Th´ eor` eme de densit´ e de Frobenius

Il nous reste `a montrer que toute classe d’id´eaux, contient un id´eal de degr´es un sur Q. On commence par rappeler quelques r´esultats g´en´eraux, sur la th´eorie de Galois des corps de nombres. Soit E/K une extension de corps de nombres et soit L la clˆoture galoi-sienne de E. Soit H = Gal(L/E) et soit G = Gal(L/K). On pose :

G =

t

[

i=1

Hσi.

Un ´el´ement σ de G permute les ensembles Hσ_i par multiplication `a droite.

Definition 4.5.4 Si les ensembles Hσi, . . . , Hσiσ^l−1 sont deux `a deux distincts, et si Hσi = Hσiσl, on dit que la suite Hσi, . . . , Hσiσl−1

est un cycle de longueur l pour σ.

Tout ´el´ement de G admet une unique d´ecomposition en produits de cycles disjoints. Proposition 4.5.5 Soit p un id´eal premier de K non ramifi´e dans L/K. Soit b un premier de L au-dessus de p. Soit σ son automorphisme de Frobenius. On suppose que la longueur des cycles qui composent σ est t1, . . . , ts. Le premier p se d´ecompose alors dans E en produit de s premiers de L, de degr´es respectifs t1, . . . , ts.

Preuve L’automorphisme σ se d´ecompose en produit de cycles `a supports disjoints. Soit Hτ un repr´esentant d’un cycle de longueur l pour σ. On pose p0 = τ (b)∩ E, premier de E qui divise p. Calculons le degr´es relatif f (p0|p). Soit H(τ(b)) (respectivement G(τ(b))) le groupe de d´ecomposition de τ (b) dans L/E (respectivement L/K). On a

H(τ (b)) = H ∩ G(τ(b)). Mais

G(τ (b)) = τ · G(b) · τ−1 =< τ · σ · τ−1 > .

L’entier l est le plus petit entier strictement positif tel que Hτ = Hτ σl. On a alors :

H∩ < τ · σ · τ⁻¹ > =< τ · σ^l· τ⁻¹ > . On a donc H(τ (b)) =< τ · σl· τ−1 >. Il vient alors

f (p0|p) = _{f (τ (b)}^{f (τ (b)|p)} |p0) ⁼ |G(τ(b))| |H(τ(b))| ⁼ | < τ · σ · τ−1 >| | < τ · σl· τ−1 >| ^{= l.}

D´efinissons une application C d’un syst`eme de repr´esentantsR des cycles intervenant dans la d´ecomposition de σ en produits de cycles disjoints, vers les premiers de L au-dessus de p: `a un cycle de longueur l de σ repr´esent´e par Hτ , on lui associe le premier p0 = τ (b)∩ E de E, qui est de degr´es relatif l sur K. Montrons que cette application est biunivoque. Soient donc deux repr´esentants Hτ et Hλ tels que

p₀ = λ(b)∩ E = τ(b) ∩ E.

Les premiers λ(b) et τ (b) sont donc deux premiers de L au-dessus de p0. Par transitivit´e de l’action de H sur de tels premiers, il existe un ´el´ement γ de H, tel que

γλ(b) = τ (b).

L’´el´ement τ−1γλ est un ´el´ement de G(b) engendr´e par σ. Il existe donc un entier i tel que

γλ = τ σi.

On a alors

Hτ σⁱ = Hγλ = Hλ.

Hτ et Hλ repr´esentent donc le mˆeme cycle, et sont donc ´egaux car ´el´ements de R. L’ap-plication C est donc injective.

De plus, C est surjective. En effet X

Hτ∈R

f (τ (b)∩ E|p) =^X

i

ti = [G : H] = [E : K].

