Théorie du transport d’espèce

I.3.3.1. Équations de base

Les équations du transport d’espèce dans un gaz composés de plusieurs espèces se basent sur la théorie multi-fluide (cf. Annexe 4 ). Ces équations sont utilisées pour les calculs de type mobilité-diffusion notamment dans les théories de la charge d’aérosol (cf. I.1.3.2.a). Les deux équations les plus utilisées pour la caractérisation du transport sont :

L’équation de conservation de la matière :

∂n_“

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Avec ns la densité de l’espèce s (m^-3), vs la vitesse de l’espèce s (m.s^-1) et 9^Ÿ’ 

Ÿ¡G

žutt‘“‘u’ ^les

variations de densité de l’espèce s suite aux collisions avec d’autres éléments (m^-3.s^-1). L’équation de conservation de la quantité de mouvement :

T_!…!`^¢,_{¢ c}^!

!8 M
6—_! C T_!〈¤ ¥〉 / U^§¨_{§ X}^!

!) ^II-6

Qui peut se mettre sous la forme :

T_!…!©^∂v_{∂t 8 sv}^“ . grad_“ y(v)­ / −M
6_“ (—_!) 8 T_!〈¤ ¥〉 C n_“m_“ν_{“ v•–®} sv_“C v_v•–y _II-7

Avec n_s la densité de l’espèce s (m^-3), v_s la vitesse de l’espèce s (m.s^-1), v_gaz la vitesse du gaz, m_s la masse de l’espèce s (kg), P_s la pression partiel de l’espèce s (Pa), ¥ les forces qui s’applique sur l’espèce s (N) et ¯_{! "#$®} la fréquence de collision élastique entre l’espèce et le gaz

Dans un gaz ionisé à pression atmosphérique, les seules forces qui s’appliquent sont les forces gravitationnelles et les forces électrostatiques. Dans notre cas, nous supposons que les forces gravitationnelles sont négligeables.

Les forces électriques qui s’appliquent sont liées au champ électrique. Comme il est dit au §I.2.2.2, trois types de champ électrique sont présents dans le système :

o Le champ de Laplace (EL)

o Le champ de charge d’espace (Eρ)

o Le champ de surface (Eσ) : composition du champ de polarisation (dominant pour des parois diélectriques) et du champ image (dominant pour des parois métallique). Donc l’équation II-7 peut se mettre sous la forme :

n_“m_“©^∂v_{∂t 8 sv}^“ . grad_“ y(v)­ / −grad_“ (P_“) 8 n_“q_“E C n_¡u¡ “m_“ν_{“ v•–®} sv_“C v_v•–y II-8 Dans l’hypothèse d’un équilibre quasi-stationnaire, l’équation ci-dessus peut être traduite en termes de vitesse de diffusion, comme décrit au paragraphe suivant.

I.3.3.2. Phénomène de diffusion

Le terme de diffusion est utilisé dans de nombreux domaines. Il représente le bilan macroscopique d’un système suite à des collisions (diffusion de photon, d’électron, d’atome ...). Dans notre cas, la diffusion est la résultante des phénomènes d’équilibre de

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transport d’espèce dans un gaz collisionnel. Cet équilibre est associé par une vitesse au processus de mise en mouvement.

Sous l’hypothèse que le système est à l’équilibre et que le gaz possède une vitesse nulle l’équation II-8 devient :

M
6

—_! C T_!_!1 / CT_{ !…!}¯_{! "#$®} ,_{! II-9}

Les effets diffusifs les plus courants sont la diffusion thermodynamique (somme de la diffusion thermique et brownienne) et la diffusion électrostatique.

- la diffusion thermodynamique traduit la présence d’un gradient de pression partielle. Elle se met sous la forme :

,_

 /_T ¹

!…_!¯_{! "#$®} ^M
6—_! _II-10

En développant avec la loi des gaz parfaits, on obtient :

,_

 / C¢_! `^M
6T_!

T_! ^8M
6W_!

W_! ^{c II-11}

Avec : ¢_! / ⁿo0f

Œf²f/³´µ le coefficient de diffusion thermodynamique,

La Figure II-22 (Physics, 2014) présente le principe de diffusion sous l’effet d’un gradient de densité.

Figure II-22 : principe de la diffusion sous un gradient de densité

- La diffusion électrostatique traduit la présence d’un gradient de potentiel électrique. La vitesse se met sous la forme :

,

- / C._! M
6¶ / ._! 1 II-12 Avec : ._! / f

Œf²f/³´µ la mobilité électrique de l’élément considéré. Vitesse résultante

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Dans les plasmas, il est fait référence à la diffusion ambipolaire. En fait, il s’agit de la traduction des mouvements couplés entre les charges positives et négatives qui obéissent à une loi semblable aux lois de diffusion.

