Annihilation des racines p-i` eme de l’unit´ e

On peut ´egalement consid´erer l’action additive de Ist sur le groupe des racines p-i`eme de l’unit´e :

Definition 4.5.13 On appelle quotient de Fermat, l’application φ :I → Fp d´efinie par : ζ^Θ= ζ^φ(Θ).

Lemme 4.5.14 (Clausen-Von Staudt.) Soit k un entier divisible par p− 1. Alors pBk≡ −1 mod p.

Preuve Soit α 6= 1 un entier premier `a p. Consid´erons la distribution de Bernoulli r´egularis´ee µ_k,α sur Z_p. Rappelons qu’elle est d´efinie pour U compact ouvert de Z_p par

µk,α(U) = µB,k(U)− ¹

αkµB,k(αU) , o`u αU =x ∈ Qp|x

α ∈ U et o`u µ_B,k est l’unique distribution sur Z_p v´erifiant µB,k a + (p^N)
= pN (k−1)Bk

 a pN

 . A partir de l’´egalit´e classique

tetx et− 1 ⁼ ∞ X k=0 B_k(x)^t k k!^, on d´eduit que p−1 X i=0 Bk  i p  = Bk.

Il vient alors µB,k = (Zp), donc µB,k = Z×

p
= Bk− µB,k(0 + (p)) = Bk(1− pk−1). On a donc µ_k,α Z×

p
= (1 − 1

αk)(1− pk−1)B_k. Cela s’´ecrit aussi (1− _α¹_k)(1− p^k−1)Bk=

Z

Z^×p dµk,α.

En ´ecrivant cette derni`ere int´egrale comme limite de sommes de Riemann, on obtient (1− _α¹_k)(1− p^k−1)Bk= Z Z^×p dµk,α= k Z Z^×p f dµ1,α, (4.21)

o`u f (x) = xp−1. Prenons maintenant plus pr´ecis´ement α = 1+p. Alors, en notant d = ν_p(k), il vient

1

αk − 1 = (1 + p)^−k− 1 ≡ −kp mod p^d+2, d’o`u _α^−kp_−k−1 ≡ 1 mod p. On en d´eduit

pBk =−kp^−B_k ^k ≡ ^B_k^k(1− α^−k)≡ ^B_k^k(1− α^−k)(1− p^k−1)≡ Z Z^×p f dµ1,αmod p. Comme p− 1|k, on a pour x ∈ Z× p f (x)≡ x−1 mod p, ie pBk ≡ Z Z^×p x⁻¹dµ1,α(x) mod p≡ −1 mod p. Pour montrer cette derni`ere congruence, on pose pour x ∈ Z×

p g(x) = 1

a0(x), a0(x) ∈ {1, . . . , p − 1} tel que x ≡ a0(x) mod p. La fonction g est localement constante et v´erifie g(x)≡ x−1 mod p. En particulier Z Z^×p x⁻¹dµ1,α(x)≡ Z Z^×p gdµ1,α≡ p−1 X i=1 1 i^{µ1,α(i + (p)) mod p.} Comme µ1,α a + (p^N)
= ^a pN − ¹ 2− ¹ α  {αa} pN − ¹ 2  = ¹ α  αa pN  +^1/α− 1 2 ^, il vient Pp−1 i=1 ¹iµ_1,α(i + (p))≡ −1 mod p. 

En particulier, le lemme pr´ec´edent et le lemme (4.3.3) appliqu´e avec m = p−1 montrent que p−1 X j=1  aj p  j^p−2 ≡ (ap− a)^Bp−1 p− 1 ^≡ ap− a p pB_p−1 p− 1 ^≡ (ap− a) p ^{mod p.}

On en d´eduit imm´ediatement la proposition suivante, qui explique le nom donn´e `a l’appli-cation φ :

Proposition 4.5.15

φ (Θ_n)≡ ⁿ

p− n

p ^{mod p.}

De cette proposition, d´ecoule le th´eor`eme suivant du `a Mih˘ailescu :