Mais p ´etant non ramifi´e dans E/K : P

p₀|pf (p0|p) = [E : K]. On a donc X Hτ∈R f (τ (b)∩ E|p) = ^X p₀|p f (p₀|p). (4.18)

Comme C est injective, (4.18) montre qu’elle est surjective, donc bijective.  Corollaire 4.5.6 Le nombre de premiers de E au-dessus de p de degr´es relatif 1 sur K est ´egal au nombre d’entiers i tels que σiG(b)σ_i⁻¹ ⊂ H.

Preuve Soit b un premier de L au-dessus de p. Soit σ un g´en´erateur de G(b). Par la proposition pr´ec´edente, le nombre des premiers de E au-dessus de p et de degr´es 1 sur ce premier, est ´egal au nombre d’entiers i tels que Hσiσ = Hσi, d’o`u le r´esultat.  Dans la suite, on adopte la notation suivante : si f1 et f2 sont deux fonctions d´efinies sur {s : Re(s) > 1} ; on pose f1 ∼ f2 si et seulement si f1− f2 a une limite finie en 1+.

Definition 4.5.7 Soit G un groupe fini et σ∈ G un ´el´ement d’ordre n. On appelle division de σ, l’ensemble des ´el´ements de G qui sont conjugu´es `a un certain σm, (m, n) = 1.

On peut maintenant d´emontrer le th´eor`eme de densit´e de Frobenius :

Th´eor`eme 4.5.8 (Th´eor`eme de densit´e de Frobenius.) Soit σ un ´el´ement de G = Gal(L/K), ayant t ´el´ements dans sa division. Soit S1 le nombre de premiers de K qui sont divisibles par un premier de L dont le Frobenius est dans la division de σ. Cet en-semble poss`ede une densit´e d(S1) au sens de Dirichlet. Cette densit´e vaut d(S1) = _|G|^t .

Preuve La preuve se fait par r´ecurrence sur l’ordre de σ, que l’on note dor´enavant n. Supposons d’abord que n = 1. S₁est donc l’ensemble des premiers de K qui se d´ecomposent totalement dans L. Soit S^∗ l’ensemble des premiers de L qui divise un premier de S1. Pour chaque premier p de S₁, il y a exactement |G| premiers distincts de S∗ qui divisent p, et ces ´el´ements de S^∗ sont de norme NK/Q(p), vu qu’ils sont de degr´es relatif 1 sur K. On a donc : X b∈S∗ NL/Q(b)^−s =|G|^X p∈S1 NK/Q(p)^−s

Soit T l’ensemble des premiers de L qui sont de degr´es relatif 1 sur Q. On a T ⊂ S∗. Un premier qui est dans S^∗ mais pas dans T est de degr´es relatif au moins 2 sur Q. Sa norme sur Q est donc au moins le carr´e d’un nombre premier. En particulier, la s´erie P

b∈S∗−TNL/Q(b)^−s est convergente au voisinage de 1 : X

b∈S∗−T

NL/Q(b)^−s ∼ 0.

Comme T admet une densit´e d(T ) au sens de Dirichlet, avec d(T ) = 1, il en va de mˆeme pour S∗ et d(S∗) = 1. On a donc

X

p∈S1

NK/Q(b)^−s ∼ − ¹

|G|^{log(s− 1).}

L’ensemble S1 admet donc une densit´e de Dirichlet, et celle-ci vaut 1

|G|. L’assertion est prouv´ee dans le cas n = 1.

Supposons maintenant que n > 1. Soit d un diviseur de n. Soit td le nombre d’´el´ements dans la division de σd. Soit S_d le nombre de premiers de K divisibles par un premier de L, dont le Frobenius est dans la division de σd. Par hypoth`ese de r´ecurrence, si d 6= 1, on a d(S_d) = ^td

Soit E le sous-corps de L, qui est invariant sous H =< σ >, le sous-groupe de G engendr´e par σ. Les premiers de K qui ont au moins un facteur premier dans E qui est de degr´es relatif 1 sur K, sont exactement les premiers de K, qui sont divisibles par un premier b de L, dont le Frobenius τ , a un cycle de logueur 1, dans son action sur les co-ensembles de H dans G (par la proposition 4.5.5). Par le corollaire (4.5.6), cela arrive quand il existe un entier i tel que σiτ σ_i⁻¹ ∈ H, c’est `a dire que τ est conjugu´e `a une puissance de σ, et donc que p est un ´el´ement de Sd pour un certain d, diviseur de n.

