de phase
Un des mod`eles ´elabor´es pour expliquer les TSI propose de comprendre ce
ph´e-nom`ene par les fluctuations de la phase du param`etre d’ordre. Si la
supra-conductivit´e est uniquement d´etruite par des fluctuations de phase, alors cela signifie qu’il existe des paires de Cooper des deux cˆot´es de la transition, c’est-`a-dire que l’on
aurait des paires pr´e-form´ees alors mˆeme que le film a un comportement isolant.
th´eorie d’´echelle de ce cas autour et `a la transition induite par un champ magn´etique ou par le d´esordre, moyennant une hypoth`ese forte sur la dualit´e paires/vortex sur laquelle tout le mod`ele repose. Ce type de mod`ele est appel´e ”dirty boson model” et est uniquement valable en dimension 2. La phase supraconductrice est alors un
condensat de paires de Cooper avec des vortex localis´es, alors que la phase
isolante est un condensat de vortex avec des paires localis´ees.
2.2.1 Sur la dualit´e bosons-vortex
La dualit´e
La transformation d´efinissant `a partir de variables ”r´eelles” les variables trans-form´ees de Fourier est appel´ee ”transformation de dualit´e”. La dualit´e, ainsi que les transformations associ´ees jouent un rˆole important dans l’´etude des transitions de phase `a deux dimensions. Ainsi dans le mod`ele d’Ising `a 2D sur un r´eseau carr´e, les phases basse temp´erature et haute temp´erature sont li´ees par une relation de dualit´e, ce qui permet, par l’unicit´e de la temp´erature de transition entre les deux phases, de d´eterminer la temp´erature critique du syst`eme. De mani`ere g´en´erale, la phase haute temp´erature ´etant celle dont il est plus facile de calculer les propri´et´es, puisque la plus sym´etrique, on peut en d´eduire les propri´et´es de la phase basse temp´erature par ces relations de dualit´e.
La dualit´e bosons/vortex
M. Fisher, dans son article de 1989 [Fisher et Lee, 1989], explore la relation liant un syst`eme de bosons bi-dimensionnel avec un supraconducteur tri-dimensionnel. Une caract´eristique fondamentale d’un syst`eme de bosons bi-dimensionnel est que la phase du param`etre d’ordre superfluide et la densit´e de bosons sont des variables conjugu´ees qui ne commutent pas. Alors, une description possible de la transition peut se faire par le biais de la phase du param`etre d’ordre, mais peut ´egalement s’envisager par une description en terme de densit´e bosonique. C’est ce que fait M. Fisher dans cet article. Plus pr´ecis´ement, il ´etudie la fonction de partition d’un syst`eme de bosons sur sites d´esordonn´es `a T = 0 et en d´eduit une relation de dualit´e entre une repr´esentation via le param`etre d’ordre et celle avec la densit´e de superfluide (espace dual). Comme cette repr´esentation duale en termes de densit´e de superfluide est isomorphe `a un probl`eme
classique - un supraconducteur `a 3D sous champ magn´etique1- via l’´equivalence entre
un probl`eme quantique de dimension d et un probl`eme classique de dimension d + 1, on peut ´etablir des similitudes entre les phases thermodynamiques possibles pour le supraconducteur et les ´etats fondamentaux du syst`eme de bosons `a 2D. Ces corres-pondances sont explicit´ees figure (2.1). Entre autre, M. Fisher en tire que les vortex du supraconducteurs ”3D” sont ´equivalents aux bosons du syst`eme initial.
2.2.2 La th´eorie de la transition supraconducteur-isolant
M. Fisher d´eveloppe ensuite la th´eorie des TSI induites soit par le d´esordre, soit par l’application d’un champ magn´etique [Fisher, 1990] et construit le diagramme de
1En fait, le supraconducteur ´equivalent est un r´eseau 2D d’objets 1D, tels qu’un r´eseau 2D de cylindres par exemple.
Fig. 2.1 –Correspondance entre les propri´et´es d’un syst`eme de bosons 2D avec celles d’un supraconducteur 3D [Fisher et Lee, 1989].
phase correspondant (reproduit figure (2.2)).