Th´eor`eme 4.5.16 Il existe au moins un ´el´ement Fuchsien θ ∈ Ist tel que φ(θ)6= 0. Preuve Raisonnons par l’absurde et supposons que pour tout ´el´ement Fuchsien Θn, 1≤ n≤ p − 2 on ait φ (Θn) = 0. Soit f (X)∈ Fp[X] le polynˆome de degr´es p− 1 d´efini par

f (X) = ^{(X + 1)} p − Xp− 1 p ≡ p−1 X k=1 1 k⁽−X)kmod p. Par hypoth`ese, 1 = ζΘn = ζΘn+1. De plus, par la proposition (4.5.15)

ζΘn = ζϕ(Θn) = ζ^npp⁻ⁿ, ζΘn+1 = ζϕ(Θn+1)= ζ^{(n+1)p−n−1}p ,

d’o`u

ζ^{f (n)} = ζ^{(n+1)p−n−1}p −^np_p⁻ⁿ = 1.

Le polynˆome f a donc pour racine au moins dans F_p, 1, . . . , p− 2. Comme p est impair, on a ´egalement f (p− 1) ≡ 0 mod p. Enfin, f(0) ≡ 0 mod p. Ainsi f admet au moins p racines distinctes alors qu’il est de degr´es p− 1 : contradiction. 

Chapitre 5

Arithm´etique de l’´equation

X

^p

+ Y

₀^p

= BZ

^p

5.1 Introduction

Soit p un nombre premier impair. On appelle ´equation diagonale g´en´erale de Nagell-Ljunggren, l’´equation diophantienne suivante1 :

xp + yp

x + y ^{= p}

ez^p, x, y, z ∈ Z, (x, y, z) = 1. (5.1) On dit qu’une solution ´eventuelle x, y, z de (5.1) se situe dans le premier cas si xy(x2−y2)6= 0 mod p. On dit qu’une solution ´eventuelle de (5.1) se situe dans le second cas, si elle ne se situe pas dans le premier.

Rappelons que si ζ d´esigne une racine primitive p-i`eme de l’unit´e, alors on note par h+ p

(respectivement par h⁻_p) le nombre de classes de Q(ζ)∩ R (respectivement le nombre de classes relatif de Q(ζ)), et par rp, le p-rang du groupe des classes relatif de Q(ζ).

Pour l’´etude des solutions de (5.1) se situant dans le second cas, Mih˘ailescu se fixe y =−1 et obtient le th´eor`eme suivant (th´eor`eme 4 de [53]) :

Th´eor`eme 5.1.1 Soit p > 17 un nombre premier. S’il existe des entiers x, z v´erifiant xp− 1

x− 1 ^{= z}

p, p|x, alors |x| ≤ (16p)^p−12 . De plus, si p3|x, alors p divise h+

p.

En fait, Mih˘ailescu ´enonce un r´esultat plus g´en´eral, mais sa d´emonstration dans le cas p|x2− 1 est ´eronn´ee. De plus, sa d´emonstration dans le cas p|x n´ecessite en fait p3|x : on

peut montrer que si p|x, alors p2|x. Par contre, de p2|x on ne peut d´eduire en g´en´eral que p3|x. En effet, on a par exemple 183−1

18−1 = 73 (seule solution non triviale de x3−1

x−1 = y3). On montrera n´eanmoins que c’est vrai sous certaines conditions portant sur les facteurs premiers de z : voir la d´emonstration du corollaire (5.1.6).

Dans ce chapitre, on se propose de d´evelopper l’´etude d’un certain F_p-module (plus pr´ecis´ement celle de A1; voir le paragraphe 5.2), et d’´etendre les arguments de [53] au cas |y| ≥ 1. On obtient sur l’´equation (5.1) le nouveau th´eor`eme suivant :

Th´eor`eme 5.1.2 Soient p ≥ 3 un nombre premier, y0 un entier fix´e premier `a p. S’il existe des entiers x, z qui v´erifient

xp + y₀^p x + y₀ ^{= p}

ez^p, (x, y0, z) = 1, (5.2)

alors soit y0 = ±1, soit pour tout facteur premier r de y0, on a rp−1 ≡ 1 mod p2. En particulier, y^p₀⁻¹ ≡ 1 mod p2. De mˆeme, si p ∤ x, alors pour tout facteur premier r de x, on a r^p−1 ≡ 1 mod p2.