Soit SE l’ensemble des premiers de E de degr´es relatif 1 sur K. Si p est un ´el´ement de Sd, on note n(p) le nombre de premiers de E divisant p et de degr´es relatif 1 sur K. Si p est un ´el´ement de S_d, il est la norme de n(p) premiers de S_E. Comme S_E contient tous les premiers de E de degr´es relatif 1 sur Q, comme avant SE admet une densit´e au sens de Dirichlet, et celle-ci vaut 1. On a donc

−log(1 − s) ∼ ^X b∈SE NK/Q NE/K(b)
−s ∼^X d|n X p∈Sd n(p)NK/Q(p)^−s. (4.19) Calculons n(p). Soit donc p ∈ Sd. Par le corollaire (4.5.6), n(p) est ´egal au nombre de co-ensembles Hσi tels que σiσdσ⁻¹_i ∈ H. Comme H est cyclique, engendr´e par σ, c’est ´equivalent `a σi ∈ NG(< σd>). Donc, on a

n(p) =NG(< σd >) : H .

En appliquant l’hypoth`ese de r´ecurrence `a (4.19), on obtient : [NG(H) : H]^X p∈S1 N (b)^−s ∼  −1 + ^X d|n,d6=n NG < σd>
: H td |G|  log(s− 1) (4.20)

Lemme 4.5.9 Soit σ un ´el´ement d’ordre n d’un groupe G. Soit H le sous-groupe de G engendr´e par σ. Soit t le nombre d’´el´ements dans la division de σ. On a alors :

t = ϕ(n)[G : N_G(H)].

Preuve Pour deux ´el´ements a et b de G, on pose a∼ b si et seulement s’ils sont conjugu´es (dans G). Soient C = {σi|1 ≤ i ≤ n − 1, (i, n) = 1} et Q le quotient de C par cette relation d’´equivalence, dont on note S un syst`eme de repr´esentants. Soit Int(H) le groupe des automorphsimes de H de la forme φ(σ) = g<sup>−1</sup>σg, o`u g ∈ G. Ce groupe s’identifie `a

NG(H)

CG(σ). En notant ϕ la fonction d’Euler, on a     Aut(H) Int(H)     = ^ϕ(n)|CG(σ)| |NG(H)| ^.

Le groupe ^Aut(H)_Int(H) est en bijection avec Q. En particulier, |S| = ^ϕ(n)|CG(σ)| |NG(H)| . SoitD la division de σ. On a D = ^[ s∈S {g ∈ G|g ∼ s}.

Soit m un entier premier `a n ; alors l’ensemble des conjugu´es de C_G(σ) est aussi C_G(σm). Or, il y a [G : CG(s)] ´el´ements dans {g ∈ G|g ∼ s}. On en d´eduit donc

|D| = |S| · ^|G| |CG(σ)| ⁼

ϕ(n)|G|

|NG(H)| ^{= ϕ(n)[G : NG(H)].} 

Ce lemme montre que t_d = φ n

d
G : NG < σd>
. Le coefficient du log(s − 1) de l’´egalit´e pr´ec´edente devient :

−1 + ^X d|n,d6=n 1 n^φ n d  =−1 −^φ(n) n ⁺ X d|n 1 n^φ n d  =−^φ(n) n ^. Toujours en utilisant le lemme, on obtient :

X

p∈S1

NK/Q(p)^−s ∼ ^−t

|G|^{log(s− 1).}

 Proposition 4.5.10 Soit K un corps de nombres. Alors, toute classe d’id´eaux de K contient une infinit´e de puissances enti`eres de premiers de degr´es relatif 1 sur Q.