Fig. 2.2 – Diagramme de phase pour un film supraconducteur d´esordonn´e [Fisher, 1990]
dans l’espace (champ magn´etique B, d´esordre ∆, temp´erature T ).
Il part du cas d’un film mince supraconducteur sans d´esordre en champ magn´etique nul (ligne [0,T )). Ce film pr´esente une transition de Kosterlitz-Thouless (KT) `a une
temp´erature Tc inf´erieure `a la temp´erature Tc0 qu’aurait le mˆeme compos´e `a 3D du
fait des fluctuations qui sont topologiquement plus importantes `a 2D qu’`a 3D. Ainsi on a les r´egimes suivants :
subit des fluctuations thermiques qui sont des fluctuations d’amplitude.
? Tc0>T>Tc: Entre la temp´erature de transition bulk et la temp´erature de tran-sition KT, le param`etre d’ordre Ψ(r) a une amplitude fix´ee mais une phase variable, du fait des d´eplacements des vortex qui se font `a ´energie nulle. Ceci empˆeche l’´etablissement d’un ordre `a grande distance, ou mˆeme un quasi-ordre `a grande distance.
? Tc>T : `A plus basse temp´erature, les vortex et anti-vortex se combinent en paires et on a un quasi-ordre `a grande distance qui se traduit par une loi de
puissance : hΨ∗(r)Ψ(0)i ∼ r−η.
M. Fisher examine alors la situation o`u on augmente fortement le d´esordre - caract´eris´e
par un param`etre ∆ - au-del`a d’une valeur critique ∆c o`u la temp´erature critique
de KT est r´eduite `a 0 K du fait du d´esordre. Le point ∆c de la figure signe une
transition supraconducteur-isolant `a T = 0 induite par le d´esordre. Dans ce cas, si Tc0
ne tombe pas `a z´ero en ce point, on peut d´ecrire le syst`eme en termes de d´epairage de vortex, comme dans une transition KT : les paires vortex/antivortex de la phase supraconductrice se dissocient dans l’isolant qui est un verre d’´electrons. Cette phase
de verre d’´electrons est une phase o`u les paires d’´electrons sont localis´ees et elle peut,
pr`es de la transition `a T = 0, ˆetre d´ecrite comme un condensat de Bose de vortex
d´epair´es2. Puisque l’on est `a T = 0, la condensation est induite par les fluctuations
quantiques qui augmentent lorsque le d´esordre augmente.
Si la transition en ∆c est continue, elle sera caract´eris´ee par :
? une longueur de corr´elation divergeante comme ξ ∼ δ−ν o`u δ = ∆−∆c
∆c est la
distance `a la transition. On a alors ν > 2
d = 1. C’est le crit`ere quantique de
Harris [Harris, 1974].
? une fr´equence caract´eristique qui tend vers z´ero `a la transition comme Ω ∼ ξ−z.
Des arguments du groupe de renormalisation donnent z = 1.
? `a temp´erature finie la conductivit´e DC devrait suivre une loi d’´echelle en σ(T, ξ →
∞) ∼ Td−2z . `A 2D on attend donc une constante.
