D´ emonstration du corollaire (5.1.4)

Supposons d’abord que q = p. Soit X, Z une solution enti`ere de (5.5), autre que la solution ´eventuelle Xa =−Y0, Z = 0. Comme Xa 6= −Y0, on peut mettre l’´equation (5.5) sous la forme

X^ap+ Y₀^p Xa+ Y0

(X^a+ Y0) = BZ^p,

avec (B, p) = 1 par hypoth`ese. On suppose dans un premier temps que Z est premier `a p. On a donc (BZ, p) = 1. Rappelons que si a, b sont des entiers premiers entre eux, alors

 ap− bp

a− b ^{, a− b} 

= (a− b, p) . Autrement dit, p divisera ap−bp

a−b si et seulement si p divise a− b, et alors5 p||ap−bp

a−b . Comme BZ est premier `a p  Xap+ Y₀^p Xa+ Y0 , X^a+ Y₀  = 1.

La condition (Ψ(B), p) = 1 est ´equivalente au fait qu’aucun des facteurs premiers l de B ne v´erifie l≡ 1 mod p.

Lemme 5.3.13 Soient C, D deux entiers premiers entre eux. Soit l 6= p un facteur premier de ^C_C+D^p+Dp. Alors l ≡ 1 mod p.

Preuve En effet, comme (A, B, C) = 1, n´ecessairement les id´eaux (A + Bζi) de Z[ζ], i = 1, . . . , p− 1 sont deux `a deux premiers entre eux. On en d´eduit que le nombre premier l se d´ecompose totalement dans l’extension Q(ζ)/Q. Comme de fa¸con g´en´erale, le groupe de d´ecomposition de l dans cette extension est engendr´e par sa classe modulo p, on doit donc avoir l≡ 1 mod p.

Par le lemme (5.3.13), l’entier B est donc un diviseur de Xa+ Y0, et on a donc dans Z : Xa+ Y0 B Xap+ Y₀^p Xa+ Y0 = Z^p,  Xap+ Y₀^p Xa+ Y0 , X^a+ Y0  = 1. Il existe donc des entiers Z1, Z2 tels que

Xap+ Y₀^p Xa+ Y₀ ^{= Z}

p

1, X^a+ Y0 = BZ₂^p.

5c’est `a dire p divise ap−bp

Si X(X2a − Y2

0) est premier `a p, les th´eor`emes 1, 3 et la proposition 1 de [53] montrent que rp > √p− 1, 2p−1 ≡ 3p−1 ≡ 1 mod p2 et que rp−1 ≡ 1 mod p2 pour tout facteur premier r de B. Les hypoth`eses faites montrent donc que l’on est n´ecessairement dans le cas p|X(X2a− Y2

0). Comme p ∤ Xa+ Y0 (car p ∤ Z), on a donc p|X ou p|Xa− Y0.

Supposons d’abord que p|X. Comme a ≥ 3, p3|Xa. La deuxi`eme partie du th´eor`eme (5.1.2) appliqu´ee `a l’´equation ^Xap+Y0^p

Xa+Y0 = Z₁^p (il est licite de l’appliquer car on a suppos´e |Y0| ≤ ₁₉^p ) montre alors que p|h+

p, ce qui n’a pas lieu par hypoth`ese. On est donc dans le cas p|Xa− Y0.

Lemme 5.3.14 Si p|Xa− Y0, alors p2|Xa− Y0. Preuve Comme p|Xa− Y0, il vient

Xap+ Y₀^p Xa+ Y0 = p−1 X k=0 (−Y0)^p−1−kX^ak = Y₀^p−1− Y0^p−2X^a+ p−1 X k=2 (−Y0)^p−1−k(Y0+ X^a− Y0)^k ≡ Y0^p−1− Y0^p−2X^a+ p−1 X k=2 (−Y0)^p−1−k Y₀^k+ kY₀^k−1(X^a− Y0)
mod p2 ≡ 2Y0^p−1− Y0^p−2X^a+ Y₀^p−2(X^a− Y0) p−1 X k=2 (−1)^kk mod p² ≡ 2Y0^p−1− Y0^p−2X^a+ Y₀^p−2(X^a− Y0)^{p + 1} 2 ^{mod p} 2 ≡ Y0^p−1+ Y₀^p−2(X^a− Y0)^p− 1 2 ^{mod p} 2. Comme Z^p = ^Xap+Y0^p Xa+Y0 ≡ 1 mod p, il vient ^Xap+Y0^p Xa+Y0 ≡ 1 mod p2, d’o`u Y₀^p−1+ Y₀^p−2(X^a− Y0)^p− 1 2 ≡ 1 mod p2.

