Théorie

Cette partie a été rédigée en se basant principalement sur les livres Elementary scattering theory: for

X-ray and neutron users336 et Experimental neutron scattering337.

61

1.1.1. Géométrie d’une expérience de diffusion

Figure 32: Géométrie d’une expérience de diffusion. Adapté de Carlile, C. J. (2013)337.

La figure 32 illustre la géométrie d’une expérience de diffusion. Un neutron ou photon incident,

spécifié par son vecteur d'onde k^⃗ , où k = 2π/λ, est diffusé dans un nouvel état ayant un vecteur

d'onde k′^⃗⃗⃗ . L'origine des coordonnées est à la position du noyau ou de l’électron et le neutron ou

photon est diffusé selon un vecteur k^⃗ . La direction de diffusion est définie par l'angle ϕ et par

l'angle 2θ entre les faisceaux incidents et diffusés. La diffusion se produit dans un cône élémentaire

d'angle solide dΩ. Si la diffusion est élastique, l'amplitude du vecteur d'onde est inchangée lors de

la diffusion, c'est-à-dire |k⃗ | ₌ |k′⃗⃗⃗ |. Si la diffusion est inélastique, il y a un échange d'énergie entre le

neutron et l'échantillon : quand le neutron gagne de l'énergie |k⃗ | < |k′⃗⃗⃗ |, et quand il perd de l'énergie

|k⃗ | > |k′⃗⃗⃗ |_.

Une fois que les neutrons ou photons ont interagi avec l'échantillon, la mesure des neutrons ou

photons diffusés permet de déterminer la section efficace de diffusion des neutrons ou photons.

La section totale 𝜎_𝑡𝑜𝑡 est définie par :

σ_tot=^{nombre de neutrons ou photons diffusés dans toutes les directions par seconde}

flux incident I₀

Équation 1

De façon simplifiée, la section efficace de diffusion σ est une mesure de la taille d’un atome tel qu’il

apparait pour un neutron ou photon et mesure donc l’efficacité avec laquelle les neutrons ou

photons sont diffusés par le noyau ou les électrons.

62

1.1.1. Diffusion élastique et transfert d’impulsion

Le profil de diffusion est usuellement décrit par l’intensité Ien fonction de l’amplitude du vecteur

de diffusion ou le transfert d’impulsion q⃗ . Dans le cas de la diffusion aux petits angles, on suppose

que les photons ou les neutrons incidents n'échangent pas d'énergie avec l'échantillon, on ne

considère alors que la diffusion élastique. Selon cette hypothèse, les faisceaux incidents et diffusés

ont la même longueur d'onde λ. Si k^⃗ et k′^⃗⃗⃗ sont respectivement les vecteurs d’onde des faisceaux

incidents et diffusés, et que le vecteur de diffusion q⃗ = k′⃗⃗⃗ − k⃗ , alors :

q = |q⃗ | = ^4π

λ ^sinθ

Équation 2

où 2θest l’angle de diffusion mesuré. Durant l’expérience, la longueur d’onde λ du faisceau incident

est fixe. La valeur de qne dépend donc que de l’angle 2θet les variations d’angle de diffusion sont

représentées par q.

1.1.2. Section efficace différentielle

La quantité de base qu'une expérience de diffusion vise à mesurer la fraction de particules incidentes

qui diffusent dans diverses directions, telles que définies par les coordonnées polaires sphériques

2θ et ϕ de la figure 32.

En supposant une diffusion élastique, un détecteur est installé pour compter les neutrons ou

photons diffusés dans l’angle solide dΩ. Si les neutrons ou les photons forment un flux constant

de particules entrantes, le flux incident, I₀, est habituellement le nombre de neutrons ou photons

frappant l'unité de surface de l'échantillon par unité de temps, où la surface est considérée comme

étant perpendiculaire au faisceau incident (avec des unités de m-2.s-l). Leur taux d'arrivée dans la

direction de 2θ et ϕ jusqu’au détecteur qui sous-tend dΩ (en stéradian sr), peut également être

exprimé comme R par unité de temps (s-l).

Le ratio :

Nombre dévié par (2θ, ϕ) par seconde par unité d′angle solide

Nombre de particules incidentes par unité de surface de faisceau⁼

R(2θ, ϕ)

I₀dΩ

Équation 3

est alors étroitement lié à la fonction de diffusion d’intérêt. Il est connu sous le nom de section

efficace différentielle, dσ/dΩ, en m2.sr- 1 (surface par unité d'angle solide).

La définition précise de la section efficace différentielle utilisée varie légèrement selon le domaine

d'application, mais est souvent citée par atome, ou par molécule, à travers une division par le

nombre d'unités de diffusion d'intérêt, N, de l'échantillon :

dσ

dΩ⁼

R(2θ, ϕ)

NI₀dΩ

63

où, à proprement parler, l'égalité se situe dans la limite de dΩ → 0.

