichel et al. 2008 [55]) consiste à partir des mesures intégrées dans chaque direction d’analyse φmes
les phases ϕα dans chacune des L couches turbulentes calculées sur une base (Zernike,
Fourier...). La tomographie est une opération qui vise à résoudre un problème inverse, le modèle direct étant le passage de la phase issue des différentes couches atmosphériques aux mesures des analyseurs. Ce modèle direct est linéaire et peut se formaliser par des matrices de passage. Pour cette raison certainement, les auteurs ont toujours recherché une solution inverse linéaire pouvant également s’exprimer sous forme matricielle.
On peut ainsi représenter l’étape de reconstruction du volume (aussi connue sous le nom de « back-propagation », Gavel 2004 [29]) à partir des mesures intégrées dans la pu- pille φmes
α (étape 1) par la matrice notée Wtomo. On peut également noter Popt l’opérateur
de projection des phases reconstruites dans le volume vers la (ou les) direction(s) d’intérêt β = {βi} et sur le miroir déformable, constituant ainsi la deuxième étape (ou « forward-
propagation », Gavel 2004 [29]).
La matrice de reconstruction W d’un système tomographique s’écrit alors comme le produit des deux matrices :
W = PoptWT omo (6.1)
La phase reconstruite pour chaque miroir déformable à la direction d’intérêt β est ainsi donné par :
φM Dβ =Wφα (6.2)
Il est important de noter que la matrice de reconstruction du volume WT omo est com-
mune à tous les systèmes d’OA grand champ (LTAO, MCAO, MOAO). La seule différence provient du projecteur Popt dont l’expression varie suivant le type d’OA tomographique
utilisée.
6.1.2 Reconstruction du volume turbulent
On note ϕL la phase pour chacune des L couches reconstruites dans le volume de
turbulence (je rappelle que φα est la valeur intégrée de la turbulence dans la pupille).
On peut écrire que la phase estimée à partir des mesures dans chaque direction α peut s’écrire sous la forme :
φmesα = M PαLϕL+ b = M φα+ b (6.3)
avec M la matrice décrivant le modèle de la mesure effectuée par l’analyseur de surface d’onde à partir des estimées de phase, b le bruit de mesure et PL
α un projecteur des couches
turbulentes dans chacune des directions d’analyses α (modèle purement géométrique). On peut ainsi écrire l’estimée de la phase reconstruite sur les L couches ˆϕL à partir des
mesures φmes α par :
ˆ
ϕL = WT omoφmesα (6.4)
6.1 La tomographie en boucle ouverte 145
Fig. 6.1 – Géométrie du problème tomographique.
6.1.3 Détermination de W
T omo6.1.3.1 Minimisation des mesures
Une première façon de calculer Wtomo consiste à minimiser les mesures au modèle de la
mesure au sens des moindres carrés (LSE). Il s’agit donc de minimiser le critère : � =<||φmes
α − MPαLϕˆL||2 > (6.5)
où ˆϕL sont les estimées recherchées.
La solution s’écrit sous la forme :
WT omoLSE = [(M PαL)tM PαL]−1(M PαL)t (6.6) qui peut aussi s’écrire (Tarantola & Valette 1982 [87]) :
WT omoLSE = (M PαL)t[M PαL(M PαL)t]−1 (6.7) 6.1.3.2 Reconstruction optimale : cas MMSE
Dans le cas d’un reconstructeur de type MMSE (Minimum Mean Square Error) on minimise cette fois-ci la variance résiduelle dans chaque couche reconstruite (Ellerbroek 1994 [17], Fusco et al. 1999 [25], Assemat 2004 [2]).
On a alors le critère suivant :
� =< || ˆϕL− WT omoM M SEφmesα ||2 > (6.8) Le reconstructeur WM M SE
T omo peut alors s’écrire sous la forme :
WT omoM M SE =< ˆϕL.φmesα >< φmesα .φmesα >−1 (6.9) En remplaçant φmes
α par l’expression donnée en 6.3 et en développant on aboutit à :
WT omoM M SE = Cϕ.(M PαL)t[M PαLCϕ(M PαL)t+ Cb]−1 (6.10)
avec Cϕ la matrice de covariance de la phase turbulente, contenant des informations
a priori sur le modèle de la turbulence (force et altitude des couches turbulentes), et Cb
la matrice de covariance du bruit. Grâce l’injection de ces a priori la méthode MMSE est plus performante que la méthode LSE (sous réserve d’une bonne estimation des paramètres du modèle). Notons que lorsque les a priori sont inexistants, alors Cϕ = Cb = Id et on
retrouve bien l’expression du reconstructeur LSE.
6.1.4 Projection dans la direction d’intérêt
Une fois connue la phase dans chacune des L couches turbulentes au dessus du télescope (étape 1 terminée), il reste maintenant à les projeter sur la ou les directions d’intérêt(s) β ={βi}.
Dans le cas de la MOAO ou la LTAO, il n’y a pas à proprement parler d’optimisation dans tout le champ (comme en MCAO) et la projection des L couches reconstruites se fait sur un seul miroir déformable (conjugué dans la pupille). On peut alors écrire la matrice Popt comme un projecteur géométrique dans la direction d’intérêt connue βi :
Popt = PβLi (6.11)
On peut alors écrire dans le cas MOAO ou LTAO, la phase intégrée que le miroir déformable doit reproduire comme :
ˆ φβi = P
L βiϕˆ
L (6.12)
6.1.5 Détermination des tensions du miroir déformable.
Afin de trouver les tensions correspondantes à appliquer sur chaque miroir déformable il faut appliquer une matrice de passage permettant de passer de la phase sur le miroir déformable à l’espace des tensions en utilisant notamment une matrice de commande Mc,
définie en section 2.4. En notant B la matrice de passage permettant de passer de la base utilisée (Zernike, Fourier...) de l’estimée de phase vers l’espace des mesures des analyseurs de surface d’onde on peut écrire alors les tensions à appliquer sur chaque miroir déformable par :