Supposons p > 3 et qu’il existe des entiers x, z tels que xp+ y^p₀

x + y0

= z^p, (x, y0, z) = 1. (5.3)

Si p|x on a alors |x| < (16p)^p−12 |y0|^p+12 . De plus, si p3|x et2 |y0| ≤ ₁₉^p , alors p divise h+ p. Du th´eor`eme pr´ec´edent, on d´eduit imm´ediatement le

Corollaire 5.1.3 Soient p≥ 19 un nombre premier, y0 un entier impair fix´e premier `a p, |y0| ≤ ₁₉^p , a≥ 3 un entier. Supposons qu’il existe des entiers x, z tels que

xap+ y₀^p xa+ y0

= z^p, (x, y0, z) = 1, 2|x. (5.4) Alors de deux choses l’une, soit 2^p−1≡ 1 mod p2, soit p|h+

p. [En effet, comme x est pair, si p ∤ 2^p−1−1

p , la premi`ere partie du th´eor`eme (5.1.2) montre que p|xa, donc p3|xacar a≥ 3. Comme |y0| ≤ ₁₉^p, la deuxi`eme partie de ce mˆeme th´eor`eme montre alors que p|h+

p.]

Rappelons que si n est un entier non nul,|n| > 1, on appelle radical de n, not´e Rad(n), le produit de ses facteurs premiers. On pose ´egalement Rad(n) = 1 si n = ±1. Soit ϕ la fonction d’Euler. Si n est un entier, on d´efinit alors Ψ(n) par

Ψ(n) = ϕ(Rad(n)).

2En fait, on montrera que la condition l´eg`erement plus faible|y0| ≤ p „

2(p−1)16^p−12

« 2 p+1

On adopte la terminologie suivante : nous dirons qu’un triplet d’entiers (A, B, C) est primitif si C = 0 et AB6= 0, ou bien C 6= 0 et (A, B, C) = 1.

Pour la suite, on se fixe un nombre premier p > 3 et un entier Y0 non nul tel que |Y0| ≤ ₁₉^p. On note Bk le k-i`eme nombre de Bernoulli. Du th´eor`eme (5.1.2), on obtient les nouveaux r´esultats suivant sur les ´equations diophantiennes de la forme Xp+ Y₀^p = BZq :

Corollaire 5.1.4 Soit B un entier tel que (Y0Ψ(B), p) = 1. On se fixe ´egalement un entier a > 0 et q > 2 un nombre premier. Si q 6= p, on suppose que a est pair, q ∤ h−

p et Y0 =−1. Si q = p, on suppose a≥ 3 et que les conditions suivantes sont satisfaites :

1. B 2
p−1 6= 1 mod p2, 2. p ∤ B· h+ p, 3. p3 ∤ Bpi, i = 2, 4, . . . , p− 3,

4. rp ≤ ^√p− 1 ou bien parmi les entiers 2p−1 − 1, 3p−1 − 1, l’un des deux n’est pas divisible par p2, ou bien il existe un facteur premier r de B tel que rp−1 6= 1 mod p2. Supposons qu’il existe des entiers X, Z tels que (X, Y₀, Z) soit une solution primitive de l’´equation diophantienne

X^ap+ Y₀^p = BZ^q. (5.5)

Si q 6= p, alors X = ±1, Z = 0. Si q = p, on a au plus comme solution Xa=−Y0, Z = 0. Remarque 5.1.5 Les conditions 2, 3 et 4 du corollaire sont des conditions parti-culi`erement faibles : il a ´et´e v´erifi´e r´ecemment que h+

p est premier `a p si p < 7.106; on conjecture (conjecture de Vandiver) que h+

p est en fait premier `a p pour tout nombre premier p.

Si p < 4.106,la simultan´eit´e des congruences 2p−1 ≡ 1 mod p2, 3p−1 ≡ 1 mod p2 n’a pas lieu. Notons que les entiers 1093 et 3511 sont les seuls nombres premiers plus petits que 125.1013 et solutions de la congruence 2p−1 ≡ 1 mod p2.

Enfin, si p < 12.106, aucun des nombres de Bernoulli d’indice pair compris entre 2 et p− 3 n’a un num´erateur divisible par p3.

