Dans la TMI d’Anderson, les ´electrons sont localis´es par les fluctuations du potentiel
W , mais il ne s’agit pas d’un effet `a proprement parl´e quantique. La m´ecanique
Ra-Fig. 9.3 – Exemples de (a) fonction d’onde ´etendue avec un libre parcours moyen l (b) fonction d’onde localis´ee avec une longueur de localisation ξ [Lee et Ramakrishnan, 1985].
makrishnan lorsqu’ils ont d´evelopp´e la th´eorie de la localisation [Abrahams et al., 1979] en faisant intervenir des effets d’interf´erences quantiques.
L’approche de Thouless
Le premier `a avoir tent´e de mod´eliser les TMI grˆace aux outils du groupe de renor-malisation est Thouless [Thouless, 1974]. Il tente d’aboutir `a une description en termes de loi d’´echelle pour cette transition. L’ensemble de son calcul est uniquement valable `a temp´erature nulle.
Il construit un ´echantillon de taille (2L)den d dimensions `a partir de cubes de taille
Ld. Les fonctions d’onde du cube (2L)dvont ˆetre une combinaison lin´eaire des fonctions
d’onde des cubes Ld et celles-ci vont d’autant plus se combiner que le recouvrement
des fonctions d’onde initiales est important et que leur diff´erence d’´energie δW est faible. Thouless montre que le recouvrement des fonctions d’onde d´epend uniquement
de la variation d’´energie ∆E des fonctions d’onde de Ld soumises `a des conditions aux
limites p´eriodiques ou antip´eriodiques. Ainsi, le rapport ∆E
δW est le seul param`etre qui
contrˆole la nature des fonctions d’onde du syst`eme lorsque celui-ci double de taille.
Ce rapport est proportionnel `a la conductance sans dimension g = G
e2/¯h o`u G est la
conductance du syst`eme r´eel. Il est donc reli´e `a une grandeur exp´erimentale.
Th´eorie d’´echelle de la localisation
Maintenant que l’on a d´efini le comportement de la conductance du syst`eme pour
une taille donn´ee, il faut reprendre le processus de Thouless o`u il agrandissait
progres-sivement son ´echantillon de Ld `a (2L)d : on part d’un syst`eme microscopique dont la
taille est de l’ordre du libre parcours moyen de l’´electron, longueur au-del`a de laquelle le mouvement de l’´electron devient diffusif et non plus ballistique. A cette ´echelle, la conductance g est une mesure microscopique du d´esordre, grande si le d´esordre est petit et vice-versa. On agrandit progressivement l’´echantillon et on veut pr´edire son comportement macroscopique. Abrahams, Anderson, Licciardello et Ramskrishnan ont d´evelopp´e la renormalisation associ´ee `a cette id´ee [Abrahams et al., 1979], dans le cadre
d’une th´eorie perturbative dans la limite d’un faible d´esordre. C’est la th´eorie de la localisation faible. On a alors deux limites oppos´ees :
? Si ∆EδW À 1, on est dans une situation de faible d´esordre. Le libre parcours
moyen l est alors grand par rapport aux distances inter-atomiques ((kFl)−1¿ 1).
Pour peu que la taille du syst`eme soit suffisamment grande pour qu’il y ait un libre parcours moyen bien d´efini (soit L À l), la conductivit´e σ est une grandeur intensive, ind´ependante de la taille L du syst`eme. La loi d’Ohm est alors valable :
g(L) = σLd−2 (9.5)
et on a la loi de Drude pour des ´electrons de mˆeme ´energie :
σ = ne2τ
m =
ne2l
¯hkF
(9.6)
o`u m est la masse d’un ´electron, τ le temps de collision ´elastique, n la densit´e
´electronique, e la charge ´el´ementaire, l le libre parcours moyen et kF le vecteur
d’onde de Fermi. ? Si ∆E
δW ¿ 1, on est dans une situation de fort d´esordre. Alors la conductivit´e
σ devient d´ependante de la taille L du syst`eme et la longueur pertinente devient
la longueur de localisation ξ. Alors on a L À ξ et :
g(L) ∝ exp(−L
ξ) (9.7)
Les auteurs introduisent ensuite la d´eriv´ee logarithmique :
β(g) = d(lng)
d(lnL) (9.8)
et postulent que cette quantit´e ne d´epend que de la conductance microscopique g. On a alors deux comportements asymptotiques :
? Si g À gc, on est dans un r´egime de forte conductance o`u la loi d’Ohm est
valide, et on a :
β(g) = d − 2 (9.9)
? Si g ¿ gc, on est dans un r´egime de faible conductance o`u il y a localisation.
Alors :
β(g) = ln(g
gc) < 0 (9.10)
Ils font ensuite l’hypoth`ese que la fonction β(g) est continue et monotone. Il en r´esulte le graphe de la figure (9.4). Entre ces deux comportements limites, la localisation est dite faible.
Fig. 9.4 – La fonction de renormalisation β(g) trac´ee pour les dimensions 1, 2 et 3 [Abrahams et al., 1979].
? β(g) > 0, les ´etats sont ´etendus. Le cas ne se pr´esente qu’en dimension
3. Si on part d’une conductance g > gc, β(g) est une fonction positive, ce qui
signifie qu’en augmentant la taille du syst`eme, celui-ci devient de plus en plus
conducteur. On ´evolue donc vers un ´etat m´etallique.
? β(g) < 0, les ´etats sont localis´es. En effet, la fonction β ´etant n´egative, lorsque L augmente, la conductance g diminue et on devient de plus en plus isolant.