Preuve Soit en effet C une classe d’id´eaux de K. Soit L le corps de classes de K. Soit σ ∈ Gal(L/K), associ´e `a C via l’aplication d’Artin. On a

a∈ C ⇐⇒  a L/K  = σ.

Comme l’extension L/K est ab´elienne, la division S de σ est r´eduite aux puissances enti`eres premi`eres `a l’ordre de σ. Par le th´eor`eme de densit´e de Frobenius, l’ensemble des premiers de K qui admettent pour Frobenius un ´el´ement de S, admet une densit´e au sens de Dirichlet valant _|G|^|S|. Comme les id´eaux premiers de K ayant un degr´es relatif valant 1 sur Q ont pour densit´e de Dirichlet 1, on en d´eduit qu’il existe un entier l premier `a l’ordre de σ, pour lequel il existe une infinit´e de premiers premier de K de degr´es 1 sur Q, disons pi, ayant pour Frobenius σl, o`u l est premier `a l’ordre de σ. Il existe donc une puissance enti`ere de

p_i qui admet σ pour Frobenius. 

En particulier, pour d´emontrer que l’id´eal de Stickelberger annihile le groupe des classes de K = Q(ζ), il suffit de le d´emontrer pour les id´eaux premiers de K qui sont de degr´es relatif 1 sur Q.

4.5.3 Annihilation des id´eaux de degr´es un et les fractions de

Jacobi.

Proposition 4.5.11 Soit l un id´eal premier de degr´es relatif 1 sur Q. Pour tout ´el´ement Θ positif de l’id´eal de Stickelberger, l’id´eal lΘ est principal, engendr´e par un entier de Jacobi.

Preuve Soit l le nombre premier en dessous de l. Comme l est d’inertie 1 sur Q, on a l ≡ 1 mod p. Soit χ le caract`ere associ´e `a l par la proposition (4.5.1). Comme

l_a = l^σ−1a , La=Lσa⁻¹, la d´ecomposition (4.17) s’´ecrit (g(χ)) =L^l−1p (σ₁⁻¹+...+(p−1)σ⁻¹_p−1), c’est `a dire L(l−1)ϑ= (g(χ)) . Comme ψ_b−1 = (b− σb)ϑ, il vient L^(l−1)ψb−1 = g(χ)^b−σb
.

L’id´eal lΘb est donc bien principal. Montrons maintenant que si θ est un ´el´ement de l’id´eal de Stickelberger de Q(ζ), et si l est un id´eal de degr´es relatif 1 sur Q alors lθ est engendr´e par une fraction de Jacobi. Si s et t sont deux entiers tels que rs(r +s)6= 0 mod p, alors on pose ϕr,s = p−1 X t=1 ϕr,s(t)σ_t⁻¹, o`u ϕ_r,s(t) =^h(r+s)t_p ⁱ−^hrt p i −^hst p i .

On v´erife que N = ϕp−1,p−1 et ϕi = ϕ1,i. Donc, il suffit de montrer que lϕr,s ∈ J . On a ϕ_r,s= θ_r+s− θr− θs. Posons aussi gr = gσr. On a l^ϕr,s = grgs gr+s  = (Jr,s(l))∈ J .  Corollaire 4.5.12 En particulier, soit a un id´eal entier de Q(ζ), tel que si l est un nombre premier qui divise N (a), alors l ≡ 1 mod p. Soit θ un ´el´ement positif de l’id´eal de Stickel-berger de Q(ζ). L’id´eal aθ est engendr´e par un entier de Jacobi.

Preuve Soit l un facteur premier de a. L’id´eal l est totalament d´ecompos´e dans le corps Q(ζ), car le Frobenius de l est trivial vu que l ≡ 1 mod p. Le degr´es relatif de l sur Q vaut donc 1. La proposition pr´ec´edente montre donc que lθ est engendr´e par un entier de Jacobi

(θ ≥ 0).