Or, par le theor`eme (5.1.2), Y₀^p−1 ≡ 1 mod p2. On a donc bien p2|Xa − Y0. Comme Xa+ Y0 = BZ₂^p, la congruence Xa≡ Y0 mod p2 montre

2Y0 ≡ X^a+ Y0 ≡ BZ2^p mod p². Comme Y₀^p−1 ≡ 1 mod p2, 2^p−1 ≡ (2Y0)^p−1 ≡ (BZ2^p)^p−1 ≡ Bp−1 mod p², d’o`u B 2
p−1

Il nous reste `a ´etudier le cas dans lequel la solution (X, Z) de l’´equation (5.5) v´erifie p|Z. Posons Z = pvZ1, avec p ∤ Z1. L’´equation (5.5) s’´ecrit

X^p + Y₀^p = Bp^pvZ₁^p.

Soit λ = (1− ζ)(1 − ζ). L’´equation pr´ec´edente s’´ecrit aussi Xp + Y₀^p = B ^p

pv

λpv^p−1₂ λpv^p−1₂ Z₁^p. Le quotient η = ^ppv

λ^pvp−12 est une unit´e de l’anneau Z[λ]. Posons m = pv^p−1₂ ≥ p. On vient donc de montrer qu’il existe η∈ Z[λ]× (unit´es de Z[λ]) et un entier m≥ p tels que

X^p+ Y₀^p = ηBλ^mZ₁^p, (5.22)

o`u X, Y0, λ et Z1 sont premiers entre eux deux `a deux.

Proposition 5.3.15 Supposons qu’il existe des entiers alg´ebriques x, y, z de l’anneau Z[λ], un entier m≥ p, et une unit´e η de l’anneau Z[λ] tels que x, y, z et λ soient premiers entre eux deux `a deux et v´erifient

x^p+ y^p = ηλ^mB1z^p, B|B1|BN, (5.23) avec B1, N ∈ Z, N ≥ 1. Alors z n’est pas une unit´e de Z[λ]. De plus, il existe des entiers alg´ebriques x′, y′, z′ de l’anneau Z[λ], un entier m′ ≥ p, et une unit´e η′ de l’anneau Z[λ] tels que x′, y′, z′, λ′ et η′ v´erifient les mˆemes propri´et´es. L’entier alg´ebrique z′ divise z dans Z[ζ]. Le nombre d’id´eaux premiers de Z[ζ] divisant z′ est strictement plus petit que celui de z.

Preuve L’´equation (5.23) s’´ecrit (x + y)

p−1

Y

a=1

(x + ζ^ay) = ηλ^mB1z^p.

Comme B1 a les mˆemes facteurs premiers que B, on a comme avant B|x + y dans Z, ce qui donne dans Z[ζ] :

x + y B1 p−1 Y a=1 (x + ζ^ay) = ηλ^mz^p.

En raisonnant alors comme dans le paragraphe 9.1 du chapitre 9 de [77], on en d´eduit qu’il existe des unit´es r´eelles η0, η1, . . . , ηp−1∈ Z[λ]× et des entiers alg´ebriques ρ0 ∈ Z[λ], ρ1, . . . , ρ_p−1 ∈ Z[ζ] tels que

x + y = η0B1λ^m−p−12 ρ^p₀, ^{x + ζ}

ay

1− ζa = ηaρ^p_a, a = 1, . . . , p− 1. (5.24) Montrons que z n’est pas une unit´e. Comme ρ₁ divise z dans Z[ζ], il suffit donc de montrer que ρ1 n’en est pas une, ce que l’on va faire. Posons α = ^x+ζy_1−ζ . On a

α =−y + ^{x + y}₁

− ζ ^{≡ −y mod (1 − ζ)}

2.

En particulier α

α ≡ 1 mod (1 − ζ)2. Raisonnons par l’absurde et supposons que ρ1 soit une unit´e. Alors, le quotient ^ρ1^p

ρ^p₁ est une unit´e de module 1 de l’anneau Z[ζ], donc une racine de l’unit´e de cet anneau par le th´eor`eme de Kronecker. Or, les seules racines de l’unit´e de Z[ζ] sont les racines 2p-i`eme de l’unit´e (voir [77]). Comme l’unit´e η1 est r´eelle, il existe donc un entier l et ǫ =±1 tels que ^η1·ρ1^p

η1·ρ^p₁ = ^ρ1^p ρ^p₁ = ǫζl. Il vient alors α α ^{= ǫζ} l. Comme α

α ≡ 1 mod (1 − ζ)2, on a donc ǫζl≡ 1 mod (1 − ζ)2, d’o`u ǫζl = 1, ie α

α = 1, ie x + ζy

1− ζ ⁼

x + ζy 1− ζ ^,

car x et y sont r´eels. Cette derni`ere ´equation conduit `a ζ2 = 1 ce qui est faux. L’entier alg´ebrique ρ1 (et donc z) n’est pas une unit´e. La premi`ere partie de la proposition est prouv´ee.

