Théorie sur les réseaux de Bragg

La théorie des réseaux de Bragg a été développée il y a maintenant plusieurs années et elle est aujourd’hui assez complète. Notamment, la théorie des modes couplés permet de calculer précisément le comportement des FBG et plusieurs logiciels commerciaux permettent de faire les calculs nécessaires pour réaliser des designs et simulations de réseaux de Bragg.

La théorie des modes couplés, qui provient des équations de Maxwell, est en fait un modèle théorique permettant de calculer la modification d’un mode incident sur un FBG. Une partie de la puissance du mode incident sera couplée vers d’autres modes de propagation, que ce soit les modes de même sens de propagation (transmission), les modes en propagation inverse (réflexion), ou le couplage vers les modes dans la gaine. La théorie des modes couplés ne sera pas explicitée dans ce document puisque plusieurs ouvrages et logiciels disponibles traitent déjà du sujet, dont [53]. Qui plus est, les dérivations des équations qui seront présentées dans ce chapitre proviennent de cet ouvrage de Raman Kashyap.

3.1.1 Longueur d’onde de Bragg et réflectivité maximale

Dans un LFHP, les FBG sont utilisés généralement comme réflecteurs. Pour les présents travaux, on s’intéresse donc seulement au couplage entre deux modes identiques ayant des directions de propagation inverses. Si l’on considère d’abord le cas des réseaux à pas uniforme, il est possible

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de trouver des solutions analytiques pour des paramètres d’intérêt d’un FBG, soit la longueur d’onde de réflectivité centrale, appelée longueur d’onde de Bragg , la longueur d’onde de réflectivité maximale et la largeur de la bande spectrale réfléchie .

La longueur d’onde de Bragg peut être réduite à l’expression suivante :

(0.1)

où est le pas du réseau de Bragg, est l’indice effectif du mode et N est l’ordre de diffraction du FBG. L’indice effectif du mode dépend du confinement du mode dans le cœur et respectera la relation : . sera différent pour chaque mode, on peut donc s’attendre d’avoir un pic de réflectivité différent pour chacun des modes présents dans la fibre.

D’autre part, la longueur d’onde de réflectivité maximale ne correspond pas nécessairement à . En effet, la réflectivité maximale est plutôt exprimée par [53] :

(

̅̅̅̅

) (0.2)

où est l’intégrale de recouvrement des deux modes, ̅̅̅̅ la composante dc du changement d’indice, et neff l’indice effectif de réfraction du mode. Dans le cas d’un réflecteur laser, on souhaite que le mode réfléchit soit identique au mode incident, alors . Par ailleurs, ̅̅̅̅ ⁄ sera négligeable puisque le changement d’indice dc induit sera faible, de l’ordre de 10-3 et l’indice effectif neff est d’environ 1,45 dans une fibre de silice. On peut donc raisonnablement effectuer l’approximation suivante de l’équation (0.2) :

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Finalement, la demi-largeur de réflectivité d’un FBG peut-être dérivée analytiquement à partir de la position des deux premiers zéros de réflectivité autour de , ce qui donne la relation suivante [53] :

(0.4)

où L est la longueur du réseau. On peut voir que, pour un réseau à pas uniforme, la largeur de réflectivité est inversement proportionnelle à sa longueur.

3.1.2 Réseaux de Bragg à pas variable

Afin de contrôler la largeur de bande des FBG pour les adapter aux besoins des LFHP, on introduit souvent un glissement de fréquence, communément appelé chirp, tel qu’illustré à la Figure 3.2, qui consiste à utiliser un réseau à pas variable pour augmenter la largeur de réflectivité .

Figure 3.2 : Schéma d’un FBG ayant un glissement de fréquence (chirp).

Pour tenir compte du chirp dans les équations, on considère le FBG comme une somme de réseaux uniformes ayant des pas différents. Mathématiquement, Λres est exprimé en fonction de la position le long de la fibre z :

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(0.5)

En pratique, des approximations sont utilisées pour faciliter la caractérisation des FBG. Le pas central est utilisé pour retrouver rapidement et le chirp est caractérisé par le paramètre C, exprimé en nm/cm.

Afin de modéliser ces réseaux, il est nécessaire de résoudre numériquement les équations (0.1) à (0.4) puisqu’il n’est plus possible de les résoudre analytiquement. Pour ce faire, un logiciel de calcul comme IFO GratingsTM peut être utilisé. Un tel logiciel de calcul utilise la théorie des modes couplés pour résoudre numériquement les équations et calculer les spectres transmis et réfléchis par le FBG spécifié, dans la fibre spécifiée. À titre d’exemple, la Figure 3.3 présente le spectre en réflexion d’un FBG de longueur L = 10 mm et de changement d’indice _{pour différentes valeurs de C. On peut y voir qu’un chirp très grand engendrera un FBG}

avec une grande largeur spectrale, mais de réflectivité moindre. Il est donc important d’optimiser ce paramètre en fonction du changement d’indice attendu et de la longueur L désirée pour le FBG.

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Figure 3.3 : Variation de la réflectivité d’un FBG de L = 10 mm et pour

différentes valeurs de C.

On peut expliquer ce comportement simplement, en utilisant la décomposition en succession de FBG uniformes. La largeur de la bande spectrale réfléchie sera plus grande puisqu’une succession de réseaux de pas différents couvriront une grande plage de longueur d’onde, alors que la réflectivité de chacun de ces réseaux uniformes sera plus faible, diminuant donc la réflectivité effective d’un FBG à fort chirp.