Lorsque les correspondances (L et P) de la technologie de production satisfont les propriétés L1-L6 et P1-P6 alors, la fonction de coût et la fonction de distance de Shephard en input sont duales (Shephard, 1953, 1970 ; Mc Fadden, 1978). De même, la fonction de revenu et la fonction de distance de Shephard en output sont duales (Shephard, 1953, 1970 ; Jacobsen, 1970 ; Mac Fad- den, 1978). Deux hypothèses jouent un rôle déterminant dans la mise évidence de ces résultats de dualité. Il s’agit de la propriété de convexité et de celle de disponibilité forte.
La fonction de coût permet de mettre à jour le coût minimal de production pour un vecteur d’outputs y ∈ Rm
+ et un vecteur de prix w ∈ Rn+associé aux intrants. Formellement, la fonction de
coût, C : Rn+m
+ −→ R+∪ +∞, se définit comme suit :
C(w, y) = inf x {wx : x ∈ L(y)} si L(y) 6= ∅ +∞ sinon. (4.13) Si la fonction de coût est définie par (4.13), que les intrants sont librement disponibles dans la correspondance en inputs L(y), que celle-ci est fermée et satisfait l’axiome de convexité alors, l’ensemble en inputs peut être caractérisé à partir de la fonction de coût. Dans ce cas, on a :
L(y) = x ∈ Rn+ : wx ≥ C(w, y), w ∈ Rn+ = \ w∈Rn + x ∈ Rn+: wx ≥ C(w, y) . (4.14) Dans le résultat précédent, la correspondance en inputs, L(y), est enveloppée par des fonctions de coût C(w, y), avec w ∈ Rn
+. La deuxième égalité fait référence au théorème de séparation des
convexes. Elle précise que l’ensemble en inputs (ensemble convexe) correspond à l’intersection de tous les hyperplans supports (fonctions de coût, avec w ∈ Rn
+) qui contiennent cet ensemble. Une
illustration de ce résultat est proposée dans Färe et Primont (1995).
Réciproquement, si la correspondance en inputs est définie par (4.14) alors, la fonction de coût correspond à (4.13). A partir de ces résultats il est possible d’établir une relation de dualité entre la fonction de coût et la fonction de distance de Shepard en input. Cette démarche se distingue de celle proposée précédemment. En effet, dans la sous-section précédente nous avons mis en lumière des relations entre la fonction de distance de Shepard en input et l’ensemble en inputs. La proposition (4.1) présente la relation de dualité entre la fonction de distance de Shephard en input et la fonction de coût.
Proposition 4.1 Soit L une correspondance en inputs satisfaisant les axiomes L1 − L6. Dans ce cas, nous avons les propriétés suivantes :
(i) ∀(x, y) ∈ Rn+m + ,
Di(x, y) = inf
w≥0{wx : C(w, y) = 1} . (4.15)
(ii) Soit w ∈ Rn
+un vecteur prix non négatif associé aux inputs,
C(w, y) = inf
x
wx : Di(x, y) = 1 . (4.16) Preuve de la Proposition 4.1 :
Les preuves des propriétés (i) et (ii) peuvent être déduites à partir des travaux de Färe et Primont (1995). ✷
D’après le résultat (4.16), aux points où la fonction de coût est differentiable alors, en se réfé- rant au théorème de l’enveloppe, il vient :
∇wC(w, y) = x(w, y), (4.17)
avec x(w, y) = arg min
x {wx : D
i(x, y) = 1}. Le résultat (4.17) correspond au lemme de She-
phard. Les n équations présentes dans (4.17) stipulent que les fonctions de demande condition- nelle en inputs sont égales aux différentielles de la fonction de coût par rapport aux prix wi, avec
i = 1..., n.
D’après le résultat (4.15), aux points où la fonction de distance de Shepard en input est diffe- rentiable alors, en appliquant le théorème de l’enveloppe on obtient :
∇xDi(x, y) = w(x, y), (4.18)
avec w(x, y) = arg min
w {wx : C(w, y) = 1}. Le résultat (4.18) correspond au lemme dual de
Shephard. Les m équations présentes dans (4.18) indiquent que les prix implicites des intrants sont égaux aux différentielles de la fonction de distance de Shephard en input par rapport aux inputs xi,
avec i = 1..., n. Notons que ces prix ne correspondent pas à des prix du marché. Ils ne sont pas déterminés par la confrontation de l’offre et de la demande sur un marché mais, par la dualité entre la fonction de distance de Shephard en input et la fonction de coût. En ce sens, ils présentent un intérêt particulier en présence d’effets externes.
tion de distance de Shephard en output. Pour ce faire, introduisons la fonction de revenu, R : Rn+m + −→ R+∪ −∞, R(p, x) = sup y {py : y ∈ P (x)} si P (x) 6= ∅ −∞ sinon. (4.19) Si la fonction de revenu est définie par (4.19), que les outputs sont librement disponibles dans l’ensemble en outputs, que celui-ci est un compact et satisfait l’axiome de convexité alors, la cor- respondance en outputs peut être déterminée à partir de la fonction de revenu. Dans ce cas, on a : P (x) =y ∈ Rm+ : py ≤ R(p, x), p ∈ Rm+ = \ p∈Rm + y ∈ Rm+ : py ≤ R(p, x) . (4.20)
La proposition 4.2 présente la relation de dualité entre la fonction de distance de Shephard en output et la fonction de revenu.
Proposition 4.2 Soit P une correspondance en outputs satisfaisant les axiomes P 1 − P 6. Dans ce cas, nous avons les propriétés suivantes :
(i) ∀(x, y) ∈ Rn+m + , Do(x, y) = sup p≥0 {py : R(p, x) = 1} . (4.21) (ii) Soit p ∈ Rm
+ un vecteur prix non négatif associé aux outputs,
R(p, x) = sup
y
{py : Do(x, y) = 1} . (4.22) Preuve de la Proposition 4.2 :
En se référant aux travaux de Färe et Primont (1995), les preuves des propriétés (i) et (ii) sont immédiates. ✷
D’après le résultat (4.22), aux points où la fonction de revenu est differentiable alors, en appli- quant le théorème de l’enveloppe :
∇pR(p, x) = y(p, x), (4.23)
avec y(p, x) = arg min
y {py : D
o(x, y) = 1}. Le résultat (4.23) correspond à la version en
output du lemme de Shephard.
D’après le résultat (4.21), aux points où la fonction de distance de Shepard en output est diffe- rentiable alors, en se référant au théorème de l’enveloppe :
∇yDo(x, y) = p(x, y), (4.24)
avec p(x, y) = arg min
p {py : R(p, x) = 1}. Le résultat (4.24) correspond au lemme dual de
Shephard en output.
3 La Fonction de Distance Directionnelle
Les premières mesures non radiales sont apparues à la suite des travaux de Färe et Lovell (1978) et de Färe, Grosskopf et Lovell (1985). Plus récemment, Luenberger (1992, 1995, 1996) a proposé une représentation directionnelle des préférences à travers la définition de la fonction de bénéfice2. Chambers, Chung et Färe (1996, 1998), en exploitant les liens étroits existant entre la
fonction de bénéfice et la fonction de distance de Shephard, ont introduit la fonction de distance directionnelle3en théorie de la production.