Dans les figures 32 et 33, l'angle solide dΩ couvert par le détecteur sur l'échantillon est dA/r² où

dA est la zone grisée. Le nombre de neutrons diffusés par seconde dans cet angle solide est le flux

multiplié par la surface ou |ψ_f|2 × dA, et qui est d’après l’équation 3 égal à I₀(dA/r2)(dσ/dΩ). On

a donc :

dσ

dΩ^{= |ψf |}

2r²

Équation 5

1.1.3. Diffusion par un noyau ou électron fixe

La description de la partie précédente sur la section efficace différentielle portait sur la description

des données de diffusion. Décrivons maintenant comment la structure de l'échantillon, au niveau

atomique, est liée aux diffusions mesurées.

Figure 33: Schéma de diffusion d'une onde plane de neutrons ou photons par un seul diffuseur. Adapté de

Carlile, C. J. (2013)337.

Considérons la diffusion par un seul noyau ou électron fixe (ne se déplace pas et n’échange pas

d'énergie). Une onde plane incidente de neutrons ou photons se déplaçant dans la direction 𝑥

comme représenté dans la figure 33 est déterminée par la fonction onde :

ψ_i= e^ik𝑥

Équation 5

où i²= − 1 et k = 2π/λ est le nombre d'onde.

La probabilité de trouver un neutron ou photon dans un volume dV est |ψi|²dV. Si |ψi|²= 1,

l'Équation se réfère à une densité d'un neutron ou photon par unité de volume dans tout l'espace.

L'onde diffusée par un noyau ou électron isolé, comme indiqué dans la figure 33, est sphérique

avec la fonction d’ondesuivante, k’ étant le nombre d’onde sortante :

ψ_f= −b^e

ik⃗⃗⃗⃗ r⃗ ′

r

64

r est la distance par rapport au noyau ou électron diffusant et b est connue sous le nom de

« longueur de diffusion » du noyau ou de l’électron et varie selon les éléments du tableau périodique

(et dans le cas des neutrons entre les isotopes d’un même élément) (figure 39). Le signe « - » de

l'équation 6 est adopté pour s'assurer que la plupart des valeurs de b pour les éléments soient

positives.

1.1.4. Diffusion par un ensemble de noyaux ou électrons

Après avoir traité le cas d’un seul noyau, si l’on considère un assemblage tridimensionnel de noyaux

ou d’électrons tout en maintenant l’hypothèse de la diffusion élastique, l’onde diffusée résultante

peut être écrite sous la forme suivante :

ψ_s= − ∑ (^bj

r⁾

j

eik⃗⃗⃗⃗ r⃗ ′ eiq⃗⃗ .r⃗

Équation 7

Où q⃗ = k′⃗⃗⃗ − k⃗ est le vecteur de diffusion avec k^⃗ et k⃗⃗⃗ ′les vecteurs d’onde des neutrons incidents et

diffusés.

Le nombre de neutrons ou photons diffusés par seconde est le flux fois la surface :

b²

r2v ∙ 4πr2= (4πb2)v

Équation 8

Ainsi, on obtient :

σ_tot= ^If

I0

= 4πb2

Équation 9

σtot étant la section efficace du noyau ou de l’électron vue par le neutron ou le photon (en m2).

1.1.1. Densité de longueurs de diffusion et intensité de diffusion

Selon que les rayons X ou les neutrons sont utilisés, l’intensité de diffusion mesurée correspond à

la transformée de Fourier de la densité de longueurs de diffusion du noyau ρ_n ou de la densité

électronique ρ_e, intégrée sur le volume de particule V. Cependant, comme les particules sont en

solution, ρ doit être remplacée parΔρ, le contraste entre la densité de longueurs de diffusion de la

particule et celle de la solution tampon ρ_s, qui est supposée être homogène. La densité de longueurs

de diffusion Δρ se calcule avec les longueurs de diffusion b_j et le volume V_j (à la position r) que

chaque atome occupe au sein d’une particule. Comme la particule est immergée dans une solution

de densité de longueurs de diffusion ρs il faut en retirer celle-ci :

Δρ = ^bj

Vj

− ρ_s

65

Dans une solution idéale où les particules sont orientées de façon isotrope, l’intensité de diffusion

est en symétrie sphérique autour du faisceau incident. L’intensité de diffusion totale I(q) peut être

alors écrite comme la somme des intensités de diffusion des composants individuels de la solution

moyennée sur toutes les orientations possibles (noté 〈… 〉) :

I(q) ∝ 〈|∫ Δρ. eiq⃗⃗ r⃗ dV|

2

〉

Équation 11

Dans le document Étude du mécanisme d’action du protéasome PAN-20S par diffusion de neutrons aux petits angles résolue en temps (Page 65-70)