Montrons maintenant l’existence de x^′, y^′, z^′, η^′ et m^′. C’est juste une adaptation des calculs d´evelopp´es dans le paragraphe 9.1 au chapitre 9 de [77] dans le cadre du second cas de l’´equation de Fermat. Par souci du d´etail, on pr´ef`ere redonner les grandes lignes. Soit a ∈ {1, . . . , p − 1}. On pose λa = (1− ζa)(1− ζ−a). Par (5.24), il existe une unit´e r´eelle ηa et ρa ∈ Z[ζ] tels que

x + ζay

1− ζa = ηaρ^p_a, et en conjuguant (rappelons que x, y ∈ R) :

x + ζ−ay

Ainsi

x + ζay = (1− ζa)ηaρp a, x + ζ−ay = (1− ζ−a)η_aρ_ap. En multipliant les ´egalit´es pr´ec´edentes, il vient

x²+ y²+ ζ^a+ ζ^−a
xy = λaη_a²(ρaρa)^p. (5.25) L’´el´evation au carr´e de x + y = η0B1λ^m−p−12 ρ^p₀ donne

x²+ y²+ 2xy = η₀²B₁²λ^2m−p+1ρ^2p₀ . (5.26)

La diff´erence de (5.26) par (5.25) et la division par λa donne

−xy = η2

a(ρaρa)^p − η2

0B₁²λ^2m−p+1ρ^2p₀ λ⁻¹_a . (5.27) Comme p > 3, il existe un entier b∈ {1, . . . , p − 1} tel que b 6= ±a mod p. Pour cet entier b, il vient de mˆeme

−xy = ηb²(ρbρb)^p− η0²B₁²λ^2m−p+1ρ^2p₀ λ⁻¹_b . (5.28) La diff´erence de (5.28) par (5.27) donne apr`es simplification

η²_a(ρ_aρ_a)^p− ηb²(ρ_bρ_b)^p = η₀²B₁²λ^2m−p+1ρ^2p₀ λ⁻¹_a − λ⁻¹b
. Or, comme b 6= ±a mod p, on a λ−1

a − λ⁻¹b = ^{(ζ−b−ζ−a}_λ^)(ζa+b−1) aλb = δ^′

λ, o`u δ′ est une unit´e. Comme λ_a, λ_b et λ sont r´eels, l’unit´e δ′ l’est aussi. Il existe donc une unit´e r´eelle η′ telle que  ηa ηb 2 (ρaρa)^p+ (−ρbρb)^p = η^′B₁²λ^2m−p ρ²₀
p , (5.29)

o`u δ est une unit´e r´eelle. La condition impos´ee aux nombres de Bernoulli implique que ^ηa

η_b

est une puissance p-i`eme dans Z[λ] (voir [77]) : ^ηa

η_b = ξp. Posons x^′ = ξ2ρ_aρ_a, y^′ =−ρbρ_b, z^′ = ρ2

0, m^′ = 2m− p. Ils v´erifient bien

x^′p+ y^′p = η^′B₁²λ^m′z^′p.

L’entier B1 divise B2N. De plus, on a vu que l’entier alg´ebrique ρ1 n’est pas une unit´e de Z[ζ]. Comme ρ0ρ1 divise z dans Z[ζ], le nombre d’id´eaux premiers divisant z′ dans Z[ζ] est donc bien srictement plus petit que celui de z. Enfin, m^′ = 2m− p ≥ 2p − p = p. La proposition est prouv´ee.

Appliquons la proposition (5.3.15) `a l’´equation (5.22). Par r´ecurrence, elle montre l’exis-tence d’une suite d’entiers alg´ebriques Zi telle que Zi+1|Zi dans Z[ζ] et dont le nombre de facteurs premiers dans Z[ζ] est strictement d´ecroissant. Il existe donc un rang n tel que Zn

soit une unit´e. Or la proposition (5.3.15) nous assure que chacun des Zi n’en est pas une : contradiction. La partie p = q du corollaire est prouv´ee.

Remarque 5.3.16 Si ι(p) = 0 (p est dit r´egulier), alors tout unit´e de Z[ζ] congrue `a un rationnel modulo p, est une puissance p-i`eme dans ce mˆeme anneau (th´eor`eme 5.36 de [77]). De plus, l’entier h+

p est alors premier `a p (th´eor`eme 5.34 de [77]). Ainsi l’hypoth`ese portant sur les nombres de Bernoulli et p ∤ h+

p peuvent ˆetre remplac´ees par la seule condition ι(p) = 0.

Etudions maintenant le cas q 6= p. Alors par hypoth`ese Y0 = −1 et a est pair. Si (5.5) admet une solution enti`ere X, Z, autre que X =±1, Z = 0, alors il existe un entier e∈ {0; 1} et un entier Z1 divisant Z tel que

Xap− 1 Xa− 1 ^{= p}

eZ₁^q. (5.30)

Comme q ∤ h⁻_p, le th´eor`eme (1.1.1) du chapitre 1 montre que e = 0. Comme a est pair, le th´eor`eme principal de [50] montre alors que l’´equation (5.30) est sans solution enti`ere. On

a donc bien X =±1, Z = 0.