Si on consid`ere maintenant l’effet d’un champ mag´etique, dans le cas sans d´esordre (plan (B0T )), les vortex vont geler dans un r´eseau de vortex d’Abrikosov en dessous
d’un champ crique Bm. Cependant, d`es que l’on introduit du d´esordre, les corr´elations
`a grande distance du cristal vont ˆetre d´etruites, si bien qu’il n’y a plus d’ordre ni mˆeme de quasi-ordre `a grande distance. A 2D, et `a temp´erature non nulle, le mouvement des vortex va d´etruire la coh´erence de phase et engendrer une r´esistance non nulle. Si on ´evolue vers une temp´erature nulle, les vortex sont localis´es `a la fois par le d´esordre et les interactions r´epulsives logarithmiques. Ils sont alors fix´es spatialement et ne peuvent pas fluer. Ceci donne une r´esistance nulle. On a alors une phase supraconductrice de
2Vers 1925, Albert Einstein, en approfondissant une id´ee du physicien indien Satyendranath Bose, a pr´edit que, dans un gaz d’atomes identiques et sans interaction, une transition devait se produire `a basse temp´erature si la densit´e est suffisamment grande. D’apr`es Einstein, si la lon-gueur d’onde de de Br¨oglie des atomes devient du mˆeme ordre que les distances interatomiques (cette longueur d’onde est g´en´eralement beaucoup plus petite), alors une fraction importante des atomes devrait s’accumuler dans l’´etat fondamental de l’enceinte qui contient les atomes, c’est-` a-dire dans le mˆeme ´etat quantique d’´energie minimale. Cette ”condensation” concerne uniquement les bosons. Les fermions ne peuvent, eux, pas subir cette condensation : le principe d’exclusion de Pauli interdit en effet `a deux fermions identiques d’occuper le mˆeme ´etat quantique. (D’apr`es http ://www.lkb.ens.fr/recherche/atfroids/tutorial/index2.htm)
type verre de spin avec h |Ψ∗(r)Ψ(0)|2 iensemble 6=r→∞ 0, o`u il s’agit d’une moyenne d’ensemble, ainsi appel´ee verre de vortex.
Lorsque l’on augmente le champ magn´etique, `a temp´erature nulle (plan (∆0B)), la densit´e de vortex augmente, et ceux-ci devraient subir une d´elocalisation et une
condensation de Bose `a un champ critique Bc. Pour cela, il est n´ecessaire que les
paires d’´electrons soient localis´ees formant un verre de paires de Cooper, de mani`ere analogue `a la localisation des vortex et `a la condensation des ´electrons dans le verre de
vortex. Pr`es de la transition, il y a comp´etition entre la condensation de paires
et celle de vortex.
On a donc une TSI induite par l’application d’un champ magn´etique caract´eris´ee, de mani`ere analogue `a la transition en ´epaisseur, par :
? une longueur de corr´elation divergeante comme ξ ∼ δ−νB o`u δ = B−Bc
Bc est la
distance `a la transition. On a alors νB > 2
d = 1.
? une fr´equence caract´eristique qui disparaˆıt `a la transition comme ΩB ∼ ξ−zB.
Des arguments du groupe de renormalisation donne zB = 1.
? `a temp´erature finie la conductivit´e DC devrait suivre une loi d’´echelle en σ(T, ξ =
∞) ∼ Td−2zB . `A 2D on attend donc une constante.
Cependant, mˆeme si la description formelle est analogue `a une TSI induite par le d´esordre, la nature de cette transition est diff´erente : en effet, ce ne sont plus les paires vortex/antivortex qui condensent : il y a condensation de vortex parce que le champ magn´etique augmente leur densit´e. Les antivortex ont disparu par l’application d’un champ. Comme on consid`ere des films supraconducteurs `a 2D, ceci a une cons´equence importante. En effet, le champ magn´etique ne peut p´en´etrer `a l’int´erieur du supracon-ducteur que perpendiculairement au plan du film. Ainsi, pour un champ magn´etique parall`ele au film, il ne peut pas y avoir cr´eation de vortex induits par le champ. Il reste alors des paires vortex/antivortex qui ont le mˆeme comportement qu’`a champ nul puisque l’on n’a pas augment´e le d´esordre, et un supraconducteur `a champ nul restera supraconducteur sous champ parall`ele, jusqu’`a ce que l’on casse les paires de
Cooper `a Hck et que l’on d´etruise la supraconductivit´e.
De la relation de dualit´e entre bosons et vortex, M. Fisher tire qu’a priori ρxx et
ρxy devraient ˆetre universels `a la transition et on devrait avoir la relation :
ρ2
xx+ ρ2
xy= ( h
4e2)2 (2.6)
Cette ´equation signifie qu’`a la transition, pour chaque paire de Cooper qui traverse le syst`eme, il y a aussi un vortex qui parcourt le syst`eme (du fait des relations de dualit´e). De plus, `a la transition, ni les paires, ni les vortex ne sont condens´es, ils sont
dans un ´etat m´etallique et peuvent diffuser avec une r´esistance finie, contrairement
aux fermions [Anderson, 1958].