50 I.3.3.3. Mécanismes de perte

Deux processus peuvent générer des pertes durant le transport des ions et des particules : les collisions inélastiques avec les parois et les collisions inélastiques avec d’autres éléments du gaz.

Les collisions inélastiques avec les autres éléments du gaz sont de trois types : les collisions entre ions, les collisions entre particules et les collisions entre les ions et les particules. Les collisions inélastiques ions-ions sont appelées recombinaison.

Les mécanismes de collisions entre ions et particules sont traités au paragraphe I.1.3.2.a, cependant, si la densité d’ions est très supérieure à la densité de particule, ces collisions n’auront d’effet que sur l’état de charge des particules d’aérosol.

Les pertes par collisions avec la paroi sont principalement dues à des effets de diffusion (au sens large).

- En présence d’un champ extérieur appliqué, les éléments chargés dérivent vers les parois. Ce mécanisme est usuellement appelé précipitation électrostatique.

- Pour des charges unipolaires, le mécanisme de diffusion dominant est la diffusion électrostatique par les champs électriques induits par ces mêmes charges unipolaires. Les deux forces qui contrôlent au premier ordre ce mécanisme sont :

1 : la force engendrée dans le gaz par la distribution de densité de charge,

2 : la force image qui traduit le fait que le potentiel sur une paroi métallique possède un potentiel constant. Il est alors possible de remplacer le tube par une distribution fictive de charge produisant le même potentiel.

- Les pertes par thermophorèse sont dues à la diffusion jusqu’aux parois contrôlée par un gradient de température entre la paroi (plus froide) et le gaz (plus chaud),

- Les pertes par diffusion sont liées à l’agitation thermique et au mouvement Brownien des ions et particules qui en découle et entraine des collisions avec les parois. Il est à noter que ce mécanisme conduit à un gradient de densité à proximité des parois qui contrôle les pertes par diffusion

Par la suite, le terme de perte par diffusion est utilisé pour désigner la collection suite à la thermophorèse et à la diffusion brownienne. La collection liée aux champs unipolaires est désignée par pertes par self-répulsion et les pertes par un champ extérieur sont désignées par précipitation électrostatique.

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La décroissance des ions dans un tube a été étudiée en post-source radioactive (Hoppel & Frick, 1988) (Gensdarmes, 2000) (Tigges, et al., 2015).

Figure II-23: profil d'ions dans un tube de 5 mm de diamètre à 0,3 L.min^-1 selon Ltube en post-source radioactive

En post-source radioactive, la densité d’ions dans les nuages bipolaires homogènes décroit de près de 2 ordres de grandeur en 1 seconde (Figure II-23). Les conclusions principales (Hoppel & Frick, 1988) sont :

- la recombinaison contrôle au premier ordre les pertes d’ions pendant le transport, - les effets électrostatiques tendent à égaliser les densités d’ions positifs et négatifs, - les pertes d’ions par diffusion entrainent une augmentation du rapport de la densité d’ions positifs sur la densité d’ions négatifs (Figure II-23).

I.3.3.4. Mesure des courants d’ions

Le principe de la mesure de la concentration en ions dans un milieu repose sur leur collection par une électrode et la détermination du courant résultant (Figure II-24). Pour cela, on utilise généralement un condensateur plan ou cylindrique dans lequel circule le gaz. Lorsqu’on applique une tension entre les électrodes, les ions bipolaires vont être collectés distinctement par les deux électrodes. Pour un débit et une tension fixés dans le condensateur, il est possible de définir une mobilité critique telle que tous les ions ayant une mobilité supérieure à celle-ci seront collectés. Dans le cas de la mesure des ions, la mobilité critique doit donc correspondre à la limite inférieure du domaine de mobilité. Un électromètre est utilisé pour mesurer le courant reçu par l’électrode de collection. Nous pouvons ainsi, suivant la polarisation du condensateur, mesurer soit la concentration en ions positifs soit celle en ions négatifs (Gensdarmes, 2000).

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Figure II-24 : caractéristique I(V) d'un précipitateur électrostatique idéal

Supposons qu’il n’y ait que des ions dans le milieu, et que la tension est suffisante pour tous les capter, le courant reçu par l’électrode collectrice s’exprime alors par :

II-13

où i± représente le courant (A), e la charge élémentaire (C), n± la concentration des ions positifs ou négatifs (m^-3) et Q_v le débit d’air dans le condensateur (m³ s^-1). Les compteurs d’ions à géométrie cylindrique sont les plus courants. Cependant, certains auteurs (Hoppel & Frick, 1990) utilisent une géométrie plane mieux adaptée à leurs conditions.