A d = 3, β(g) s’annule pour une valeur de g = gc, ce qui entraˆıne une transition
m´etal-isolant. Le point gc est un point fixe instable pour la renormalisation de la
conductance. En revanche, pour les dimensions 1 et 2, il n’y a th´eoriquement pas
de transition m´etal-isolant, ces syst`emes sont toujours isolants.
Le cas de la dimension 2 est un cas limite. En effet, il n’y a pas de conductance
critique gc o`u β(g) s’annule, ce qui signifie que, dans tous les cas, limL→+∞g(L) = 0.
On a donc une transition entre une localisation forte se traduisant par une conductivit´e
variant exponentiellement avec la taille du syst`eme et une localisation ”faible” o`u elle
a un comportement logarithmique. Du cˆot´e des fonctions d’onde les plus ´etendues, on a : g = g0− αgcln µ L L0 ¶ (9.11)
o`u α est une constante num´erique.
D´efinissons la transition de phase dans le cas de la dimension 3. A l’approche de la
transition on peut lin´eariser la fonction β en supposant qu’elle a une pente 1
ν : β(g) = 1 ν( g − gc gc ) = δg ν pour δg ¿ 1 (9.12)
En int´egrant β depuis L = l le libre parcours moyen jusqu’`a L = ξ (longueur `a partir de laquelle on retrouve le comportement macroscopique) on obtient :
σ = Agc l (δg)
ν (9.13)
o`u A est une constante de l’ordre de l’unit´e.
On peut alors d´efinir des longueurs caract´eristiques de chaque cˆot´e de la transition :
? Du cˆot´e m´etallique, on a la longueur de corr´elation ξcor que l’on d´efinit
par : σ = gc ξcor (9.14) et on obtient : ξcor= l A(δg) −ν (9.15)
Le syst`eme est non ohmique pour des ´echelles inf´erieures `a ξcor, mais le devient
au-del`a. Ainsi, macroscopiquement, le syst`eme est ohmique.
? Du cˆot´e isolant, `a suffisamment grande ´echelle, le syst`eme passe dans un r´egime
o`u la fonction d’onde est localis´ee exponentiellement et on a :
g(L) = gcexp(−B|δg|νL
l ) (9.16)
On peut donc d´efinir une longueur de localisation ξloc :
ξloc= l
B(δg)
−ν (9.17)
o`u B est une constante de l’ordre de l’unit´e. On notera qu’`a 3D, pr`es de la
conductance critique gc, il n’y a pas de diff´erence entre un m´etal et un isolant
du point de vue microscopique.
On notera que, des deux cˆot´es de la transition, les longueurs caract´eristiques di-vergent, comme il est g´en´eral pour les transitions de phase, avec le mˆeme exposant critique ν.
9.3.1 Une approche plus ”intuitive” de la localisation
Un autre point de vue sur la localisation pr´esent´e par Bergmann [Bergmann, 1983] est le suivant : on injecte un ´electron de conduction `a l’origine du syst`eme, `a t = 0. Comme, du fait du d´esordre, l’´electron a un libre parcours moyen tr`es court, il subit de
Fig. 9.5 –Chemins de diffusion d’un ´electron dans un syst`eme d´esordonn´e. L’´electron a une probabilit´e accrue de revenir `a l’origine [Bergmann, 1983].
nombreuses diffusions. La probabilit´e qu’il a de se retrouver `a l’instant t `a la distance
r est donn´ee par :
P (r, t) = 1
4πDtexp(−
r2
4Dt) (9.18)
avec D = v2Fτ
d le coefficient de diffusion d´ependant de la dimensionnalit´e d et de la
vitesse de Fermi vF. La plupart des chemins qui arrivent en r sont incoh´erents entre
eux, puisqu’arrivant avec une phase al´eatoire. La probabilit´e totale d’avoir l’´electron en
r sera donc la somme des probabilit´es des diff´erents chemins menant `a r, sauf pour des
chemins particuliers. Ceux-ci sont ceux qui reviennent `a l’origine et qui peuvent ˆetre parcourus dans les deux sens : si, dans un sens, l’´electron est diffus´e par les impuret´es 1 `a 2 `a ... n, dans l’autre sens, il les parcourt de n ... `a 2 `a 1 comme sch´ematis´e sur la figure (9.5). Si chaque collision est purement ´elastique et sans interaction spin orbite, les deux sens sont coh´erents en phase et on doit additionner les amplitudes des fonctions d’onde. La probabilit´e de retour `a l’origine est ainsi 2 fois plus ´elev´ee que la probabilit´e d’aller de l’origine `a un autre point (figure (9.6)). Ce ph´enom`ene est purement quantique, puisqu’en m´ecanique classique, la probabilit´e P (r, t) aurait ´et´e la somme de tous les chemins possibles, alors que dans le cas d’un traitement par la m´ecanique quantique, P (r, t) est le carr´e de la somme de toutes les probabilit´es d’amplitude. Le d´esordre rend les deux approches ´equivalentes, sauf pour les chemins comportant une boucle. C’est le m´ecanisme physique, microscopique, `a l’origine de la localisation par le d´esordre via les ”interf´erences quantiques”. Cette description n’est valable que s’il y a invariance par renversement du temps.
Fig. 9.6 – Distribution de probabilit´e pour un ´electron diffusif introduit dans le syst`eme `a
r = 0 en fonction de la distance r parcourue en un temps t. La diffusion quantique a pour effet
d’augmenter la probabilit´e qu’il a de revenir `a l’origine. Il reste donc localis´e [Bergmann, 1983].