On montrera `a la fin de la preuve du corollaire, que la condition p ∤ h+ p

et celle portant sur les nombres de Bernoulli peuvent ˆetre remplac´ees par la seule condition ι(p) = 0, ι(p) ´etant l’indice d’irr´egularit´e de p.

Corollaire 5.1.6 Soit B un entier tel que (Y0Ψ(B), p) = 1. Soient s, t≥ 1 deux entiers. On consid`ere deux suites de nombres premiers fix´es distincts de p : l1, . . . , ls, et l′

1, . . . , l′ t. On pose L = l1. . . ls. On suppose que pour tout i, on a l^′_i 6= 1 mod p, et que l’ordre de p modulo L est premier `a p. Supposons que les conditions suivantes soient satisfaites :

1. ^B₂
p−1

6= 1 mod p2, 2. p ∤ B· h+

p,

3. rp ≤ ^√p− 1 ou bien parmi les entiers 2p−1 − 1, 3p−1 − 1, l’un des deux n’est pas divisible par p2.

Il n’existe pas d’entiers X, a1, . . . , as, a′

1, . . . , a′ t tels que^X, Y0, l^a1 1 . . . las s l^′a′1 1 . . . l^′a′t t  soit une solution primitive de X^p + Y₀^p = Bl^pa1 1 . . . l^pas s l^′pa′1 1 . . . l^′pa′t t . (5.6)

Enfin, la d´emonstration du corollaire pr´ec´edent, permettra de montrer le corollaire suivant :

Corollaire 5.1.7 Soit p > 3 un nombre premier, y0 un entier impair premier `a p tel que |y0| ≤ ₁₉^p. Supposons qu’il existe des entiers x, z tels que

xp + y₀^p x + y₀ ^{= z}

p2

, (x, y0, z) = 1, 2|x. (5.7)

Alors, pour tout facteur premier r de y0, on a rp−1 ≡ 1 mod p3. De plus, de deux choses l’une, soit 2^p−1 ≡ 1 mod p3, soit p|h+

p. En particulier, p > 7.10⁶.

Comme application, on donne l’exemple suivant, dans lequel on applique le corollaire (5.1.4) `a une classe de nombres premiers distincts p, q v´erifiant toujours la condition q ∤ h−

p : Exemple 5.1.8 Rappelons que l’on d´esigne par ℘ l’ensemble des nombres premiers et par ℘^′ l’ensemble des nombres premiers qui sont congrus `a 3 modulo 4. On a adopt´e les notations suivantes (A > 0 entier) :

Π_t =  p∈ ℘ : ^{p− 1} 2t ∈ ℘^′  , Π_t(A) ={p ∈ Πt: p≥ A} .

Si un nombre premier p est un ´el´ement de Πt pour un certain t≥ 1, on pose ˜p = ^p−1₂t , qui est donc un nombre premier. On a montr´e au paragraphe 2.2.2 la proposition

Proposition 5.1.9 Soit t ≥ 1 un entier. Il existe une constante effective C(t) ne d´ependant que de t (avec C(1) = C(2) = 7), telle que si p∈ Πt(C(t)), alors, ˜p ∤ h−

p. Fixons deux entiers t, B tels que t ≥ 1. Soit p un nombre premier tel que p ∈ Πt(C(t)) et (Ψ(B), p) = 1. L’´equation diophantienne

X^2p− 1 = BZp˜, (5.8)

Autre exemple :

Exemple 5.1.10 Soient l, p > 3 deux nombres premiers impairs tels que p soit une racine primitive modulo l, a ≥ 3 un entier, y0 un entier impair premier `a p tel que |y0| ≤ ₁₉^p. Supposons qu’il existe des entiers x, v tels que

xap+ y₀^p xa+ y0

= l^v, (x, y0, l) = 1, p|x. (5.9) Alors p|v. En particulier, p|h+

p, donc p > 7.106.

Pour la suite, on se fixe un nombre premier impair p ainsi que ζ une racine primitive p-i`eme de l’unit´e. Rappelons que p est totalement ramifi´e dans l’extension Q(ζ)/Q. L’unique premier de Z[ζ] au-dessus de p est principal, engendr´e par 1− ζ.